Grote Getallen Generatie

met Conway-Knuth superpijlen!

door Giga Gerard

“Opus est magnis numeris”
– Vladimir Poetin

Dag / Nacht

Inhoud

§1. Getallen

Tel op tot een getal en herhaal getallen en hun herhalingen en noteer dit in functies. Elk object van de wiskunde is telbaar, en zo ook de relaties tussen die objecten. Getal relaties of functies die zichzelf herhalen heten recursief.
Recursie is versneld tellen, maar de googologie of leer van de grote getallen, begint gewoon met tellen op je vingers.

§1.1. Tellen

Neem eerst het getal nul 0 dat in wezen niets is, en stop zonder te tellen.
Een tel erbij 01 geeft het getal 1 een.

Maak vervolgens de natuurlijke getallen, door units een 1 op te tellen tot een aantal 1.. enen is bereikt (dat gelijk is aan het getal) waar het tellen stopt.

Definieer dit met een repetitie of rep over de selectie 1, die op zijn .. plaats het aantal :n keer wordt herhaald tot de uitkomst = het getal n geeft.

1.. :0 = 0
1.. :n = n

Maak een getal negatief door links voor de positieve een factor - te plaatsen.
Of vorm gehele negatieve getallen door een aantal units min -.. van rechts op te tellen. Waarbij 1- nul 0 of leeg is.

Peano's primitieve opvolger functie σ maakt elk volgende natuurlijke getal.

σ(0) = 1
σ(n) = n1

Druk getallen n uit door functies σ(..) :n: herhaald te nesten, dan staat elke aanhaling van σ(.) gelijk aan een 1 tel.

Tellen dat nooit stopt drukt per definitie een oneindig getal uit.

1... = ω

Getal omega ω zou het eerste en kleinste oneindige getal boven de natuurlijke getallen zijn. Waarna het tellen σ(ω) = ω1 weer verder kan gaan.

Getallen zijn wiskundige constructies. Gehele en oneindige getallen bestaan uit eenheden of units en tellen dat stopt of niet. Operaties en functies en hun inversen drukken nog meer getallen uit: breuken en wortels, transcendente en complexe getallen; tussen de gehele getallen in en daaraan ontstegen.

Recursieve functies in dit deel blijven in het domein van de natuurlijke getallen.

§1.2. Basisnotatie

Lees getallen in unaire notatie door elke 1 erin een keer te tellen. Stop met enen tellen bij getal tien dat de decimale basis vormt.
Tel dan de tientallen. Stop na tien keer tien bij een honderd. Tel tien honderdtallen tot een duizend. Duizend duizendtallen maakt een miljoen. Tot zo ver zijn onze landen het wel met elkaar eens.

De eerste natuurlijke getallen na 1 in decimale notatie met cijfers 2,3,4,.. en unair gedefinieerd. Zet deze ook om => in binaire notatie in basis twee.

  2 = 11 => 10
  3 = 111 => 11
  4 = 1111 => 100
  5 = 11111 => 101
  6 = 111111 => 110
  7 = 1111111 => 111
  8 = 11111111 => 1000
  9 = 111111111 => 1001
 10 = 1111111111 => 1010
 11 = 11111111111 => 1011
 12 = 111111111111 => 1100

Systemen voor grote getallen geven als output reeksen 1.. enen. Maar in de input en bij voorbeelden schrijven we getallen met cijfers en decimaal. Voor de duidelijkheid voegen we aan decimale getallen met meerdere cijfers een punt toe, zoals bij 10. onze tien.

In een basis notatie met radix r hebben de gehele getallen van 0 tot r- enkele cijfers. Dan volgt de basis r=10 en de volgende getallen met meerdere cijfers.
De notatie lengte is door de extra tekens bekort. Onder de r^k kunnen de natuurlijke getallen uniek worden becijferd op k of minder plaatsen.

Een getal in basis r met een k1 aantal cijfers di is te vertalen := naar een serie factoren di* van oplopende machten ^i van r die opgeteld + wordt.

di.. k:0  :=
  d0.+di*r^i.. 1:k

Index i neemt elke volgende stap toe of af met 1 zoals dit van links : op rechts is aangeduid in de rep.

De waarde van cijfer plaatsen neemt l-r af, van links naar rechts, terwijl de constructie van getallen bij herhaalde vermenigvuldiging van 10 op moet lopen. Naast de historische herkomst van de cijfers is dus ook de opbouw van de decimale getallen r-l in de richting van het Arabische schrift. Voordeel is dat l-r lezers het belangrijkste cijfer van de grootste macht nu vooraan zien staan.


Vraag: In basis 6 is het getal 555 hetzelfde als 215. in basis tien. Maar als de bases onbekenden zijn, zijn die dan te berekenen..? Valt te bewijzen, dat geen enkel ander basis paar voldoet..? En als dit in het algemeen onmogelijk is, voor welk soort getallen kan het wel..?

§1.3. Getalgaten

Getallen kunnen bestaan uit eenheden of units, of verkort geschreven worden met operaties of functies in een wiskundige expressie.
Expressies voor natuurlijke getallen zijn met behulp van regels te evalueren tot een uitkomst bestaande uit een aantal enen.
Om structuur toe te voegen aan de expressie zetten we extra tekens in. En ook het algoritme, met de definitie van de regels voor evaluatie van expressies, zorgt voor een uitbreiding van ons wiskundig taalapparaat.

Doel van de googologie is om met een minimaal aantal tekens en zo beperkt mogelijke regels, zo groot mogelijke getallen te noteren. Om hogere wiskundige structuren te herkennen en daarover dan te itereren tot in het oneindige.

