Grote Getallen systemen

§1. Getallen

De “googologie” of wiskunde van de grote getallen begint met eenvoudig tellen. Op de vingers van een hand en zo maar voort.

§1.1. Tellen met 1 en basis 10

Voor natuurlijke getallen, tel een 1 op tot het aantal 1.. enen. Voor negatieve getallen, zet links een factor min - of tel de minnen -.. van rechts op.

Tel in een repetitie, die 1 selecteert en op zijn .. plaats een aantal :n keer herhaalt, tot al die enen gelijk = zijn aan getal n uit de rep en het tellen stopt.
Of begin met het getal nul 0 dat niets   is, en stop zonder te tellen.

1.. :0 = 0
1.. :n = n

Schrijf de getallen van twee tot tien met cijfers 2,3,4,.. en definieer ze met enen. Zet deze ook om => in binaire notatie met basis twee.

  2 = 11 => 10
  3 = 111 => 11
  4 = 1111 => 100
  5 = 11111 => 101
  6 = 111111 => 110
  7 = 1111111 => 111
  8 = 11111111 => 1000
  9 = 111111111 => 1001
 10 = 1111111111 => 1010

In een basis systeem of radix r lopen de cijfers van 0 tot r- en hebben aparte tekens. Daarna komt 10 als de eigen basis en de verdere samenstellingen.
De lengte van getallen in een basis wordt door de extra tekens bekort. Zo is ieder natuurlijk getal <r^k op unieke wijze gegeven met maar <k cijfer plaatsen.

Schrijf een getal in basis r als een reeks digits d en vertaal deze terug als factoren * van oplopende machten ^ van r die in serie worden opgeteld.

di.. k:0  <=
  d0.+di*r^i.. 1:k

De index i neemt elke volgende stap toe of af met 1 zoals l-r van links naar rechts aangeduid in de rep.
De waarde van de cijfer plaatsen loopt l-r af (het grootste cijfer getal vooraan), maar de constructie van getallen via herhaalde vermenigvuldiging van 10 moet wel oplopen. Derhalve is behalve de historische herkomst van de cijfers ook de r-l richting van decimale getallen Arabisch te noemen.

In basis zes is het getal 555 hetzelfde als 215. in basis tien. Maar als de bases onbekenden zijn, zou je die dan kunnen berekenen..?

§1.2. Fysieke getalgaten

Grote getallen zijn kort weer te geven in wiskundige expressies, die met behulp van regels te evalueren zijn tot een aantal enen. Expressies bestaan uit speciale tekens voor operaties of functies, en ook de definitie van regels in een algoritme vereist een zekere notatie. Ons reisplan is om wiskundige constructen en hun relaties te herkennen en te herhalen tot in het oneindige.

Doel van de googologie is om met een minimaal aantal tekens en zo beperkt mogelijke regels, zo groot mogelijke getallen te noteren.

Hoe sneller de functie, hoe meer getallen tussenin gemist worden in de notatie. Zulke grote gaten liggen dieper verborgen dan de grote getallen zelf, die als vuurtorens boven hun eiland van naburige kenbare getallen uitsteken, terwijl de random zee van getallen eromheen onkenbaar is.
Vrij snel in ons verhaal zijn de meeste natuurlijke getallen door geen enkel praktisch getalsysteem meer te bevatten. Want de systemen die in ons fysisch heelal mogelijk zijn, zijn beperkt door het aantal te observeren quantum bits.
We kunnen stellen dat binaire getallen met een lengte van ongeveer 10^81 (Vopson 2019) tot wel 10^90 (Lloyd 2001) zich nog in ons zicht bewegen.
Daarboven wonen de goden.

In elk wiskundig systeem is de expressie lengte van de meeste gehele getallen groter dan in een radix met evenzoveel tekens. Hoewel dit verschil niet meer dan een luttele basismacht 10 kan bedragen in totaal, omdat al die expressies uiteindelijk tot 1.. evalueren in de systeem output.

Al de getallen die de mens kan gebruiken zijn relatief “klein”. Het vervolg van ons reisverhaal over de getallen is dus volstrekt nutteloos, hopelijk, duimen maar!

