Grote Getallen systemen

§1. Getallen

De “googologie” of wiskunde van de grote getallen begint met eenvoudig tellen. Op de vingers van een hand en zo maar door.

§1.1. Tellen met 1 en basis 10

Voor natuurlijke getallen, tel een 1 op tot het aantal 1.. enen. Voor negatieve getallen, zet links een factor min - of tel de minnen -.. van rechts op.

Tel in een repetitie, die 1 selecteert en op zijn .. plaats een aantal :n keer herhaalt, tot al die enen gelijk = zijn aan getal n uit de rep en het tellen stopt.
Of begin met het getal nul 0 dat niets   is, en stop zonder te tellen.

1.. :0 = 0
1.. :n = n

Schrijf de getallen van twee tot tien met cijfers 2,3,4,.. en definieer ze met enen. Zet deze ook om => in binaire notatie met basis twee.

  2 = 11 => 10
  3 = 111 => 11
  4 = 1111 => 100
  5 = 11111 => 101
  6 = 111111 => 110
  7 = 1111111 => 111
  8 = 11111111 => 1000
  9 = 111111111 => 1001
 10 = 1111111111 => 1010

In een basis systeem of radix r lopen de cijfers van 0 tot r- en hebben aparte tekens. Daarna komt 10 als de eigen basis en de verdere samenstellingen.
De lengte van getallen in een basis wordt door de extra tekens bekort. Zo is ieder natuurlijk getal <r^k op unieke wijze gegeven met maar <k cijfer plaatsen.

Schrijf een getal in basis r als een reeks digits d en vertaal deze terug als factoren * van oplopende machten ^ van r die in serie worden opgeteld.

di.. k:0  <=
  +di*r^i.. 0:k

De index i neemt elke volgende stap toe of af met 1 zoals l-r van links naar rechts aangeduid in de rep.
De waarde van de cijfer plaatsen loopt l-r af (het grootste cijfer getal vooraan), maar de constructie van getallen via herhaalde vermenigvuldiging van 10 moet wel oplopen. Derhalve is behalve de historische herkomst van de cijfers ook de r-l richting van decimale getallen Arabisch te noemen.

In basis zes is het getal 555 hetzelfde als 215. in basis tien. Maar als de bases onbekenden zijn, zou je die dan kunnen berekenen..?

§1.2. Fysieke getalgaten

Grote getallen zijn kort weer te geven in wiskundige expressies, die met behulp van regels te evalueren zijn tot een aantal enen. Expressies bestaan uit speciale tekens voor operaties of functies, en ook de definitie van regels in een algoritme vereist een zekere notatie. Ons reisplan is om wiskundige constructen en hun relaties te herkennen en te herhalen tot in het oneindige.

Doel van de googologie is om met een minimaal aantal tekens en zo beperkt mogelijke regels, zo groot mogelijke getallen te noteren.

Hoe sneller de functie, hoe meer getallen tussenin gemist worden in de notatie. Zulke grote gaten liggen dieper verborgen dan de grote getallen zelf, die als vuurtorens boven hun eiland van naburige kenbare getallen uitsteken, terwijl de zee van random getallen eromheen onkenbaar is.
Al vrij snel in ons verhaal zijn de meeste natuurlijke getallen door geen enkel praktisch getalsysteem meer te bevatten. Want de systemen die in ons fysisch heelal mogelijk zijn, zijn beperkt door het aantal te observeren quantum bits.
We kunnen stellen dat binaire getallen met een lengte van ongeveer 10^81 (Vopson 2019) tot wel 10^90 (Lloyd 2001) zich nog in ons zicht bewegen.
Daarboven wonen de goden.

In elk wiskundig systeem is de expressie lengte van de meeste gehele getallen groter dan in een radix met evenzoveel tekens. Hoewel dit verschil niet meer dan een luttele basismacht 10 kan bedragen in totaal, omdat al die expressies uiteindelijk tot 1.. evalueren in de systeem output.

Al de getallen die de mens kan gebruiken zijn relatief “klein”. Het vervolg van ons reisverhaal over de getallen is dus volstrekt nutteloos, hopelijk, duimen maar!