Hoe sneller de functie, hoe meer getallen tussenin gemist worden in de notatie. Zulke grote gaten liggen dieper verborgen dan de grote getallen zelf, die als vuurtorens boven hun eiland van naburige kenbare getallen uitsteken, terwijl de random zee van getallen eromheen onkenbaar is.
Vrij snel in dit verhaal zijn de meeste natuurlijke getallen door geen enkel praktisch getalsysteem meer te bevatten. Want de systemen die in ons fysisch heelal mogelijk zijn, zijn beperkt door het aantal te observeren quantum bits.
We kunnen stellen dat binaire getallen met een lengte van ongeveer 10^81 (Vopson 2019) tot wel 10^90 (Lloyd 2001) zich nog in het zicht bewegen.
Daarboven wonen de goden.

In elk wiskundig systeem is de expressie lengte van de meeste gehele getallen groter dan in een radix met evenzoveel tekens. Hoewel dit verschil niet meer dan een luttele basismacht 10 kan bedragen in totaal, omdat al die expressies uiteindelijk tot 1.. evalueren in de systeem output.

Al de getallen die de mens kan gebruiken zijn relatief klein. Het vervolg van dit reisverhaal in de getallen zal bijgevolg volstrekt nutteloos zijn, hopelijk...

Reddingsboot met mannen slaat om in een storm op zee

§1.4. Googols

Een beroemd groot getal is de googol, geschreven als 10^100 met exponent, of in basis tien als een 1 gevolgd door 100 nullen.
De Babyloniërs zouden hier in basis 60 een reeks van 57 spijkerschrift tekens voor nodig hebben. In de digitale radix 256 neemt dit 42 bytes in beslag.
Voor de googoloog, die net als Google zijn naam dankt aan dit getal, geeft een basis notatie erge rompslomp. Cijfers zijn handig om getallen mee af te korten, maar googologen tellen net zo goed weer enen als onbenullen nullen.

Een googolplex is een 1 met googol nullen, ofwel 10^10^100 met dubbele exponent. Dit getal zou in de hypothetische basis googol met 10^98 nullen geschreven worden. Als elke 0 daarin de maat van een bacterie heeft vullen die de gehele ruimte van het heelal, een voorbeeld van de onmacht van radix systemen.
Om een random getal verborgen in de zee rondom het googolplex uit te drukken met quantum bits, hebben we tot wel 10^20 keer zoveel van die deeltjes nodig dan er in dit heelal te vinden zijn. Zelfs bij een vrije keuze om elke mogelijke wiskundige expressie te evalueren met elk mogelijk wiskundig systeem, weer te geven als input (uitrekenen hoeft niet) op onze ene universum quantum tablet, is het nog onzeker of elk getal opgevist zou kunnen worden. Met een hogere exponent erbij de meeste random getallen zeker niet!

Googolplex is al een onbegrijpelijk groot getal. Het eerste vuurtoren eiland dat we aandeden op onze ontdekkingsreis naar het oneindige.


Vraag: Googol is 10^100. Vind een benadering voor de tetratie wortel t, zodat t^^t dicht in de buurt komt van googol. Stel t is een exact reëel getal, niet fundamenteel fuzzy of onkenbaar, hoort t thuis in een nieuwe klasse..? Sneller en dieper verzonken in de getallenlijn dan de eindeloze rij breuken, waarmee we algebraïsche en transcendente reëele getallen benaderen...?

Stel dat deze superwortels niet kunnen worden berekend. Dan bestaan ze wel door hun wiskundige definitie, maar blijven fundamenteel onbenaderbaar en vallen buiten het deelbare 2^ω continuüm. Er zijn oneindig veel hogere ^{c} operaties en functies met *[X] superarrays. Zijn de meeste inversen daarvan zo vaag, dat ook hun relatieve ordening onbekend moet blijven..?

§2. Supermachten

Elke supermacht operatie ^{c1} herhaalt een aantal vorige ^{c} supermacht operaties. Hier telt c>0 het aantal carets, en het expressie deel links van de punten .. wordt in totaal b keer door de rep :b herhaald.

a^{c1}b1 = a^{c}..a :b

De supermacht operaties ^{c} of *{c1} zijn rechts associatief, dus deze expressies worden verder r-l van rechts naar links uitgewerkt.

Stapsgewijs definiëren we dit als volgt, waarbij *{c0} en vermenigvuldiging * tot een reeks directe optellingen reduceert.

a*{c1}b1 = a*{c}(a*{c1}b)
    == a*{c}(..a*{c1}1..) :b:
    := a*{c}..a :b

We zullen deze supermachten evalueren met de nieuwe popster operaties. Dit sluit nauw aan bij een primitief recursieve functie voor supermachten over een rij variabelen. We bouwen dit popster systeem langzaam op.

§2.1. Rekenwerk

Met de eerste supermachten *{k<3} is gewoon nog te rekenen. Dit zijn de operaties van optellen *{0} en vermenigvuldigen *{1} en machtsverheffen *{2} waarvan ook de inversen, als breuken en reële en complexe getallen kenbaar zijn.

§2.1.1. Ster 0 optellen

Bij variabelen met natuurlijke getallen a en b die naast elkaar staan, is meteen de som ab gegeven, waarin alle enen 1.. bij elkaar optellen.
Plaats een plus teken + tussen variabelen om optellen uit te stellen.

  • +a+b =` +ab
  • a+b = ab

Door de regels voor optellen consequent vanaf rechts toe te passen, komen wachtende operaties beschikbaar en kan hun + wegvallen.

Het is gelijk teken = drukt gelijkheid uit en betreft de evaluatie van hele expressies of subexpressies (binnen haakjes).
Het is rechts teken =` selecteert vanaf rechts in de expressie. Daarmee werken we operaties r-l uit, reducerend van rechts naar links.

