Een opmerkelijk magisch vierkant werd in 2007 de landelijke pers binnengehaald als een 'wereldsensatie'. Later sprak men van een 'zeepbel', van ondergeschikt belang voor de 'echte' wiskunde. Maar het zou méér kunnen zijn dan een zeepbel: het zou een nieuwe manier kunnen betekenen van naar magische vierkanten kijken en zoeken...
De sleutel hiertoe is het fenomeen dat magische vierkanten speciale attracties kunnen hebben. Tenminste, daar wijst het nu ontdekte 12x12 vierkant op.

HSA (Heel Speciale Attractie) vierkant

Het HSA vierkant heeft verschillende speciale attracties (eigenschappen) die andere magische vierkanten tot op heden niet hadden. Maar toen men begon met zoeken naar een 12x12 vierkant stond er een andere eigenschap op het verlanglijstje die men niet heeft weten te realiseren:
Wanneer elke halve rij en elke halve kolom op zou tellen tot de helft van de som van een hele rij, zou men een zgn. Franklin vierkant realiseren. Dit was namelijk een speciale attractie van de 8x8 en 16x16 vierkanten die Benjamin Franklin eens maakte.
In plaats daarvan vond men voor dit 12x12 vierkant verschillende extra eigenschappen die de 8x8 en 16x16 vierkanten niet kennen.

Misschien is het zo dat elk formaat magisch vierkant een eigen optimum aan speciale attracties heeft. Dat de eigenschappen van zo'n vierkant dus worden bepaald door zijn grootte. Een ongekend fenomeen!
Zolang er niet meer voorbeelden worden gevonden is dit nog speculatief, maar het zou een gelukkig huwelijk kunnen inluiden voor de getaltheorie en de topologie die zich met abstracte eigenschappen van figuren bezighoudt.

1 142 11 136 8 138 5 139 12 135 2 141
120 27 110 33 113 31 116 30 109 34 119 28
121 22 131 16 128 18 125 19 132 15 122 21
48 99 38 105 41 103 44 102 37 106 47 100
73 70 83 64 80 66 77 67 84 63 74 69
60 87 50 93 53 91 56 90 49 94 59 88
85 58 95 52 92 54 89 55 96 51 86 57
72 75 62 81 65 79 68 78 61 82 71 76
97 46 107 40 104 42 101 43 108 39 98 45
24 123 14 129 17 127 20 126 13 130 23 124
25 118 35 112 32 114 29 115 36 111 26 117
144 3 134 9 137 7 140 6 133 10 143 4
Vind de Som der Getallen

Klik op het magisch vierkant
en selecteer zo je getallen


Magisch Vierkant — klik op een ster om de speciale eigenschappen te tonen:
In een vierkant met zijde Z (Z12=12) komt elk getal uit de reeks van 1 tot Z*Z één keer voor.
De getallen in elke rij en kolom tellen op tot S = Z/2*M, M=Z*Z+1 (S12=870, M12=145).
De som van iedere hoofddiagonaal of gebroken hoofddiagonaal is S = Z/2*M (S12=870).
Alle gebogen Franklin diagonalen tellen op tot dezelfde som S = Z/2*M (S12=870).
Elk duo spiegelgetallen gemaakt door spiegeling in de horizontale middellijn telt op tot S = M (S12=145).
De som van elke 1/D rij of kolom gerekend vanaf de rand is S = M*Z/D/2 (D12=3, S12=290).
Elk 2x2 deelvierkant telt op tot S = 2*M (S12=290), ook als het vierkant een projectie is van een torus.
Elke cirkel van 12 getallen telt op tot S = 6*M (S12=870), ook als je het vierkant ziet als torus (donut).
Elke cirkel van 8 getallen telt op tot S = 4*M (S12=580), ook als je het vierkant ziet als torus (donut).

Deze laatste drie attracties van het panmagisch vierkant zijn speciale gevallen van de dubbele spiegeleigenschap:

Waarbij de som van een figuur onveranderlijk is, wanneer deze figuur ergens (na translatie over een torus) gespiegeld kan worden in zowel de horizontale als de vertikale middellijn.

Willem Barink's best 12x12 magische vierkant heeft ook de dubbele spiegeleigenschap!
Read more about his isotropic construction method.

Donald Morris geldt als de maker van dit panmagisch vierkant van orde 12. Hij maakte het een paar jaar terug al, maar is niet erg duidelijk over alle eigenschappen ervan...
Dit vierkant en het "speciale attractie" concept werden waarschijnlijk 'gegoogeld' door drie scholieren: Jesse Hoekstra, Willem Schilte en Petra Alkema, die hiermee furore maakten in de Nederlandse pers.
De eigenschappen van het HSA vierkant blijven behouden als de getallen op de rijen 5 en 7 en de rijen 6 en 8 tegelijk worden verwisseld. Samen met de spiegeleigenschap levert dit een heel scala op aan figuren, waarvan dus via constructie bewezen kan worden, dat na elke translatie over een torus hun getallen dezelfde som zullen hebben. Met mijn JavaScript applicatie hierboven worden dit soort constructies leuk om zelf even te checken.

Last edit 10 August 2011