Eerder hadden we gezien dat er getallen achter de horizon van wiskundige expressies verborgen liggen. Sommige getallen tussenin hele grote, nog construeerbare waarden verdwijnen zo uit zicht.
Om precies te kunnen bepalen waar de grens van onze expressie ligt, introduceer ik vandaag een ruimer begrip van afstand:

Gewoonlijks wordt tussen twee getallen X > Y de afstand dX,Y berekend door: Y + d = X
Als Y = 0 dan is de afstand dX het aantal enen in een geneste constructie van X met enkel de optel operator: O(a,b) = a+b
Dan geldt: D0X = dX = X
Bijvoorbeeld: 5 = 3+2 = ((1+1)+1)+(1+1) = O(O(O(1,1),1),O(1,1)) # 5

Maar we kunnen ook andere operator functies { +, *, ^, ^^, ^^^... } gebruiken om sneller getallen te maken.
De natuurlijke getalsafstand DnX definieer ik als het minimale aantal enen in een geneste constructie van X met de operator functie O(a,b,c) waarbij 0<=c<=n.
De natuurlijke getalshorizon D∞X = DX definieer ik als een getalsafstand waarbij alle operatoren c>=0 toegestaan zijn.

Bijvoorbeeld: als c=1 dan is de getalsafstand D1X het minimale aantal enen in een geneste constructie van X met optellen en vermenigvuldigen.
Het getal X = 9 heeft dan getalsafstand D19 = 7 omdat:
9 = 3*3 = O(3,3,1) = O(O(O(1,1,0),1,0),O(O(1,1,0),1,0),1) # 7
De getalshorizon van 9 is ook 7, omdat 9 = 3^2 = O(3,2,2) = O(O(O(1,1),1),O(1,1),O(1,1)) # D=7

In de tabel hieronder staan de afstanden van alle getallen van 0 t/m 100.
In de rode kolommen het extra effect van het toelaten van negatieve getallen, wanneer we -1 tellen als 1.

Dus: DnX <= DnX-1 + 1
De rijen met wiite/roze achtergrond zijn bovenste grenzen.
Een Java of misschien JavaScript programmaatje zou voor de rest wel handig zijn.

Zo'n programma met natuurlijke operatoren C:

1. vergroot de som van de afstanden Da+Db+Dc = D steeds door D++
2. schept Da,Db,Dc in deze volgorde: elk eerst nabij D/3 en (secundair) eerst Da >= Db >= Dc
3. beperkt Dc,Db zodat deze niet op voorhand te groot zijn
4. substitueert afstanden door alle inmiddels verzamelde getallen (A,B,C) = (Da,Db,Dc)
5. test of X = O(A,B,C) <= Xmax een opgegeven laatste X, en past beperkingen voor 3. aan
6. verzamelt uitkomsten met (vergelijk!) kleinste afstand D in de Array[C][X]
7. past daarbij grotere C aan in Array[C][X] als de nieuwe D kleiner is dan in de kolom
8. past horizon en (A,B,C) kolom voor getal X aan, als D ook kleiner is dan de horizon waarde
9. voegt aansluitende volledige rijen X aan de tabel toe, totdat Xmax is bereikt

De natuurlijke getalsafstand DX,Y tussen twee getallen X en Y definieer ik als het aantal enen in een mathematische constructie met positieve operatoren O(a,b,c) die verplicht één maal gebruik maakt van het kleinste getal om uit te komen bij het grootste.
Het programma kan later eventueel met een optioneel getal Y, of zelfs met meerdere gegeven getallen worden uitgebreid, om relatieve afstandstabellen te maken.