Zo werken we een optelling tot getal stapsgewijs uit.

1+1+1+1 = 1+1+11
     = 1+111 = 1111 = 4

De actieve plus operatie is te beschouwen als *{0} nulde superster, die leeg is.
Alle operaties rechts van een plus teken krijgen voorrang, maar ook elke hogere operatie die links ervan staat.

§2.1.2. Ster 1 vermenigvuldigen

Vermenigvuldigen is herhaald optellen van een constant a.. getal. Het keer of maal teken ertussen schrijven we met een * ster.

Definitie van vermenigvuldigen voor gehele getallen. Stel b>0 zodat de tweede regel in de laatste stap de iteratie overneemt van de eerste regel.

  • a*b1 =` a*b+a
  • a*1 =` a

Vindt een match vanaf rechts =` in de expressie voor de vorm links in de regel. Iedere iteratie stap telt een constante a op bij de som.
Herhaal de reeks stappen == in combinatie met optellen, tot de laatste stap de operator elimineert en de uitkomst levert.

a*b1 = a*b+a
    == a*1+.a.. :b
     = a.. :b1

De rep :b herhaalt de tussen . of terzijde van de punten .. geselecteerde passage b maal. Reps zijn beschrijvend bedoeld en niet regelgevend.

Een voorbeeld van vermenigvuldiging als optellen in stappen. Neem de vertaling naar decimale getallen hier voor lief.

 2*3 = 2*2+2 = 2*1+2+2
     = 2*1+4 = 2+4 = 6

De iterator is hier 111 en in het algemeen een variabele b waar elke stap 1 vanaf telt om een kopie van a op te sommen.
De ster van vermenigvuldigen is de eerste superster operator.

§2.1.3. Ster 2 machtsverheffen

Machtsverheffen ** of ^ is herhaald vermenigvuldigen.
Om machten stapsgewijs uit te werken, met de lagere operaties eerst, moeten we de hogere in de wacht zetten. De pop plus bij de ster *+ operatie stelt vermenigvuldiging uit, alsof deze tussen haakjes staat tot de ster ontpopt.

Evalueer popster machten volgens deze speciale definitie, waar b>0.

  • +a*+b =` +a*b
  • a*+b = a*b
  • a**b1 =` a**b*+a := a*..a :b
  • a**1 =` a

We hebben de regels in een volgorde gezet, die het mogelijk maakt om deze definitie op twee manieren toe te passen: hetzij door de bovenste toepasbare regel uit te voeren, hetzij de regel die meest rechts in de expressie aangrijpt.

We gebruiken het toewijzingsteken := voor een vorm van expressie, die niet via de regels te bereiken is. Zoals hier voor een reeks factoren, want de regels werken factor voor factor uit tot getal.

2**3 = 2**2*+2 = 2**1*+2*+2
     = 2**1*+2*2 == 2**1*+4
     = 2*+4 = 2*4
    == 8 := 2*2*2

Hoewel dit vanzelf niet in de uitwerking kan gebeuren, telt het popster systeem in a^b+1 één op bij een factor, maar in 1+a^b gewoon bij het totaal. Volgt een ster *+ met pop plus, dan komt die gewoon als factor bij de reeks factoren.

Deze regels werken zonder precedentie en evalueren strikt r-l vanaf rechts, wat vreemde resultaten geeft als we ster operaties op elkaar schrijven.

2**3*2 = 2**3*1+3 = 2**3+3
       = 2**2*+2+3 = 2**2*+5
       = 2**1*+2*+5 = 2**1*+2*5
      == 2**1*+10. = 2*+10.
       = 2*10. == 20.

We kunnen het ook anders regelen: om carets ^ met meerderheids-precedentie op te lossen (hogere operaties met meer tekens eerst), en daarna sterren * met minderheids-precedentie (voorrang aan minder tekens).
Dan zou 2**3*2 = 2^6 groter zijn, maar 2^3*2 = 8*2 kleiner.

Gulliver ligt vastgebonden tussen mini-mensjes

§2.2. Popsterren

Popster supermachten zijn stapsgeweijs te reduceren, enkel met een plus *+ teken en zonder haakjes. Met meer sterren in de operator *.. worden de uitgedrukte getallen supergroot.

§2.2.1. Definitie

De eerste echte supermacht operatie met drie *** sterren of twee ^^ dakjes heet Tetratie. Dit levert een aantal machtsverheffingen op, een toren van exponenten die r-l van rechts naar links moet worden opgelost.

a***b1 = a**(a***b)
      == a^(..a^^1..) :b:
      := a^..a :b

De macht operant b vormt een reeks of toren van operaties met constantes a. In het popster systeem schrijven we deze torens niet in hun geheel, maar top operaties komen rechts apart te staan en worden met voorrang uitgewerkt.

Definitie voor de evaluatie van PopSter supermachten.
Steeds is b>0 maar de operator *{c0} kan leeg zijn.

    @
  1. PS.1a. +a*{c}+b =` +a*{c}b
  2. PS.1b. a*{c}+b = a*{c}b
  3. PS.2. a*{c1}b1 =` a*{c1}b*{c}+a
  4. PS.3. a*{c1}1 =` a

We voeren die regel uit, die een match geeft op de meest rechtse =` positie in de expressie. Maar in de evaluatie van een supermacht blijft dit hetzelfde als voorrang geven aan de bovenste regels.
Variabelen zijn gretig naar enen, zodat elke getal a in de regels compleet is, zonder rest deel in de expressie.

Trap 1. elimineert de plus uit de rechts gelegen popster.
Stap 2. ster operatie introduceert kleinere popster met operant.
Stap 3. elimineert als laatste stap de ster operatie.