§1.3. Googol en googolplex

Als groot getal noemen we de “googol”, te schrijven als 10^100 met exponent, of in onze basis tien als een 1 gevolgd door 100 nullen.
De Babyloniërs zouden hier in basis 60 een reeks van 57 spijkerschrift tekens voor nodig hebben. In de digitale radix 256 neemt dit 42 bytes in beslag.
Voor de googoloog, die net als Google zijn naam dankt aan dit getal, geeft een basis notatie erge rompslomp. Cijfers zijn handig om getallen mee af te korten, maar googologen tellen net zo goed weer enen als onbenullen nullen.

Een “googolplex” is een 1 met googol nullen, ofwel 10^10^100 met dubbele exponent. Dit getal zou in de hypothetische basis “googol” met 10^98 nullen geschreven worden. Als elke 0 daarin de maat van een bacterie heeft vullen die de gehele ruimte van het heelal, een voorbeeld van de onmacht van radix systemen.
Om een random getal verborgen in de zee rondom het googolplex uit te drukken met quantum bits, hebben we tot wel 10^20 keer zoveel van die deeltjes nodig dan er in ons heelal zijn. Zelfs bij een vrije keuze om elke mogelijke wiskundige expressie te evalueren met elk mogelijk wiskundig systeem, weer te geven als input (uitrekenen hoeft niet) op onze ene universum quantum tablet, is het nog onzeker of elk getal opgevist zou kunnen worden. Met een hogere exponent erbij de meeste random getallen zeker niet!

Googolplex is al een onbegrijpelijk groot getal. Het eerste vuurtoren eiland dat we aandeden op onze ontdekkingsreis naar het oneindige.

§2. Supermacht operaties

De wiskunde stelt dat een supermacht de herhaling is van een aantal vorige macht of supermacht operaties. Hier telt ^{c>0} het aantal carets en onze rep herhaalt de text links van .. in totaal b keer.

a^{c+1}b = a^{c}..1 :b

Wat stapsgewijs als volgt kan worden gedefinieerd. Waarbij *{c≥0} ook de vermenigvuldiging tot een serie van directe optellingen kan reduceren.

a*{c1}b1 = a*{c}(a*{c1}b)
    == a*{c}(..a*{c1}1..) :b:
     ≡ a*{c}..a :b

Supermacht operaties ^{c} of *{c1} zijn rechts associatief, dus deze expressies worden verder van rechts naar links uitgewerkt.

Hier evalueren we de supermachten met onze nieuwe “popster” operaties. Deze sluiten nauw aan bij een primitief recursieve functie voor supermachten over een rij variabelen. We zullen ons popster systeem langzaam opbouwen.

§2.1. Rekenoperaties

Met de eerste supermachten *{k<3} kunnen we rekenen. Dit zijn de operaties van optellen *{0} en vermenigvuldigen *{1} en machtsverheffen *{2} waarvan ook de inversen en vele reële en complexe getallen bekend zijn.

§2.1.1. Optellen is 0

Bij variabelen met natuurlijke getallen a en b die naast elkaar staan, is meteen de som ab gegeven, waarin alle enen 1.. bij elkaar optellen.
We plaatsen plus + tekens tussen getallen om optellen uit te stellen.

• +a+b =` +ab
• a+b = ab

Door deze regels • voor optellen consequent vanaf rechts toe te passen, komen de wachtende operaties beschikbaar en kan hun + wegvallen.

Het “is gelijk” teken = drukt gelijkheid uit en betreft de evaluatie van hele expressies of subexpressies (binnen haakjes).
Het “is rechts” teken =` selecteert vanaf rechts in de expressie. Daarmee werken we operaties r-l uit, reducerend van rechts naar links.

Zo werken we een optelling tot getal stapsgewijs uit.

1+1+1+1 = 1+1+11
     = 1+111 = 1111 ≡ 4

De actieve plus operatie is te beschouwen als *{0} nulde superster, die leeg is.
Alle operaties rechts van een plus teken krijgen voorrang, maar ook elke hogere operatie die links ervan staat.

