home →  Big Psi

Spreading fingers across the universe [Dutch]

@ Novaloka weblog

Duim. regels om te tellen  22 september 2008

Er zijn twee fundamenteel verschillende manieren van tellen: niets tellen en iets tellen.
Bij het tellen van niets hou je steeds hetzelfde aantal 0.
Bij het tellen van eenheden van iets vermeerder je het oorspronkelijke aantal.

000... = 0
111...

Alle natuurlijke getallen { 0,1,2,3,4,5,... } kunnen uitsluitend met een rij van tekens 1 worden genoteerd.
Daarbij is de nul 0 als teken overbodig, omdat niets op natuurlijke wijze is weer te geven met nul enen:

 

Wanneer we tien tekens op rij mogen gebruiken is het maximale aantal dat met deze notatie uit te drukken is:

11111 11111

Tien! Nergens in zo'n maximale reeks heeft het zin om nullen te gebruiken, want 01=1 en 10=1.

Deze regels om simpel te tellen met nullen en enen, noem ik “Jantien's duim”.

Wijsvinger. herhaling van operaties  23 september 2008

Door twee getallen a en b (geschreven als rijen enen 111...) naast elkaar te plaatsen kun je deze optellen tot een getal a+b = ab.
Met naastplaatsen als nulde operatie, is de * van vermenigvuldigen het eerste operator-teken dat echt nodig is.
We definiëren de operatie a*b door te stellen dat dit het getal a een b aantal malen herhaalt en optelt.

a*b = aaa... [a#b]
bijv. 11111*1111 = 11111 11111 11111 11111  (5*4=20)

Machtsverheffen is herhaald vermenigvuldigen. Gewoonlijks schrijf je zulke machten als ab of a^b.
Onze notatie voor herhalingsoperaties gebruikt enkel de tekens 1 en * en dus drukken wij machten uit met een dubbele ster a**b.

a**b = a*a*...*a [a#b]
bijv. 1111**1111 = 1111*1111*1111*1111  (4^4=256)

De hieropvolgende operatie van herhaald machtsverheffen geven we aan met een *** operator.

a***b = a**a**...**a [a#b]
bijv. 111***1111 = 111**111**111**111 := 3^7625597484987

De algemene formule voor herhalingsoperaties (met # als meta-teken van herhaling) wordt dan:

a**...b [*#c1] = a*...a*......*...a [*#c, a#b]

De getallen die dit oplevert zijn al snel groter dan het quantum-informatie getal van ons universum, dat men benadert als 2^(10^120).
Met een capaciteit van tien tekens (bits) is je maximale getal al enorm veel groter:

111*****11 = 111****111 := 3^(3^...(3^3)..)) [3#7625597484987]

Wat betreft de regel voor precedentie van operatoren stel ik voor dat we kleinere operatoren vóór de grotere evalueren. Dit levert niet alleen grotere getallen op, maar is (zoals uit optellen en ook uit het vervolg blijkt) ook het meest consistent.
De regel voor associativiteit van operatoren hierbij luidt, dat iedere expressie van rechts naar links moet worden geëvalueerd.
Een voorbeeld:

a**b*c**d = a^((b*c)^d)

Ik doop dit binaire systeem voor herhalingsoperaties “Jantien's wijsvinger”.

Middelvinger. expansie van parameters  24 september 2008

Optellen, vermenigvuldigen en andere herhalingsoperaties kunnen we netjes onderbrengen in een operator-functie bigO O(a,b,c) waarbij de derde parameter c het aantal * in de operatie a*...b telt. Dan is:

O() = 0
O(a) = a
O(a,b) = ab = a+b = O(a,b,0)
O(a,b,1) = a*b
O(a,b,2) = a**b = a^b
O(a,b,3) = a***b
O(a,b,c1) = a*...b [*#c1]
          = O(a,O(a,...O(a,a,c)..,c),c) [a#b]

Er zijn nu verschillende definities mogelijk van parameter d en de parameter-rij van bigO.
Het algoritme dat ik hier zal presenteren is een natuurlijk vervolg van de herhalingsoperaties die begonnen bij vermenigvuldiging. Dit algoritme is toepasbaar op elke rij in bigO en is buitengemeen snel.