§1.3. Googol en googolplex

Als groot getal noemen we de “googol”, te schrijven als 10^100 met exponent, of in onze basis tien als een 1 gevolgd door 100 nullen.
De Babyloniërs zouden hier in basis 60 een reeks van 57 spijkerschrift tekens voor nodig hebben. In de digitale radix 256 neemt dit 42 bytes in beslag.
Voor de googoloog, die net als Google zijn naam dankt aan dit getal, geeft een basis notatie erge rompslomp. Cijfers zijn handig om getallen mee af te korten, maar googologen tellen net zo goed weer enen als onbenullen nullen.

Een “googolplex” is een 1 met googol nullen, ofwel 10^10^100 met dubbele exponent. Dit getal zou in de hypothetische basis “googol” met 10^98 nullen geschreven worden. Als elke 0 daarin de maat van een bacterie heeft vullen die de gehele ruimte van het heelal, een voorbeeld van de onmacht van radix systemen.
Om een random getal verborgen in de zee rondom het googolplex uit te drukken met quantum bits, hebben we tot wel 10^20 keer zoveel van die deeltjes nodig dan er in ons heelal zijn. Zelfs bij een vrije keuze om elke mogelijke wiskundige expressie te evalueren met elk mogelijk wiskundig systeem, weer te geven als input (uitrekenen hoeft niet) op onze ene universum quantum tablet, is het nog onzeker of elk getal opgevist zou kunnen worden. Een macht hoger de meeste random getallen zeker niet!

Googolplex is al een onbegrijpelijk groot getal. Het eerste vuurtoren eiland dat we aandeden op onze ontdekkingsreis naar het oneindige.

§2. Supermacht operaties

Met de eerste supermachten *{k} zijn we al gewend om te rekenen. Dit zijn de operaties van optellen *{0} en vermenigvuldigen *{1} en machtsverheffen *{2} waarvan ook de inversen, reële en complexe getallen bekend zijn.

§2.1. Rekenoperaties

Door var variabelen met natuurlijke getallen a en b naast elkaar te zetten, telt de som ab meteen op, omdat we enen 1.. tellen.
We plaatsen plus + tekens tussen getallen om optellen uit te stellen. En een extra plus links voor het algoritme.

+1+1+1 = +1+11 = +111
    = 111 = 3

Door deze regels • voor optellen consequent vanaf rechts toe te passen, komen de wachtende operaties beschikbaar en kan hun + wegvallen.

• +a = a
• +a+b =` +ab

Het “is gelijk” teken = drukt gelijkwaardigheid uit en regelt de evaluatie van hele expressies of subexpressies (binnen haakjes).
Het “ïs rechts” teken =` selecteert het woord vanaf rechts in de expressie. We werken alle operaties r-l uit: van rechts naar links.

Operaties rechts van een plus teken krijgen voorrang, maar ook elke hogere operatie die links ervan staat.
De plus operator is te beschouwen als *{0} nulde superster, die leeg is.

---

Vermenigvuldigen is herhaald optellen van een constant a.. getal. Het keer of maal teken schrijven we met een * ster. Een voorbeeld in stappen.

 2*3 = 2*2+2 = 2*1+2+2
     = 2*1+4 ≡ 2+4 = 6

De iterator is hier 3 en in het algemeen een variabele b waar elke stap 1 vanaf telt om een kopie van a op te sommen.

Definitie van vermenigvuldigen.
We gebruiken een nieuwe regel, die de vorm met iterator b=1 meteen uittelt.

• a*1+ =` a
• a*b1 =` a*b+a == a*1+.a.. :b = a.. :b1

Vindt een match vanaf rechts =` in de expressie voor de vorm links in de 2e regel. Doe daar de iteratie stap die de constante a bijvoegt. Herhaal de reeks stappen == met optellen van a tot de iterator 1 is. Pas daarna de 1e regel toe die de iteratie elimineert en de uitkomst levert.

De rep :b herhaalt de tussen . of terzijde van de punten .. geselecteerde passage b maal. Reps zijn beschrijvend bedoeld en niet regelgevend.