§2.1.2. Vermenigvuldigen is 1

Vermenigvuldigen is herhaald optellen van een constant a.. getal. Het keer of maal teken ertussen schrijven we met een * ster.

Definitie van vermenigvuldigen voor gehele getallen. Stel b>0 zodat de tweede regel in de laatste stap de iteratie overneemt van de eerste regel.

• a*b1 =` a*b+a
• a*1 =` a

Vindt een match vanaf rechts =` in de expressie voor de vorm links in de regel. Iedere iteratie stap telt een constante a op bij de som.
Herhaal de reeks stappen == in combinatie met optellen, tot de laatste stap de operator elimineert en de uitkomst levert.

a*b1 = a*b+a
    == a*1+.a.. :b
     = a.. :b1

De rep :b herhaalt de tussen . of terzijde van de punten .. geselecteerde passage b maal. Reps zijn beschrijvend bedoeld en niet regelgevend.

Een voorbeeld van vermenigvuldiging als optellen in stappen. Neem de vertaling naar decimale getallen hier voor lief.

 2*3 = 2*2+2 = 2*1+2+2
     = 2*1+4 = 2+4 = 6

De iterator is hier 111 en in het algemeen een variabele b waar elke stap 1 vanaf telt om een kopie van a op te sommen.
De ster van vermenigvuldigen is de eerste superster operator.

§2.1.3. Machtsverheffen is 2

Machtsverheffen ** of ^ is herhaald vermenigvuldigen.
Om machten stapsgewijs uit te werken, met de lagere operaties eerst, moeten we de hogere in de wacht zetten. De pop plus in popster *+ operaties stelt vermenigvuldiging uit. Alsof het tussen haakjes staat, met maar één plus teken, tot het getal klaar is en de ster ontpopt.

Evalueer popster machten volgens deze speciale definitie, waar b>0.

• +a*+b =` +a*b
• a*+b = a*b
• a**b1 =` a**b*+a ≡ a*..a :b
• a**1 =` a

We hebben de regels in een volgorde gezet, die het mogelijk maakt om deze definitie op twee manieren toe te passen: hetzij door de bovenste toepasbare regel uit te voeren, hetzij de regel die meest rechts in de expressie aangrijpt.

We gebruiken het equivalentie teken ≡ voor een vorm van expressie, die niet via de regels te bereiken is. Zoals hier voor een reeks factoren, want de regels werken factor voor factor uit tot getal.

2**3 = 2**2*+2 = 2**1*+2*+2
     = 2**1*+2*2 == 2**1*+4
     = 2*+4 = 2*4
    == 8 ≡ 2*2*2

Hoewel dit vanzelf niet in de uitwerking kan gebeuren, telt ons popster systeem in a^b+1 één op bij een factor, maar in 1+a^b gewoon bij het totaal. Volgt een ster *+ met pop plus, dan komt die gewoon als factor bij de reeks factoren.

Deze regels werken zonder precedentie en evalueren strikt r-l vanaf rechts, wat vreemde resultaten geeft als we ster operaties op elkaar schrijven.

2**3*2 = 2**3*1+3 = 2**3+3
       = 2**2*+2+3 = 2**2*+5
       = 2**1*+2*+5 = 2**1*+2*5
      == 2**1*+10. = 2*+10.
       = 2*10. == 20.

We kunnen het ook anders regelen: om carets ^ met meerderheids-precedentie op te lossen (hogere operaties met meer tekens eerst), en daarna sterren * met minderheids-precedentie (voorrang aan minder tekens).
Dan zou 2**3*2 = 2^6 groter zijn, maar 2^3*2 = 8*2 kleiner.

§2.2. Popster supermachten

Door extra sterren * in de operator zetten, of met een superfactor {c} weer te geven, noteren we moeiteloos enorm grote getallen.
De macht operant b die groeit in de evaluatie, drukt steeds een reeks vorige operaties met constante a uit. In ons systeem met popsterren worden die torens niet afgebouwd; de top operaties komen apart te staan en werken we eerst uit.