O(a,b,1,1) = a*1b = a*...a [*#b] = O(a,a,b)
O(a,b,2,1) = a*1*1b = a*1a*1...*1a [a#b] = O(a,O(a,...O(a,a,O(a,a,a))..,1,1),1,1)
O(a,b,c1,1) = a*1*1...b [*1#c1] = a*1...a*1......*1...a [*1#c, a#b] = O(a,O(a,...O(a,a,c,1)..,c,1),c,1) [a#b]
O(a,b,1,d1) = a*d1b = a*d...a [*d#b] = O(a,a,b,d)
O(a,b,c1,d) = a*d*d...b [*d#c1] = a*d...a*d......*d...a [*d#c, a#b] = O(a,O(a,...O(a,a,c,d)..,c,d),c,d) [a#b]
O(a,b,1,1,1) = a*1,1b = a*b*b...a [*b#a] = O(a,a,a,b)
O(a,b,1,1,e1) = a*1,e1b = a*b,e*b,e...a [*b,e#a] = O(a,a,a,b,e)
O(a,b,1,d1,e) = a*d1,eb = a*d,e*d,e...a [*d,e#b] = O(a,a,b,d,e)
O(a,b,c1,d,e) = a*d,e*d,e...b [*d,e#c1] = a*d,e...a*d,e......*d,e...a [*d,e#c, a#b] = O(a,O(a,...O(a,a,c,d,e)..,c,d,e),c,d,e) [a#b]
O(a,b,1,...,1) [1#k] = O(a,...,a,b) [a#k]
O(a,b,1,...,1,n1,..,t) [1#k] = O(a,...,a,b,n,..,t) [a#k1]
O(a,b,c1,..,t) = O(a,O(a,...O(a,a,c,..,t)..,c,..,t),c,..,t) [a#b]

De parameter array van operator functies kan multi-dimensionaal worden gemaakt door telbare separatoren ,,... in te lassen. Net als bij herhalingen **... evalueren we ook hier van rechts naar links en komen de kleinere dimensies vóór de grotere.
Voor de evaluatie van meervoudige komma's zijn opnieuw verschillende definities mogelijk. Het eenvoudigst is om de regels voor *-herhaling ook op komma's toe te passen. Dit trekt het duale karakter (de tandem a,b) uit de eerste parameter-rij verder door, maar is algoritmisch niet zeer snel.

O(a,,b) = O(a,a,...,a) [a#b]
O(a,,...b) [,#k1] = O(a,...a,... .:. ,...a) [,#k & a#b]

Dit duidt al aan dat er als volgende stap cycli van bigO definieerbaar zijn, waarin de dimensionaliteit van een eerdere versie On() in een volgende versie On1() als parameter terugkeert. In de ; parameter-lijst van een cyclus-functie zullen geïndexeerde separatoren ,n van bigO opnieuw binair worden gerepresenteerd, waarmee dan nòg grotere getallen kunnen worden geschreven.

Maar er zijn goede argumenten om meervoudige komma's anders te formuleren dan hierboven.
Ten eerste is de rol van het getal links van een dimensie-separator miniem vergeleken bij de rol van het getal rechts, zodat als we het getal links serieus willen nemen we het beter als parameter-teller kunnen inzetten.
Ten tweede, als het meest rechtse getal een nul is, dan zou een expressie als volgt moeten evalueren:
O(a,,0) = O(a,,) = O(a)

Daarom is een algoritme met enkelvoudig karakter (de velo a) voor dimensie-separatoren behalve sneller ook logischer:

O(a1,..,an,,1) = O(A,...,A) [A#A] waar A = O(a1,..,an)
O(A,,b1) = O(A,...,A,,b) [A#A]
O(A,,...1) [,#c1] = O(A,... .:. ,...A) [,#c & A#A]
O(A,,...b1) [,#c1] = O(A,... .:. ,...A,,...b) [,#c & A#A & ,#c1]

De parameter array van de functie O() is een binaire expressie van een getal. Zulke getallen worden onvoorstelbaar groot, zowel bij het duale als met het enkelvoudige dimensie-algoritme.
Hier enkele getallen die met tien tekens 1 en , worden geschreven:

duaal: 111,,,,,11 := 3,,,3,,7625597484987
enkel: 111,,,,,,1 := 3,,,,,3,,,,3,,,3,,7625597484987,,2,,,2,,,,2,,,,,2
e.max: 11,,,,,,,1 := 4,4,4,4,,,1,,,,1,,,,,1,,,,,,1

Nu we getallen uit kunnen drukken met enen en telbare separatoren binnen een parameter-lijst van een operator-functie, zien we “Jantien's middelvinger”.