De evaluatie van supermachten kan toe met vier regels. Of zelfs drie, wanneer we regel 1a en 1b regulier samenvatten.
De operatie van *{c}+ wordt actief, als links ervan een plus komt te staan. Het kan zonder regel 1b door een plus teken +X voor alle expressies te zetten, maar dan is een nieuwe regel +x = x nodig die de uitkomst geeft.

§2.2.2. Evaluatie

Als voorbeeld evalueren we de macht 2**2 en de supermacht 2****3 in stappen met de PopSter regels.
We schrijven voor het gemak carets, waarbij *{c1} en ^{c} gelijk zijn en hier strikt rechts associatief r-l met de pop plus uitgewerkt.

2^2 = 2^1*+2
    = 2*+2 = 2*2
    = 2*1+2
    = 2+2 = 4

De ster en pop plus eliminatie van regels 3. en 1. volgen steeds na elkaar, dus kan dat ook = ineens. Een reeks stappen geven we vaak wel met == aan.

2^^^3 = 2^^^2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^+2
      = 2^^^1^^+2^^2
      = 2^^^1^^+2^^1^+2
      = 2^^^1^^+2^2
      = 2^^^1^^+4
      = 2^^4 = 2^^3^+2
             = 2^^2^+2^2
             = 2^^2^+4
             = 2^^1^+2^4
             = 2^^1^+2^1*+2*4
             = 2^^1^+2^1*+2*1+6
             = 2^^1^+2^1*+8
             = 2^^1^+2*8
             = 2^^1^+16.
             = 2^16. == 65536.

De hogere machten in de toren werken we eerder uit, dat is dus het principe.
Een ander voorbeeld, de evaluatie van 3****2 of 3^^^2 met popsterren.

3****2 = 3***3
    = 3***2**+3 = 3**+3**+3
    = 3**+3**3 = 3**+3*+3*3
    = 3**+3*+3+6 = 3**+3*9
    = 3**+27. = 3**27.
   == 7625597484987.

Alle supermacht expressies zijn met twee type tekens, de 1 en * te noteren. Tijdens de evaluatie komt daar de pop + als solo haakje bij. Slechts drie tekens!
Dakjes ^ of carets en ^+ popcarets, cijfers en tientallige getallen (met decimale punt) nemen we erbij als afkortingen.

§2.2.3. Toepassingen

We kunnen sommige supermacht operaties alleen ruwweg met elkaar vergelijken qua grootte. In dit voorbeeld neemt het absolute verschil < tussen twee ster supermachten bij grotere c toe. Terwijl dit verschil in de context van de hierdoor groeiende reeksen klein begint met 1 en niet significanter zal worden.

2^{c}4 = 2*{j}..8 c:1  <
3^{c}3 = 3*{j}..9 c:1

De teller {c} geeft in krulhaakjes het aantal tekens in de operator aan. De repetitie c:1 noteert een reeks waarin de indexen j naar rechts afnemen.

In de expressie a^{c}b1*{d}+e ontpopt de iteratie van rechts als hoogste exponent in de toren a*{c}..a*{d}e :b wat significant kan zijn. Deze extra resolutie vormt een aanvulling op ons rekenapparaat, waarmee array functies nauwkeuriger zijn te schatten.
Zo helpen popsterren om de oceaan van de supermachten en hun naburige supermachtige getallen in kaart te brengen.

In de teller kan ook een subexpressie staan, die met voorrang wordt uitgewerkt. En dat in serie, zoals Gardner het Getal van Graham aangeeft, met geneste superexponenten en Knuth's pijlen.

3{..3↑↑↑↑3..}3 :63:
     = 3^{..4..}3 :64:
     = 3*{..4..+1}3 :64:

De duorep :d: herhaalt selecties aan beide kanten van de expressie. Plaats elke selectie op zijn punten .. links erna en rechts ervoor in de expressie. En werk in stappen van binnen naar buiten, tot de rep tot :1: is uitgeteld en deze met de punten uit de expressie verdwijnt.

Pas in 1976 werden superoperaties uitgevonden door Donald Knuth met carets in de vorm van oppijlen {c} in zijn essay Omgaan met eindigheid.
Maar dezelfde dubbele recursie φc(a,b) inclusief Ackermann functie was al te vinden bij David Hilbert in zijn artikel Over het oneindige uit 1925.

§2.2.4. Functie vorm

Evaluatie van supermachten gaat makkelijker in een functie. Alle operaties a*{c}b die we uitwerken volgens de PopSter definitie krijgen deze vorm.

a*{ci+1}bi*{ci}+..b0 k:1
  waar  b>0  en  ci1>ci0

Elke superster telt daarin een ster * meer dan de erop volgende popster. Deze sterparen nemen naar rechts af, maar niet alle sterparen hoeven in die reeks voor te komen.

Stel nu, dat we voor de ontbrekende supermachten in die reeks een operant b=0 nemen (een permanente nul), die zijn sterpaar reduceert tot een wegvallende nul 01 = 1 (tegen de variabele erna) met een extra regel.

  1. PS.4. a*{c>0}0*{d}+ =` 0

Zo is de reeks van sterparen die naar rechts toe aflopen compleet.

a*{i}bi*{i-}+..b0 k:1

En verloopt een uitwerking vanaf rechts bijvoorbeeld via:

2^^^^1^^^+2^^^0^^+2^^2^+2^0*+2*0+1
   = 2^^^^1^^^+2^^^0^^+2^^2^+1
  == 2^^^^1^^^+2^^^0^^+4
   = 2^^^^1^^^+4
   = 2^^^+4 = 2^^^4
  == 2^^65536. := 2^..1 :65536

Omdat alleen de operanten b en het aantal carets ^{c} of sterren *{c1} variabel zijn en kenmerkend, is het overbodig om de constante a voortdurend aan te halen. Ook komt er van ieder sterpaar nu één voor, in rangorde r-l oplopend, met de hogere supermachten links in de wacht.