§2.2.1. Definitie

De volgende operatie met *** sterren of ^^ dakjes heet “Tetratie” en geeft een aantal machtsverheffingen, equivalent aan een toren van exponenten die r-l vanaf rechts moet worden opgelost.

a***b1 = (a***b)**a
      == (..a^^1..)^a :b:
       = a^..a :b

Operatie na operatie kunnen we zo supermacht expressies bouwen met ieder aantal operator tekens. In wezen een dubbel recursieve operatie over twee variabelen, met als beginwaarden iterator b=1 en *{c=0} voor direct optellen (of nul dakjes voor historisch vermenigvuldigen).

Definitie om PopSter supermachten te evalueren tot natuurlijk getal.
Steeds geldt b>0 maar de operator *{c≥0} kan leeg zijn.

1. PS.1a. +a*{c}+b =` +a*{c}b
1. PS.1b. a*{c}+b = a*{c}b
2. PS.2. a*{c1}b1 =` a*{c1}b*{c}+a
3. PS.3. a*{c1}1 =` a

We voeren die regel uit, die een match geeft op de meest rechtse =` positie in de expressie. Maar in de evaluatie van een supermacht blijft dit hetzelfde als voorrang geven aan de bovenste regels.
Variabelen zijn “gretig” naar enen, zodat elke getal a in de regels compleet is, zonder rest deel in de expressie.

Stap 2. ster operatie introduceert kleinere popster met operant.
Trap 1. elimineert de plus uit de rechts gelegen popster.
Stap 3. elimineert als laatste stap de ster operatie.

De evaluatie van supermachten kan toe met vier regels. Of zelfs drie, wanneer we regel 1a. en 1b. regulier samenvatten.
Of als we een plus teken +X voor alle popster expressies zouden zetten, dan is een vierde regel +x = x pas nodig bij de uitkomst.

§2.2.2. Evaluatie

Als voorbeeld werken we de macht 2**2 en de supermacht 2****3 uit met de PopSter regels in stappen vanaf rechts.
We schrijven voor het gemak carets, waarbij *{c1} en ^{c} gelijk zijn en strikt r-l rechts associatief met pops te evalueren.

2^2 = 2^1*+2
    = 2*+2 = 2*2
    = 2*1+2
    = 2+2 = 4

De ster en pop plus eliminatie van regels 3. en 1. volgen steeds na elkaar, dus kan dat ook = ineens. Een reeks stappen geven we vaak wel met == aan.

2^^^3 = 2^^^2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^2
      = 2^^^1^^+2^^1^+2
      = 2^^^1^^+2^2
      = 2^^^1^^+4
      = 2^^4 = 2^^3^+2
             = 2^^2^+2^2
             = 2^^2^+4
             = 2^^1^+2^4
             = 2^^1^+2^1*+2*4
             = 2^^1^+2^1*+2*1+6
             = 2^^1^+2^1*+8
             = 2^^1^+2*8
            == 2^^1^+16.
             = 2^16. == 65536.

Alle supermacht expressies zijn met twee type tekens, de 1 en * te noteren. Tijdens de evaluatie komt daar de pop + als solo haakje bij. Slechts drie tekens!
Dakjes ^ of carets en ^+ popcarets, cijfers en tientallige getallen (met decimale punt) nemen we erbij als afkortingen.

§2.2.3. Toepassingen

We kunnen sommige supermacht operaties alleen ruwweg met elkaar vergelijken qua grootte. In dit voorbeeld neemt het absolute verschil < tussen twee ster supermachten bij grotere c toe. Terwijl dit verschil in de context van de hierdoor groeiende reeksen klein begint met 1 en niet significanter zal worden.

2^{c}4 = 2*{j}..8 c:1  <
3^{c}3 = 3*{j}..9 c:1

De teller {c} geeft in krulhaakjes het aantal tekens in de operator aan. De repetitie c:1 noteert een reeks waarin de indexen j naar rechts afnemen.

In de expressie a^{c}b1*{d}+e ontpopt de iteratie van rechts als hoogste exponent in de toren a*{c}..a*{d}e :b wat significant kan zijn en een aanvulling vormt op ons rekenapparaat, om array functies nauwkeuriger te kunnen schatten.