Ringvinger. besluit om te stoppen  25 september 2008

Ergens moet het ophouden en dat is waar wij ermee stoppen. De wiskunde heeft oneindig veel ruimte om nieuwe systemen te bedenken om sneller te tellen, het ene systeem geconstrueerd bovenop (of gegeneraliseerd uit) het ander. Misschien dat, omdat elk volgend systeem een langere beschrijving vergt (meer plaats, tijd en quanta), de fysieke middelen die je tot je beschikking hebt om systemen te beschrijven de grens is voor het maken van grote getallen. Maar dan nog staat het je vrij hypothetische universa te formuleren met meer resources, zodat je hoeveelheid fundamentele systemen (hier vingers genoemd) theoretisch eindeloos kan groeien. En het is onwaarschijnlijk dat de lengte van deze formules ooit sneller toeneemt dan de getallen die het uitdrukt, integendeel.

Ook de oneindigheid zelf is geen grens, maar een extra mogelijkheid om verder te tellen, nu met verschillende maten en soorten van oneindigheid. Op de ω van het oneindige is dezelfde methodiek van toepassing als op de 1 waarmee we de getallen 111... bouwden (zoals linker en rechterhand elkaars spiegelbeeld zijn).
Dus mocht je geloven dat de fysische wereld oneindig is, groter dan aftelbare getallen, dan nog zijn er enorm veel oneindigere werelden te vinden in de wiskunde.
In feite is ons heelal qua quantum-informatie inhoud heel klein in vergelijking met de schaalvergroting die mijn operator-functie bigO toestaat. Ook al zou ons heelal nog heel oud worden (wat ik niet geloof, volgens mij loopt het kans binnen luttele miljarden jaren weer te worden opgerold), dan nog zal de totale hoeveelheid informatie (de holografische film) van elk detail wat hier ooit heeft plaatsgevonden niet groter zijn dan wat in (de random bits van) een getal ruim onder de 5,2,4 = 5***5 kan worden uitgedrukt.

Dus waarom is ons quantum-mechanisch heelal zo klein? Waarom past het in een wiskundig luciferdoosje?

Man biting nail in Metro

Deze bohémien in de metro van St. Petersburg is Gregori Perelman, de beroemde wiskundige kluizenaar, die zich de Fields medaille (= nobelprijs voor de wiskunde + $15.000) in 2006 níet liet opspelden.
Waarom? Misschien omdat de wiskundige gemeenschap hem nog $1.000.000 schuldig is voor zijn oplossing van het vermoeden van Poincaré. Het Clay Institute dat een zgn. millenniumprijs ervoor uitloofde kan best beter zijn best doen om het geld te brengen, maar wie het spel niet meespeelt...
Het duurde 3 jaar voor de experts de oplossing begrepen. Wat Fields winnaar Terence Tao en anderen over Perelman's bewijs schreven:

...the fact that this PDE result also gives the Poincaré conjecture and the more general geometrisation conjecture makes it (again in my opinion) the best piece of mathematics we have seen in the last ten years. It is truly a landmark achievement for the entire discipline.

...it is now certain that Perelman's original argument was indeed essentially complete and correct in every important detail.

This finally establishes the Poincaré conjecture!

Terence Tao in "Perelman's proof of the Poincaré conjecture"

The difficulty was to deal with singularities in the Ricci flow. Perelman's breakthrough was to understand the qualitative nature of the singularities sufficiently to allow him to prove the Poincaré Conjecture.

John Morgan & Gang Tian "Ricci Flow and the Poincaré Conjecture"

Op 24 augustus 2006 verklaarde John Morgan tijdens een plenaire lezing op het International Congress of Mathematicians in Madrid: "In 2003, Perelman solved the Poincaré Conjecture."

Ondanks dat zijn bewijs uiteindelijk erkend werd, blijft Gregori Perelman bij zijn besluit om zich af te keren van de wiskunde, op ethische gronden... Hij geeft nooit interviews en weigert om iemand te ontmoeten.
Op het weblog van de Russische jongen die de foto's met zijn mobieltje maakte stond deze observatie: "Hij had een erg lange nagel aan één van zijn vingers en raakte die voortdurend aan met zijn mond."

Man playing with finger in Metro

Dus wat is het heelal? Heeft het een bedoeling?

In de film-trilogie The Matrix wordt een koude aarde beheerst door intelligente machines en worden mensen in een kunstmatige droomtoestand gehouden teneinde hun lichaamswarmte af te tappen. Dat laatste punt is chemisch gezien een onzinnige reden, maar volgens de filosofie van Berkeley is het voor degenen die zich in zo'n perfecte droom bevinden niet toetsbaar of zij in de realiteit leven of niet. Tenslotte is de bandbreedte die nodig is om de menselijke visuele ervaring perfect te simuleren 16 Mbit/s (voor beide ogen) en is de resolutie van de andere zintuigen veel minder groot (beide oren 3 Mbit/s).
In de eerste Matrix film zegt Trinity: "A déjà vu is usually a glitch in the Matrix. It happens when they change something."
De ware toestand (buiten Plato's grot) toont zich even in kleine afwijkingen van de realiteit (schaduwbeelden op de muur), is de idee, of in toevalligheden...