De ster operaties die met vermenigvuldiging beginnen, zijn voor ons maar een manier om grote getallen te noteren. Er is geen behoefte om de operatie a*1 apart te evalueren.
In het algemeen zijn iteraties met b=1 in input expressies a*{c}b overbodig omdat a hetzelfde is, en anders is b>1 groot in deze vorm, zodat er geen aparte reductie regel voor nodig is.

---

Machtsverheffen ** of ^ is herhaald vermenigvuldigen.
Om machten stapsgewijs uit te werken, waarbij lagere operaties eerst evalueren, moeten we de hogere apart kunnen zetten.

2**3 = 2**2*+2 = 2**1*+2*+2
     = 2**1*+2*2 = 2**1*+4
     = 2*4 = 8

Onze pop plus + in de popster *+ operatie stelt die vermenigvuldiging uit met één teken (zonder haakjes), tot dit eruit popt.

Evalueer popster machten in stappen met drie regels.

• +a*+b =` +a*b
• a**1*+ =` a*
• a**b1 =` a**b*+a ≡ a*..a :b

Het equivalentie ≡ teken werkt de expressie uit in een vorm die niet via deze regels te bereiken is: als meerdere vermenigvuldigingen.

Hoewel dit in de uitwerking zelf niet kan gebeuren, telt in ons popster systeem a^b+1 één op bij een factor, maar 1+a^b gewoon bij het totaal.
Staat rechts na de ** macht een * vermenigvuldiging, werk die dan eerst uit tot exponent. Maar volgt een ster *+ met pop plus, dan komt die als extra factor op de reeks factoren.

Onze beperkte regels evalueren expressies strikt r-l vanaf de rechter kant. Maar we kunnen het ook zo regelen, om carets ^ met meerderheids-precedentie op te lossen (hogere operaties met meer tekens eerst), en daarna pas sterren * met minderheids-precedentie (wat juist minder tekens voorrang geeft).

§2.2. Popster supermachten

Herhaald machtsverheffen *** of ^^ heet “tetratie” en vormt een toren van exponenten, die van rechts naar links moet worden opgelost.

a***b ≡ a**..1 :b

Operatie na operatie bouwen we zo de supermachten *{c1} of ^{c} waarin de teller c het aantal operator tekens telt.
Een supermacht is een dubbele recursie van variabelen, met iterator b=1 en operator teller *{0} als initiële waarden.

Werk als voorbeeld de supermacht 2****3 uit in stappen van rechts.
Het helpt om carets ^.. te gebruiken.

2^^^3 = 2^^^2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^2
      = 2^^^1^^+2^^1^+2
      = 2^^^1^^+2^2
     == 2^^^1^^+4
      = 2^^4 = 2^^3^+2
             = 2^^2^+2^2
             = 2^^2^+4
             = 2^^1^+2^4
            == 2^^1^+2^1*+2*4
            == 2^^1^+2^1*+2*1+6
             = 2^^1^+2^1*+8
             = 2^^1^+2*8
            == 2^16. == 65536.

We kunnen supermacht expressies met twee tekens 1 en * noteren. In de evaluatie komt daar de pop plus + als solo haakje bij; slechts drie tekens.
Het caret ^ teken, de cijfers en decimale getallen, werken als afkortingen.

---

Operaties met pop plus komen nooit alleen te staan. En optellen met *{0} is direct. Zo kan de evaluatie van supermachten *{k} toe met maar drie regels.

We zouden ervoor kunnen kiezen om optellingen, of misschien elke expressie +X in dit systeem, met een plus aan de linker kant te merken. Deze extra regel vooraf maakt dan het uitgestelde optellen van +a+b tot ab mogelijk.

0. PS.0. +a = a

Definitie om PopSter supermachten te evalueren tot natuurlijk getal.
Bij de iterator geldt b>0 maar de operator vorm *{c≥0} kan ook leeg zijn.

1. PS.1. +a*{c}+b =` +a*{c}b
2. PS.2. a*{c1}1*{d}+ =` a*{d}
3. PS.3. a*{c1}b1 =` a*{c1}b*{c}+a ≡ a*{c}..a :b

De regel die een match geeft met de meest rechtse =` positie (start index) in de expressie, moet worden uitgevoerd.
Variabelen zijn “gretig” naar enen, zodat elke getal vorm uit de regels compleet is, zonder rest deel in de expressie.