In de teller kan ook een subexpressie staan, die met voorrang wordt uitgewerkt. En dat in serie, zoals Gardner het Getal van Graham aangeeft, met geneste superexponenten en Knuth's pijlen.

3↑{..3↑↑↑↑3..}3 :63:
  = 3^{..4..}3 :64:
    = 3*{..4..+1}3 :64:

De duorep :d: herhaalt selecties aan beide kanten van de expressie. Plaats elke selectie op zijn punten .. links erna en rechts ervoor in de expressie. En werk in stappen van binnen naar buiten, tot de rep tot :1: is uitgeteld en deze met de punten uit de expressie verdwijnt.

Pas in 1976 zag de superoperator het licht, met carets in de vorm van de pijlen ↑{c} van Donald Knuth, in zijn essay "Omgaan met eindigheid".
Maar dezelfde dubbele recursie φc(a,b) inclusief Ackermann functie was al te vinden bij David Hilbert, in zijn artikel "Over het oneindige" uit 1925.

§2.2.4. Functie vorm

Evaluatie van supermachten kan makkelijker met een functie!
Als we supermacht operaties a*{c}b uitwerken volgens de PopSter definitie krijgen expressies deze vorm.

a*{ci+1}bi*{ci}+..b0 k:1
  waar  b>0  en  ci1>ci≥0

Elke superster operatie telt daarbij een ster * meer dan de erop volgende popster. Deze sterparen nemen naar rechts af, maar niet alle tussenliggende supersterren *{c} hoeven in die reeks voor te komen.

Stel nu, dat we voor de ontbrekende supermachten in die reeks een operant b=0 nemen (een permanente nul), die zijn sterpaar reduceert tot een wegvallende nul 01 = 1 (tegen de variabele erna) met een extra regel.

4. PS.4. a*{c>0}0*{d}+ =` 0

Zo is de reeks van sterparen die naar rechts toe aflopen compleet.

a*{i}bi*{i-}+..b0 k:1

En verloopt een uitwerking vanaf rechts bijvoorbeeld via:

2^^^^1^^^+2^^^0^^+2^^2^+2^0*+2*0+1
   = 2^^^^1^^^+2^^^0^^+2^^2^+1
  == 2^^^^1^^^+2^^^0^^+4
   = 2^^^^1^^^+4
   = 2^^^+4 = 2^^^4
  == 2^^65536. ≡ 2^..1 :65536

Omdat alleen de operanten b en het aantal carets ^{c} of sterren *{c1} variabel zijn en kenmerkend, is het overbodig om de constante a voortdurend aan te halen. Ook komt er van ieder sterpaar nu één voor, in rangorde r-l oplopend, met de hogere supermachten links in de wacht.

Om tijdens de uitwerking een popster expressie op te slaan, hoeven we dus enkel de constante a en alle variabelen b_i in volgorde te noteren.

2^^^^2^^^+        2^^2
2^^^^2^^^+2^^^0^^+2^^2^+2^0*+2*0+1
2^^^^2     ^^^0    ^^2   ^0   *0+1
2    2        0      2    0   0  1
2,   1,0,0,2,0,2

Alle essentiële data is hier met zeven getallen gegeven. En we draaien de rij met zes variabelen ook om, zodat de evaluatie l-r in leesrichting kan verlopen.

De achterste pop +1 is eigenlijk alleen voor de vorm en kan in de functie door een andere regel worden ondervangen. Getal 0 schrijven we zonder enen.
Dan toont deze popfunctie, dat het aantal supermachten *{k}n steeds 1 verschilt met het corresponderende aantal komma's ,{k1}n links in de rij.

2*{6}3 = 2*****2****+2***2
11,{7}111 = 11,,,,11,,11

Zo zetten we supermacht expressies om naar een rij structuur, met nog maar twee tekens en een veel kortere expressie lengte.
De regels voor de evaluatie van een dergelijke functie zijn simpeler en zien we in het volgende hoofdstuk.