Ons heelal bevat momenteel niet bijster veel quantum-informatie (met c=3 ligt er onder O(4,4,3) al meer) en bovendien wordt deze informatie in de tijd gecomprimeerd door de natuurwetten. Als het heelal een module zou zijn binnen een grotere quantum-computer (voor de grap bijv. met c=299792458;-), dan heeft het een hogere bedoeling en dan speelt het menselijk bewustzijn dat reflecteert op zijn toestand en via de wiskunde en de techniek het heelal kan laten aangrijpen op zijn fysische Guya (heelalomgeving), hierin een cruciale rol.
Er bestaat de kans dat ons heelal bevriest wanneer we toevallig de verkeerde snaar aanslaan in de berekening die deze universele quantum-computer maakt. Misschien leidt het vinden van het Higgs boson met de Large Hadron Collider in Genève (op termijn) tot zo'n bug in het systeem. De kans erop is groter dan de wetenschappers van CERN denken, door de vele onbekenden in de berekening. Daarom zou het verantwoord zijn om alle experimenten met deeltjesversnellers af te lasten.
Maar misschien zijn de ideeën die ik hier neerschrijf wel veel gevaarlijker!

Ook als we het heelal zelf niet te buiten kunnen gaan, de mensheid en ook buitenaardse beschavingen zouden een experiment kunnen zijn om bepaalde vragen in vitro te beantwoorden. Kijk naar de uitdagingen ons gesteld: onze eigen hypocriete, manipulatieve en gewelddadige natuur overwinnen (of met succes verbergen), het overleven van onze cultuur met de beperkte middelen van onze planeet, de afstanden die overbrugd moeten worden om andere planeten, sterrenstelsels en clusters te bereiken. Hoe we dat gaan klaarspelen kan een razend interessante metafoor zijn voor wezens in hogere universa om in contact te treden met nog hogere...
Hopelijk zijn de motieven van onze titanen~goden goed, maar onze eigen precaire situatie doet het ergste vermoeden.

Man standing strong in Metro

Stoppen met wiskunde kan een ethische beslissing zijn. Ontdekkingen in de wiskunde en andere bèta wetenschappen vinden vaak hun eerste toepassing in nieuwe technieken voor defensie. De ruimtevaart was van meet af aan bedoeld voor het ontwikkelen van rakettechnologie.
Door de LHC loopt het heelal gevaar, door de theorie van bigO is straks alles wat daarbuiten ligt niet veilig.
Hoe kan een moreel mens hieraan deel willen hebben? Lekkere jongens die wetenschappers, zullen prima branden!

Robert Oppenheimer zou na de tweede wereldoorlog mislukte pogingen doen om als pacifist gehoord te worden, maar op 16 juli 1945 werd de eerste atoombom, codenaam Trinity, onder zijn leiding tot ontploffing gebracht.
De Wikipedia volgt de interpretatie van historicus Gregg Herken:
Oppenheimer doopte dit experiment "Trinity" ("Drie-eenheid"), naar een gedicht van John Donne. Voor Oppenheimer een intieme persoonlijke verwijzing naar Jean Tatlock, in de jaren 30 zijn geliefde, die het werk van Donne onder zijn aandacht had gebracht en die tot Oppenheimers ontzetting enkele maanden vóór de Trinity-test de hand aan zichzelf geslagen had.

John Donne (Divine Poems 1607)
Litany IV. THE TRINITY

O Blessed glorious Trinity,
Bones to Philosophy, but milke to faith,
Which, as wise serpents, diversly
Most slipperinesse, yet most entanglings hath,
As you distinguish'd undistinct
By power, love, knowledge bee,
Give mee a such selfe different instinct
Of these; let all mee elemented bee,
Of power, to love, to know you, unnumbred three.

Binnen elke constructie van systemen komt eens de noodzaak om te besluiten ermee te stoppen, om het universum waar deze systemen in worden gelezen intact te houden.
De zorgvuldige observatie hiervan noem ik “Jantien's ringvinger”.

Pink. ethiek  26 september 2008

Een goed mens zijn loont. Ons fysische heelal bevindt zich in een eindeloze wiskundige ruimte waar elk bewust wezen in meer of mindere mate verantwoordelijk is voor het welzijn van anderen. De schepping is zo kwetsbaar...

Dus moeten we leren om voorzichtig te zijn met elkaar. Stil te zijn en in te houden.

“Jantien's pink”