De 3e regel geeft de operatie stap met de introductie van de passieve + plus. De 1e regel elimineert die plus uit de rechter van twee popster operaties. Of activeer de popster met de 2e regel, indien deze als laatste iteratie over blijft.

In de expressie a^{c}b1*{d}+e ontpopt de iteratie van rechts als hoogste exponent in de toren a*{c}..a*{d}e :b wat significant kan zijn en een aanvulling op ons rekenapparaat voor de inschatting van array functies.

---

We kunnen sommige supermacht operaties alleen ruwweg met elkaar vergelijken qua grootte. In dit voorbeeld neemt het absolute verschil < tussen twee ster supermachten bij grotere c toe. Terwijl dit verschil in de context van de hierdoor groeiende reeksen klein begint met 1 en niet significanter zal worden.

2^{c}4 = 2*{j}..8 c:1  <
3^{c}3 = 3*{j}..9 c:1

De teller {c} geeft in krulhaakjes het aantal tekens in de operator aan. De repetitie c:1 noteert een reeks waarin de indexen j naar rechts afnemen.

In de teller kan ook een expressie staan, die dan met voorrang wordt uitgewerkt. Of een reeks geneste superexponenten, zoals bij Gardner's Getal van Graham.

3^{..3^^^^3..}3 :63:
   = 3^{..4..}3 :64:
      = 3*{..4..+1}3 :64:

De duorep :d: herhaalt selecties aan beide kanten van de expressie. Plaats elke selectie op zijn punten .. links erna en rechts ervoor in de expressie. En werk in stappen van binnen naar buiten, tot de rep tot :1: is uitgeteld en deze met de punten uit de expressie verdwijnt.

De evaluatie van supermachten kan simpeler! Steeds de constante a aanhalen is overbodig, omdat de macht b en het aantal sterren *{c} variabel zijn en kenmerkend. Ook komt er tijdens uitwerking van rechts van elke kleinere operator hooguit één te staan, en wachten de hogere in rangorde links tot de lagere zijn gereduceerd tot getal.
Vandaar dat we de supermachten kunnen vertalen naar een functie rij, die minder tekens gebruikt en waarvan de text lengte tijdens evaluatie korter is.

Pas in 1976 zag de superoperator het licht, met carets in de vorm van de pijlen ↑{c} van Knuth, in zijn essay over "Omgaan met eindigheid".
Maar dezelfde dubbele recursie φc(a,b) inclusief Ackermann functie was al te vinden bij David Hilbert, in zijn artikel "Over het oneindige" uit 1925.

§3. Lineaire systemen

Uit de supermachten komen de bekende functies voor grote getallen voort, zoals Conway's pijlketen en Bird's lineaire array notatie. In dit hoofdstuk zijn deze systemen beperkt tot de eerste rij van variabelen.
Onze eigen functies beginnen langzamer: met primitieve recursie over de rij, waar we (geen subexpressies nesten, maar) alleen optellen, aftellen en schuiven. Zo eenvoudig en natuurlijk mogelijk, terug tot 1 of tot 0 leeg.

§3.1. Primitieve functie rij

Dubbele recursie wordt vaak gegeven als een functie met één constante en twee variabelen waarover die functie itereert. De functie substitutie regel introduceert minimaal afgetelde expressies, zodat de uitgedrukte getallen supergroot worden. Deze substitutie gebeurt vanaf links gezien (zoals bij Bird's array rij) in de tweede variabele b, of vanaf rechts gerekend (zoals bij Conway's pijlketens) in een voorlaatste variabele y.

Werk een reeks substituties in b uit, samen 1 stap in de iteratie van c.
Laat het functie teken en de buitenste haken weg.

a,b1,c1 = a,(a,b,c1),c
     == a,(..a,1,c1..),c :b:
      = a,(..a..),c :b:

De eerste functie a,b,1 kan verschillen, Hilbert begint φ1(a,b) met optellen en de pijlketens van Conway a→b→1 met machtsverheffen.
In den beginne wordt steeds de constante a opgeteld.