§3. Rij functies

De systemen in dit hoofdstuk beperken zich tot een eerste rij met variabelen, als beginplan voor het maken van grote getallen. We ontwerpen hier twee nieuwe primitief recursieve functies, die de supermachten uitdrukken.
Ook bespreken we de bekende notatie systemen van Conway's pijlketen en Bird's lineaire array. In hun snelle recursieve functies worden subexpressies meteen genest, zodat supermachtsverheffen al met twee variabelen kan.

§3.1. Systeem Adam

Systeem A voor “Adam” of “Amsterdam” krijgt over zijn eerste rij de functie vorm van de popster supermachten uit het vorige hoofdstuk.
Thema bij de constructie van Adam is, dat iteratoren en structuren worden afgeteld tot 0 of eigenlijk tot deze leeg staan.

§3.1.1. Primitieve recursie

Om zo zuinig mogelijk te zijn met type tekens, substitueren onze functies geen subexpressies (X) maar getallen. Ronde haakjes zijn hierbij niet nodig en de regels staan dus geen “functionele recursie” toe, waarbij een afgetelde functie expressie terugkeert in de input variabele.
Rij expressies bestaan uit getallen met tekens 1 en komma's , ertussen als separator. Als variabelen afgeteld zijn, laten we de 0 weg.

Als “primitief” geldt het optellen van de constante a en het opschuiven van de variabele b over de rij, wat “opladen” heet. Dit is de getal opbouw.
Beide regels tellen 1 af van een hogere iterator (of schrijf min - bij), rechts van de in te vullen positie. Dit is de expressie afbouw.
We herhalen deze stappen “recursief”, waarbij een vorige herhaling het aantal volgende herhalingen bepaalt. Tot een natuurlijk getal n wordt uitgedrukt, als een serie enen 1.. :n van die lengte.

We kunnen alle supermacht expressies evalueren tot getal, door slechts twee tekens te gebruiken en drie primitief recursieve regels.

§3.1.2. Definitie A.I

Definitie van “Adam” systeem A. over structuur I. van een rij variabelen, met regels voor de selectie en evaluatie van supermacht expressies.
De variabele b≥0 en het aantal komma's ,{k≥0} mag nul zijn, zonder teken, en ook text variabele R voor het deel rechts kan leeg staan.

1. A.I.1. a,b,1R = a,ab,R
2. A.I.2. a,b1,,{k},1R = a,,1,{k}b,R ₁= a,a,,{k}b,R
3. A.I.3. a,b,{k} = b

Regels met = selecteren de hele expressie. Gedurende de evaluatie is steeds precies één van deze regels toepasbaar.
Expressies van A.I blijven congruent aan die bij de evaluatie van de popster operaties, zodat functie variabelen links als het ware op de top operatie rechts worden gestapeld. Maar de regels werken anders.

Regel 1 telt de constante a op in variabele b.
Regel 2 verplaatst het somtotaal van b om een afgetelde iterator op te laden, maar laat 1 slim achter, zodat a optelt in de volgende stap.
Regel 3 neemt getal b als uitkomst en stopt de evaluatie.
De uitgetelde rij structuur rechts mag tot op het laatst blijven staan.

Alleen expressies van de vorm a,,,{k>0}1R zijn niet reduceerbaar en vallen buiten systeem A. We bieden daar een oplossing voor met de volgende systeem varianten, waarin ook de lege structuren rechts eerder wegvallen.

§3.1.3. Variant Aa.I

In de uitgebreidere definitie Aa.I worden de resterende komma's van afgetelde variabelen meteen vanaf rechts opgeruimd.
In plaats van een text variabele gebruiken we het scan teken ` voor een passieve passage tot op het eind rechts.
Stel b≥0 bij het somtotaal. Waar :k>0 een aantal afgetelde variabelen ,0 tussenin herhaalt, wat we hiervoor noteerden met lege ,{k} komma's.