Om tijdens de uitwerking een popster expressie op te slaan, hoeven we dus enkel de constante a en alle variabelen bi in volgorde te noteren.

2^^^^2^^^+        2^^2
2^^^^2^^^+2^^^0^^+2^^2^+2^0*+2*0+1
2^^^^2     ^^^0    ^^2   ^0   *0+1
2    2        0      2    0   0  1
2,   1,0,0,2,0,2

Alle essentiële data is hier met zeven getallen gegeven. En we draaien de rij met zes variabelen ook om, zodat de evaluatie l-r in leesrichting kan verlopen.

De achterste pop +1 is eigenlijk alleen voor de vorm en kan in de functie door een andere regel worden ondervangen. Getal 0 schrijven we zonder enen.
Dan toont deze popfunctie, dat het aantal supermachten *{k}n steeds 1 verschilt met het corresponderende aantal komma's ,{k1}n links in de rij.

2*{6}3 = 2*****2****+2***2
11,{7}111 = 11,,,,11,,11

Zo zetten we supermacht expressies om naar een rij structuur, met nog maar twee tekens en een veel kortere expressie lengte.
De regels voor de evaluatie van een dergelijke functie zijn simpeler en zien we in het volgende hoofdstuk.

§3. Rij functies

De systemen in dit hoofdstuk zijn beperkt tot een enkele rij met getal variabelen. We ontwerpen de primitief recursieve functies Adam en Eva, die beide in het domein van de supermachten liggen.

§3.1. Systeem Adam

Systeem A voor Adam krijgt over de eerste rij dezelfde functie vorm als de popster supermachten uit het vorige hoofdstuk.
Thema bij de constructie van Adam is natuurlijkheid, waarbij iteraties worden afgeteld tot 0 en structuren leeg kunnen staan.

§3.1.1. Primitieve recursie

Om zo zuinig mogelijk te zijn met type tekens, gebruikt systeem Adam geen ronde haakjes. We substitueren geen subexpressies (X) maar steeds hetzelfde getal, een constante a kopie. Binnen Adam staan we geen functie recursie toe, waar functie variabelen worden overschreven door de afgetelde functie expressie.

Adam rij expressies bestaan uit de tekens 1 voor getallen en daartussen enkele komma's , als separatoren. Als variabelen afgeteld zijn, kunnen we naar keuze een 0 teken schrijven of deze weglaten. Meerdere komma's ,.. vormen dus geen hoger dimensionale structuur.

Over de structuur van de eerste rij zal de functie snelheid van Adam significant achterblijven bij die van Conway's pijlketens en Bird's lineaire array. Maar gezien de beperking van twee tekens valt de expressieve kracht van Adam reuze mee.

Wat we primitief noemen aan deze recursie is het herhaaldelijk optellen van de constante a en het opschuiven van een subtotaal b over de rij naar hogere iteraties ,0 rechts, wat opladen heet. Dit vormt Adam's getal opbouw.
Beide regels tellen 1 af van een iterator (of schrijven min - bij), rechts van de in te vullen positie. Dit vormt Adam's expressie afbouw.
We herhalen de stap regels recursief, waarbij de uitkomst van een voorgaande reeks het aantal volgende herhalingen bepaalt, tot er uiteindelijk een natuurlijk getal n komt te staan als een serie enen 1.. :n van dezelfde lengte.

Met Adam kunnen we supermacht expressies schrijven met maar twee tekens en deze evalueren door drie primitief recursieve regels toe te passen.

§3.1.2. Definitie A.I

De evaluatie van expressies A.I op de Adam rij verloopt congruent aan die van de popster supermachten. Maar Adam's algoritme telt in de lage variabelen links op, terwijl de popster operaties op de top worden gestapeld en rechts associatief uitgewerkt.
De rij structuur blijft bij Adam onveranderd, terwijl onze popster trein expandeert en pulseert (hoewel niet zo ongebreideld als in de gewone uitwerking van supermacht operaties met hele grote reeksen). Een uitgetelde structuur met alleen nog lege ,0 rechts kan in Adam tot op het laatst blijven staan.

De regels voor popsterren wijken beduidend af van die voor Adam. Een totaal andere verbeelding van wat stap na stap hetzelfde recursieve patroon volgt; zoals we nog zullen zien in sectie 3.2. over Popster Adam hieronder.

Definitie van Adam's systeem A over rij structuur I met een onbeperkt aantal variabelen. Drie regels voor de selectie en evaluatie van al deze supermacht expressies.
Variabele b0 en het aantal komma's ,{k0} kan nul zijn en zonder teken. Ook de text variabele R voor het deel rechts kan leeg zijn.

    @
  1. A.I.1. a,b,1R = a,ab,R
  2. A.I.2. a,b1,,{k},1R = a,,1,{k}b,R 1= a,a,,{k}b,R
  3. A.I.3. a,b,{k} = b

Bij regels met = geven we de hele expressie weer. Gedurende de evaluatie is steeds precies één van de regels toepasbaar.
Regel 1. telt de constante a op in som variabele b.
Regel 2. verplaatst het som subtotaal uit b om verder naar rechts een afgetelde iterator op te laden. Daarbij laten we slim 1 achter in de eerste iteratie over c die een a optelt in de volgende stap.
Regel 3. neemt getal b als uitkomst en daarmee stopt de evaluatie.