Stel dat c=1 vermenigvuldigt, en dat c=0 met a,b = ab optelt. Dan werkt deze functie hetzelfde als de linkse evaluatie van supersterren met haakjes.

a*{c1}b1 = a*{c}(a*{c1}b)
      == a*{c}(..a..) :b:

Hier is 3,3,3 ofwel 3***3 het getal 7625597484987 al boven de biljoen (VS “trillion”). En dan loopt door substitutie het aantal subexpressies wachtend tussen haakjes snel uit de hand.
We willen een functie die zuinig is met type tekens, en die in elke stap geen expressies substitueert maar getallen, zodat er zonder ronde haakjes te werken is. Maak dit mogelijk door een rij van iteratoren te gebruiken, die herleid worden tot optellen in variabele b in de oorsprong en van daar uit worden opgeladen.

---

Functie definitie NA rij, waar b>0 en de lengte van de deelrij ? mag 0 zijn.

1. NA.1. a,b = b
2. NA.2. ?, = ?
3. NA.3. a,b,1? = a,ab,?
4. NA.4. a,b,{k>1}1? = a,{k}b,?
5. NA.5. a,,{k>0}1? = a,a,{k}?

Dit systeem heeft de beginletter N omdat het iteratoren en structuren aftelt tot 0 “Null” en omdat de constructie “Natuurlijk” is. De snelheid van de N-functies is bij benadering maximaal, hoewel na toevoeging van extra structuur niet meteen al.

Expressies NA in vergelijking met de popsterren uit het vorige hoofdstuk.

a,b,c1 = a,ab,c
      == a,a*c+b,1
       = a*c1+b
a,,,d2 = a,a,,d1 = a,,a,d
       = a,a*a,,d == a,,a^d1
       = a^d2
a,b,c,d1 = a,a*c+b,,d1
       = a,,a*c1,d {b=a}
       = a,a*+a*c1,,d
      == a,,a^d*+a*c1
       = a^d2*+c1
a,a,c,d,e1 = a,a^d1*+c1,,,e1
       = a,,,a^d2,e {c1=a}
      == a,,,a^^e^+a^d2
       = a^^e2^+d2

Elke iterator op de eerste rij vormt een supermacht a*{k}p die we hier afronden door bij de rechts volgende iterator 2 op te tellen.

Gemeten vanaf de oorsprong a,0 drukt het aantal komma's ,{k} de supersterren direct uit, want optellen *{0} werkt hier niet zo.

a,{k2}z2 = a,{k1}a,z
      = a,a*{k}a,{k1}z
      = a*{k1}z2
a.,pi..,z :k1  waar pi~a
   ~ a*{k1}z2

In het algemeen kunnen we een rij makkelijk ~ afronden, want alleen als de voorlaatste parameter p_k enorm groter is dan de laatste z klopt dat niet. We schrijven input variabelen die qua grootte of oneindigheid vergelijkbaar zijn.

Voor het opladen van a,,,d of erop volgende variabelen in de expressie maakt het niet uit of er b=0 dan wel b=1 staat, wat eigenaardig is. Dat blijkt door de oplaadregels niet alleen vooruit, maar ook achteruit =: toe te passen.

a,,,,3 = a,a,,,2
      =: a,,,1,2 =: a,1,,,3
a,,{k>1}1? = a,a,{k}?
      =: a,{k}1,? =: a,1,{k}1?

Wat lastig is aan systeem NA zijn de twee oplaadregels in serie: het laag opladen van waarde a naar cel b voordat hoog opladen van cellen weer mogelijk wordt.
Ook zou het zuiniger zijn om de tekenreeks ,{k>1} in te zetten als dimensie separatoren voor multidimensionale matrices. We doen ons best!

---

Functie definitie OA rij, die supermachten uitdrukt met 2 tekens en 4 regels.

1. OA.1. a,b = ab
2. OA.2. a,?,1 = a,?
3. OA.3. a,b,11? = a,ab,1?
4. OA.4. a,b.,1..1? :k2 = a,.,1..,ab,1? :k≥0

De letter O slaat op het aftellen van iteratoren en structuren tot 1 “One”. Dit systeem zal zo groot mogelijke getallen noteren met zo min mogelijk tekens.