0. Aa.I.0. a,`,0 = a,`
1. Aa.I.1. a,b,c1` = a,ab,c`
2. Aa.I.2a. a,b1.,0..,d1` :k = a.,0..,b1,d` :k
2. Aa.I.2b. a.,0..,d1` = a,a.,0..d` :k
3. Aa.I.3. a,b = b

In systeem Aa kiezen we ervoor om expressies met waarde b=0 onder c=0 gelijk te houden aan die waar b=1 zou staan. In het strikte systeem A vielen expressies a,{k>2}1R gewoon niet onder de regels, maar hier worden deze handig gebruikt om een supermacht mee uit te drukken.

a*{c>0}b = a,{c1}b

De extra regel verandert de evaluatie niet. Regel 2a en 2b van Aa na elkaar toepassen, geeft hetzelfde resultaat als opladen en optellen in systeem A.

§3.1.4. Variant Ab.I

Een ander type definitie scant `= de expressie vanaf de linker kant naar rechts, tot er een match gevonden is, of faalt. En we benoemen alleen die variabelen en structuren, die om te selecteren en te wijzigen nodig zijn.

Een spatie in een regel betekent het einde van het linker gedeelte van de match, waarna de expressie doorzocht wordt naar een match voor het rechter gedeelte. Op de spatie zal de l-r scan dus elke andere passieve text overslaan.

Bij deze definitie van systeem Ab.I worden de regels strikt in volgorde toegepast.
Stel alle b≥0 en ruim de komma's pas op als de verdere rij leeggeteld is.

1. Ab.I.1. a,b,1 `= a,ab,
2. Ab.I.2a. a,b1, ,1 `= a,,1 b,
2. Ab.I.2b. a,,, 1 `= a,1,,
3. Ab.I.3a. a,b, `= a,b
3. Ab.I.3b. a,b = b

Speciale expressie a,,{k>1}2R evalueert nu tot a,a,{k}R en telt dus een iteratie stap meer af dan in systeem Aa. Dit is rekenkundig juister. Schrijf in Ab dus altijd b=1 om een standaard supermacht uit te drukken.

§3.2. Adam supermachten

We vergelijken de evaluatie in functie A.I met de popster operaties. Na wat rekenen ermee volgt de algemene vorm van zulke vergelijkingen.

§3.2.1. Tetratie in rij van vijf

Voorbeelden met drie tot vijf parameters in systeem A.I, die equivalent zijn aan popsterren * tot *** die tot tetratie komen.
Van functie regels `= tonen we de nummers links van het evaluatie teken en van de popster regels =` rechts.

Evaluatie van optellen en vermenigvuldigen.

      a,b,1c     =     a*c1+b
  1=  a,ab,c     =2,1  a*c+ab
 1==  a,a*c+b,1  ==    a*1+a{c}b
  1=  a,a*c1+b,  =3,1  a{c1}b
  3=  a*c1+b

Evaluatie van machten in A.I en popsterren.

      a,1,,2d    =     a**d2*+1
  2=  a,,1,1d    =2,1  a**d1*+a*1
  1=  a,a,,1d    =3    a**d1*+a
  2=  a,,a,d     =2,1  a**d*+a*a
 1==  a,a*a,,d   ==    a**d*+a^2
  ==  a,a^d1,,1  ==    a**1*+a^d1
  2=  a,,a^d1,   =3,1  a*a^d1
 1==  a,a^d2,,   ==    a^d2
  3=  a^d2

Gebruik ster operaties in de variabelen om het functie algoritme te begrijpen.

a,b,c,d == a,a*c+b,,d
    = a,,a*c+b,d-
    = a,a*+a*c+b,,d-
   == a,a^d*+a*c+b,,
    ≡ a^d*(a*c+b)

De iterator e van tetratie domineert de kleinere rekenoperaties. Als deze niet veel groter zijn dan a dan telt dit ongeveer twee exponenten erbij e2 op.

a,b,c,d,e
    = a,a^d1*c1,,,e {b=a}
    ≡ a,1,,a^d2,e- {c1=a}
    = a,a^a^a,,,e- {d2=a}
   == a^^e2

Precies gesteld zo. Of als d~a dan ronden we een rij van vijf in A.I net zo af.