Merk op dat expressies van de vorm a,,,{k>0}1R buiten deze regels voor systeem A vallen en derhalve niet reduceerbaar zijn.
We kunnen daar een oplossing voor geven met de nu volgende Adam systeem varianten, waarmee ook de lege structuren rechts eerder wegvallen.

§3.1.3. Variant Aa.I

In de uitgebreidere definitie Aa.I van Adam worden resterende komma's van afgetelde variabelen meteen vanaf rechts opgeruimd.
In plaats van een text variabele komt hier het scan teken ` om de passieve tekst passage aan de rechter kant te noteren.
Stel b0 voor het subtotaal. Laat :k>0 een aantal afgetelde variabelen ,0 tussenin herhalen, wat we eerder met een lege rij komma's ,{k} weergaven.

    @
  1. Aa.I.0. a,`,0 = a,`
  2. Aa.I.1. a,b,c1` = a,ab,c`
  3. Aa.I.2a. a,b1.,0..,d1` :k>0 = a.,0..,b1,d` :k
  4. Aa.I.2b. a.,0..,d1` :k>0 = a,a.,0..d` :k
  5. Aa.I.3. a,b = b

De gesplitste regel verandert de evaluatie niet. Na elkaar toepassen van regel 2a en 2b in systeem Aa werkt hetzelfde als opladen en optellen in Adam A.

In systeem Aa kiezen we om de expressie waarde met b=0 onder c=0 gelijk te houden aan die waar b=1 zou staan. In het strikte systeem A viel dat gewoon niet onder de regels, maar hier kunnen we deze expressie vorm gebruiken om de parallel lopende supermachten uit te drukken.

a*{c>0}b = a,{c1}b

Dan blijkt dat een type +{c>1} superoperator die begint te tellen vanaf de plus, gelijk staat aan het aantal komma's of variabele plaatsen in Adam.

§3.1.4. Variant Ab.I

Een ander type definitie benoemt alleen die variabelen en tekens, die voor de selectie en wijziging nodig zijn. We scannen expressies steeds vanaf de linker kant a, naar rechts. Test daarbij de l-r scan regels `= in de definitie van boven naar onder, tot er een match voor de expressie vorm gevonden wordt.

Een spatie in een regel betekent het einde van het linker gedeelte van de vorm, waarna we apart doorzoeken naar een match voor het rechter gedeelte. Over de spatie slaat onze l-r scan dus een mogelijke passieve text passage over.

De definitie van systeem Ab.I past de regels strikt in volgorde toe. We ruimen komma's pas op als alle iteratoren op rij zijn afgeteld. Stel b0 vooraf.

    @
  1. Ab.I.1. a,b,1 `= a,ab,
  2. Ab.I.2a. a,b1, ,1 `= a,,1 b,
  3. Ab.I.2b. a,,, 1 `= a,1,,
  4. Ab.I.3a. a,b, `= a,b
  5. Ab.I.3b. a,b = b

De speciale expressie a,,{k>1}2d evalueert nu tot a,a,{k}d en telt dus een iteratie stap meer af dan in systeem Aa. Dit lijkt rekenkundig juister.

Dan moeten we een expressie van de standaard supermachten in Ab met een basiswaarde b=1 schrijven. Beginnend met de macht ** hier.

a*{c>1}b = a,1,{c}b

Dezelfde supermacht vergelijking geldt in Adam's compacte systeem A.

§3.2. Popster Adam

We vergelijken de evaluatie in functie A.I met de popster operaties. Na wat rekenen ermee volgt de algemene vorm van zulke vergelijkingen.

§3.2.1. Tetratie in rij van vijf

Expressies met drie tot vijf parameters in systeem A.I zijn equivalent aan de eerste popster supermachten * tot *** en zo komen we tot tetratie.
In volgende voorbeelden tonen we Adam's functie regel nummers links van het evaluatie teken en bij popster operaties staan de toegepaste regels rechts.

Hoe optellen en vermenigvuldigen verloopt, parallel in beide systemen.

      a,b,1c     =     a*c1+b
  1=  a,ab,c     =2,1  a*c+ab
 1==  a,a*c+b,1  ==    a*1+a{c}b
  1=  a,a*c1+b,  =3,1  a{c1}b
  3=  a*c1+b

Evaluatie van een macht met vier parameters in Adam en met popster operaties.

      a,1,,2d    =     a**d2*+1
  2=  a,,1,1d    =2,1  a**d1*+a*1
  1=  a,a,,1d    =3    a**d1*+a
  2=  a,,a,d     =2,1  a**d*+a*a
 1==  a,a*a,,d   ==    a**d*+a^2
  ==  a,a^d1,,1  ==    a**1*+a^d1
  2=  a,,a^d1,   =3,1  a*a^d1
 1==  a,a^d2,,  3==    a^d2

Zet nu popster operaties in in Adam's variabelen om de evaluatie te volgen.

a,b,c,d == a,a*c+b,,d
    = a,,a*c+b,d-
    = a,a*+a*c+b,,d-
   == a,a^d*+a*c+b,,
   := a,a^d1*c1 {b=a}
    = a^d2 {c1=a}

De iterator e van tetratie domineert de kleinere operaties. Zolang met name d niet veel groter is dan a of triviaal klein, tellen deze variabelen ongeveer twee etages e2 bij de toren met machten op.

a,b,c,d,e = a,a*c+b,,d,e
    = a,a^d1*c1,,,e {b=a}
   := a,1,,a^d2,e- {c1=a}
    = a,a^a^d2,,,e-
   == a^^e1^+d2
    = a^^e2 {d2=a}

Precies gesteld zo. Of stel dat {d~a} dan rondt een rij van vijf in A.I zo af.