Met de 4e regel wordt zowel de afgetelde iterator ,1 rechts opgeladen, als de andere wachtende ,1 links ervoor in de rij. Eerst verladen we vanuit volle oorsprong a,b de som ab en vervolgens vanuit de lege oorsprong a,0 de constante a.

Met dezelfde expressie noteert functie OA wat kleinere uitkomsten dan NA op de rij, maar dit is niet significant.

a,b,1 = a,b = ab
a,b,c1 = a,ab,c
      == a,a*c+b
       = a*c1+b
a,,1,d2 = a,,a,d1
       = a,,a*a,d
      == a,,a^d1
       = a^d2
a,b,c1,d1 = a,a*c+b,1,d1
       = a,,a*c1+b,d
      == a,,a^d*+c2 {b=a}
       = a^d1*+c2
a,,1,1,e2 = a,,1,a,e1
       = a,,1,a^a,e
      == a,,1,a^^e1
       = a^^e2
a,b,c,d,e1 {b=a c1=a}
       = a,,1,a^d1,e
      == a,,1,a^^e^+d1
       = a^^e1^+d1

De eerste rij in OA is uit te drukken als een reeks popster operaties, waarbij elke variabele cel een ster aan de operator toevoegt. Hier geldt k≥0.

a,.,1..,z :k = a*{k1}z

a.,pi..,z 0:k =
    a*{k1}z.*{j}+pj.. k:0
  ~ a*{k1}z*{k}+pk+1  met pj~a
  ~ a^{k>0}z1

Met indexen i die van 0 tot k toenemen door 0:k op variabelen in de functie, met indexen j die van k tot 0 afnemen door de k:0 rep van popsterren.
Deze volle rij kunnen we afronden ~ als hiervoor.

Een primitief supermacht algoritme kan ook in drie regels, maar opladen telt dan steeds 1 bij. Die uitkomsten nemen scheef toe ten opzichte van de klassieke supermachten, hoewel niet significant sneller.
Kies daarbij als derde regel:

• a,b.,1..1? :k1 = a.,1..,ab,1? :k of
• a,b.,1..1? :k>1 = a,..b,1? :k

Ons grote principe is om afgetelde hogere variabelen consequent met lagere op te laden. Ook bij Ackermann functies en in de grote getallen arrays van Bowers en Bird (B&B) wordt dit principe toegepast. Maar Ackermann verheft de constante a wat traag is. En B&B verpakken som b in een min expressie alvorens die naar hogere regionen op te laden, wat dan wel ingewikkelder is, maar even maximaal snel als onze functies.

Rij lengte in OA en NA loopt gelijk met de iterator c van een klassieke dubbele recursie met functie substitutie in b en een constante a.
Door rij lengte vanuit de oorsprong op te blazen, verlaten we de primitieve recursie en komen op onze tweede rij al gelijk met Bird's lineaire array. Over het array vlak zullen we zo slechts 1 rij achterblijven.
Dit valt te bewijzen via de pijlketen van Conway, die op de supermachten volgt.

a,b ,ci..,,..,,,.. :d :e :f

a,b1 ,[1][3]
   `= a,a ,[1,[b1][2]2]
       `= ,[1,[b][2]a,[b1][2]1]
      `== ,[1,[1][2]a`]
       `= ,[1,[1,[a][1]2]a`]
        = ,[1,[1,[a]2]a`]
      `== ,[1,[1,a`]a`]
       `= ,[1,[a`]a`]
      `== ,[a`]
  `== a,a,a

a,b1 ,[1];[c1]
   `= a,a ,[1][b1];[c]
       `= ,[1,[a][b];[c]2]
      `== ,[1,[1][b];[c]a`]
       `= ,[1,[1,[a][b-];[c]2]`]
      `== ,[1..,[1][1];[c]..`] :b:
      `=` ,[1][1][a];[c-]
       `= ,[1][1,[1][a][a-];[c-]2]
     `==` ,[a][a-][a-];[c-]
      `== ,.[a-]..;[1] :c1
        = ,.[a-].. :c1

a,b1 ,[1];[[2]][3]
   `= a,a ,[1];[[1]][b1];[[2]][2]
    = ,[1];[b1];[[2]][2]