§3.2.2. De rij als reeks popsterren

Met een reeks lege komma's ,{k} op de Adam rij drukken we direct het aantal sterren *{k} van een supermacht uit.

a,1,{k1}2pk
    = a,a,{k1}1pk
    = a,a,{k}a-,pk
   == a,a*{k}a,{k1}pk
    = a*{k1}(pk+2)

Elke voorliggende parameter p in de functie rij is zelf een supermacht a*{k1}p ofwel a^{k}p en vormt een popster operatie bovenop de hoogste exponent van de supermacht van een rechts volgende parameter.

Algemene vergelijking van expressies A.I met de reeks popsterren, beide in rep notatie. En afgerond tot supermacht, waar we de hele rij met insignificante p~a optellen bij de superexponent.

a.,pi.. 0:k
  = a*{i}pi*{i-}+..p0 k:1
    ~ a*{k}(pk+1)*{k-}+pk-
    ~ a*{k}(pk+2)

In het begin bij k<2 of als de voorlaatste p bijzonder groot is, zal de afronding hiervan ~ afwijken.

Wat lastig is aan systeem A.I zijn de twee oplaadregels in serie: het laag opladen van waarde a naar cel b voordat hoog opladen van cellen weer mogelijk wordt.
Ook zou het zuiniger zijn om de tekenreeks ,{k>1} in te zetten als dimensie separatoren voor multidimensionale matrices. Met de volgende functie lossen we dit op.

a,b,1 2= a,b
    1= a+b

a,b,c1 3= a,ab,c
    == a,a*c+b,1
    2= a,a*c+b
    1= a*c1+b

a,b,1,d2 3= a,a,b1,d1
   == a,a*b1,1,d1
    = a,a,1+a*b1,d
   == a,a*(a*b1+1),1,d
   == a,.a*(..b..+1).,1,2 :d:
 3,2= a,a,1+.a*(..b..+1) :d:
   @= a,.a*(..b..+1). :d1:
   ~> a^d2 {b1=a}

a,b,c1,d 3= a,a+b,c,d
   == a,a*c1,1,d {b=a}
   @= a,.a*(..c..+1) :d:
   ~> a^d1 {c1=a}

a,b,1,1,e1 = a,a,a1,b,e1
      @~ a,a^b1,1,1,e
      ~~ a,a^^e^+b1
      ~> a^^e1 {b1=a}

a,,1,1,e1 3= a,a,1,1,e
      @~ a^^e

a,b,c,d,e {b=a c=a}
      @~ a,a^d1,1,1,e
      @~ a,a^^e^+d1
      ~> a^^e1 {d1=a}

a,.,1..,z :k = a*{k1}z

a.,pi..,z 0:k =
    a*{k1}z.*{j}+pj.. k:0
  ~ a*{k1}z*{k}+pk+1  met pj~a
  ~ a^{k>0}z1

a,b1,c1 = a,(a,b,c1),c
     == a,(..a,1,c1..),c :b:
      = a,(..a..),c :b:

a*{c1}b1 = a*{c}(a*{c1}b)
      == a*{c}(..a..) :b:

a,b ,ci..,,..,,,.. :d :e :f

a,b1 ,[1][3]
   `= a,a ,[1,[b1][2]2]
       `= ,[1,[b][2]a,[b1][2]1]
      `== ,[1,[1][2]a`]
       `= ,[1,[1,[a][1]2]a`]
        = ,[1,[1,[a]2]a`]
      `== ,[1,[1,a`]a`]
       `= ,[1,[a`]a`]
      `== ,[a`]
  `== a,a,a

a,b1 ,[1];[c1]
   `= a,a ,[1][b1];[c]
       `= ,[1,[a][b];[c]2]
      `== ,[1,[1][b];[c]a`]
       `= ,[1,[1,[a][b-];[c]2]`]
      `== ,[1..,[1][1];[c]..`] :b:
      `=` ,[1][1][a];[c-]
       `= ,[1][1,[1][a][a-];[c-]2]
     `==` ,[a][a-][a-];[c-]
      `== ,.[a-]..;[1] :c1
        = ,.[a-].. :c1

a,b1 ,[1];[[2]][3]
   `= a,a ,[1];[[1]][b1];[[2]][2]
    = ,[1];[b1];[[2]][2]