§3.2.2. Supermachten over de rij

Met een aantal lege komma's ,{k} op de Adam rij drukken we direct het aantal sterren *{k} van een supermacht uit.

a,1,{k1}f2
    = a,a,{k1}f1
    = a,a,{k}a-,f
   == a,a*{k}a,{k1}f
   == a,a.*{k}a.. :f1
    = a*{k1}f2

Elke voorliggende parameter in de functie rij is een kleinere supermacht en vormt een popster operatie op de hoogste exponent van de supermacht rechts.

Algemene vergelijking van expressies A.I met de reeks popsterren, beide in rep notatie. En afgerond tot supermacht, waar we de hele rij met insignificante p~a optellen bij de hoogste operant.

a.,pi.. 0:k
  = a*{i}pi*{i-}+..p0 k:1
    ~ a*{k}(pk+1)*{k-}+pk-
    ~ a*{k}(pk+2)

Bij kleine expressies k<2 of bij relatief grote superfactoren pk- zal de bijtelling van pk+2 afwijken in de superexponent.

Lastig aan systeem A.I zijn de twee oplaadregels in serie: met de substitutie van constante a in de lege cel b na het opladen van hogere cellen.
Ook is het zuiniger om tekenreeksen ,{k>1} in te zetten als separatoren in multidimensionale arrays. Het volgende systeem Eva zal dit oplossen.

Gulliver op een reuzenmatras met mini-cavalerie

§3.3. Systeem Eva

Systeem E staat voor Eva's evaluatie. Eva noteert zo groot mogelijke getallen met zo weinig mogelijk expressie tekens en systeem regels. Typerend voor Eva is dat iteraties aftellen tot 1 en elke komma en andere separator apart staat.

§3.3.1. Definitie E.I

Eva's rij systeem E.I opereert net als Adam in het gebied van de supermachten. Uitgedrukte getallen wijken bij gelijke expressies wel af van Adam A.I en lopen er wat op achter, waarbij exacte vergelijking steeds ingewikkelder wordt.

Definitie van systeem E op de eerste rij I.

    @
  1. E.I.1. a,b.,1..,2R :k0 = a,.,1..ab,1R :k
  2. E.I.2. a,b.,1.. = ab

Elke expressie is op te lossen met deze twee regels.
Regel 1. laadt de som ab uit de basis op naar de beschikbare variabele. Dat kan op de tweede plaats b zelf zijn, of op de plaats van een iterator ,1 die uiterst rechts staat te wachten. Een reeks passieve iteratoren ,1.. wordt van rechts naar links opnieuw gevuld. Maar variabele b komt leeg en telt als 0 zodat in het vervolg de lagere ,1 alleen met a worden opgeladen. In geval k=0 ontbreekt de afgetelde reeks en telt de kopie van a gewoon op bij b.
Regel 2. geeft de uitkomst, mits er geen iterator groter dan 1 rechts volgt. Dat betekent dat de eerste regel met prioriteit moet worden toegepast tot dat niet meer mogelijk is.

Om afgetelde variabelen van rechts op te ruimen, is er de extra regel 2a. die we naar wens eerder of later kunnen toepassen. Regel 2b. is simpeler dan regel 2. en met dit stel is er geen strikte regel volgorde.

  1. E.I.2a. a,R,1 = a,R
  2. E.I.2b. a,b = a,b

Eva telt haar iteraties nooit volledig af, er blijft een 1 tussen de komma's over. Het staat ons vrij een andere betekenis aan reeksen komma's ,.. te geven. We kunnen deze gebruiken als hogere separatoren en de ruimtes ertussen als dimensies in de uitbreiding E.II. van ons Eva systeem. Zo evalueren we expressies met maar twee tekens, zodat dit record grote getallen oplevert.

§3.3.2. Rekenen met E.I

Optellen in Eva kan op twee manieren. De basis operatie wijkt af van Adam.

a,b,1 0= a,b
    2= a+b = ab

Vermenigvuldigen volgt uit de herhaling == van regel 1. over drie parameters, waarbij we de som variabele b=0 aanvankelijk leeg laten.

a,b,c1 1= a,ab,c
    == a,a*c+b,1
    2= a*c1+b

Als we dezelfde regel aanhalen of een resultaat uit een eerdere afleiding toepassen, hoeven we = geen nummer te geven.

a,b,c1,d1 1= a,a+b,c,d1
   == a,a*c+b,1,d1
    = a,,a+a*c+b1,d
    = a,a*(a+a*c+b),1,d
  0== a,.a*(a+..a*c+b..) :d:
   2= (a+a*..c+b..) :d1:
   ~> a^d1*+c2 {b=a}
   ~> a^d2 {c1=a}

Stel in de Eva definitie dat b=0 en k=1 en vergelijk dit met systeem Adam, waar expressies A(a,b,c,d) exact op popmacht a^d*+a*c+b uitkomen.

E(a,0,1,d1) = a,,a1,d
    = a,a,a,d  ~>  a^d1
   <  A(a,0,1,d1) = a^d2
   <~  A(a,a,a,d) = a^d1*+a1

Zowel de initiële als de gewone macht expressie is in Eva E.I kleiner dan in Adam A.I en dat scheelt ongeveer een factor.
Het valt te verwachten dat bij gelijke expressies de superexponent in systeem Eva ongeveer 1 kleiner blijft als in systeem Adam.

§3.3.3. Eva varianten

Algemene regel voor varianten van het Eva rij systeem, met gewoon optellen n+ en aftrekken -n en in de l-r scan regel `= vorm.

    @
  1. En.I.1. a,b ,2R `= a,a-n n+b,1R

Hier is na een geheel getal, positief of negatief. In geval n=a vormt dit de hoofdregel van het standaard Eva systeem.

Triviaal is dat elke En(a,b,c) op vermenigvuldiging uitkomt.
Stel nu dat n=0 voor de natuurlijke Eva variant E0.

    @
  1. E0.I.1. a,b.,1..,2R :k0 = a,a.,1..b,1R :k

En werk dezelfde machtsverheffingen uit als hiervoor.

E0(a,b,c1,d1) 1= a,ab,c,d1
   == a,a*c1,1,d1 {b=a}
    = a,a,1+a*c1,d
    = a,a*(1+a*c1),1,d
  0== a,.a*(1+..a*c1..) :d:
   2= a+.a*(1+..c..) :d1:
   ~> a^d1*+c1

Zo loopt E0 meestal ongeveer gelijk met E.
Alleen initieel opladen kost een factor extra.

E0(a,0,1,d2) = a,a,1,d1 = a,a,a1,d
     ~> a^d*+a1 ~> a^d1

Werk de varianten En(a,0,1,d) precies uit naar een serie machten.

a,,1,d1 1= a,a-n,1+n,d
    = a,(a-1)*n+a,1,d
    = a,a-n,1+a*n+a,d-1
    = a,(a*a-1)*n+a*a+a,1,d-1
    = a,a-n,1+a^2*n+a^2+a,d-2
    = a,(a^3-1)*n+a^3+a^2+a,1,d-2
   == a,(a^d-1)*n.+a^i..,1,1 d:1
   2= a+(a^d-1)*n.+a^i.. :d

Welk getal n we ook kiezen, dezelfde expressie blijft bij elke Eva variant uit de pas lopen met de eenvoudiger popmacht van Adam.

§3.3.4. Eva is supermachtig

Verder met standaard Eva systeem E.I waar de variant n=a de constante is. Gelijke expressies zouden in andere varianten n ongeveer even grote getallen uitdrukken, omdat bij het opladen van hogere cellen het verschuiven van subtotaal b in de regel dominant is. Zowel de constante a als de variant n worden steeds minder significant.

Gegeven was dat E(a,a,a,d) tot ongeveer ~a^d1 reduceert.
Vervolgens drukt Eva's rij van vijf een wat rommelige tetratie uit.

a,b,c,d,e {b~a c~a}
   ~ a,a^d1,1,1,e
   ~ a,,1,a^d1,e-
   ~ a,a^a^d1,1,1,e-
   ~ a,a^^e^+d1
   ~ a^^e1 {d~a}

Terwijl dezelfde expressie in Adam tot ongeveer a^^e1^+d2 uitwerkt. Eva stapelt steeds een exponent minder.
Maar de minimale expressie met tetratie E(a,0,1,1,e) in Eva is nauwelijks groter dan exacte tetratie A(a,1,0,0,e) in Adam, vrijwel gelijk.

a,,1,1,e1 = a,,1,1a,e
   = a,a,a,a,e
   ~ a^^e^+a1 ~ a^^e1

Expressies in Eva zijn niet exact te vertalen naar popster supermachten, want de complexiteit van die vergelijking neemt op fractal-achtige wijze toe. We zouden dit supermachtige getallen kunnen noemen.
Maar zo ongeveer ~ zijn de dichtstbijzijnde supermachten voor elk supermachtig Eva getal goed te bepalen.

Druk systeem E.I bij benadering uit als een reeks popster operaties, waar elke variabele meer op de rij aan de uitkomst een operator ster toevoegt.

a,.,1..,z1 :k = a,..z :k2
   ~> a*{k1}z*{k}+a1
   ~> a*{k1}z1

Of in het algemeen voor een rij met lengte k+2 zoals die in Eva begint met optellen ap0 met een lege *{0} ster.

a.,pi.. 0:k
    ~ a*{k}(pk+1)

De hoogste superexponent pk is dominant, de voorgaande variabele pk- telt daar ongeveer 1 stap bij, tegen 2 in Adam. De rij lengte of positie van de superexponent is weer dominanter dan de waarde ervan.

Van beide primitief recursieve functies A.I en E.I loopt de rij lengte ongeveer gelijk met de tweede iterator van een dubbel recursieve functie.
We gaan de eerste rij recursief verlengen, lengte op lengte, om een hogere klasse van grote getallen te noteren. Door subtotaal b door te laden naar de tweede rij, zullen de variabelen daar gelijk op lopen met die van Bird's lineaire array, die maximaal is. Dit valt te bewijzen met behulp van Conway's pijlketen, die de supermacht pijlen van Knuth natuurlijk opvolgt en meer resolutie geeft.

§4. Pijlfuncties

We breiden de rechtse pijlen van Conway uit met de oppijlen van Knuth in een nieuw systeem met superpijlen. De hiermee te noteren getallen zullen zeker zo groot worden als die van Bird's lineaire array.

§4.1. Knuth's oppijlen

Donald Knuth's pijloperaties stonden model voor Conway's pijlketen notatie. Gegeven de operator van machtsverheffen schreef Knuth de volgende operatie van tetratie ↑↑ met twee oppijlen. Die evalueert hij direct tot een toren van machten, van rechts op links verder uit te werken tot getal.

We reduceren tetratie in stappen door links ervan machten in te voegen.

a↑↑b1 = aa↑↑b
     == a..a↑↑1 :b
      = a..a :b

Door deze vergelijking operatie {c1} na operatie {c} te herhalen, kunnen de supermachten worden uitgedrukt als een reeks voorgaande pijloperaties.

Er zijn drie regels nodig voor de evaluatie vanaf rechts =` van Knuth's oppijlen. In meerdere stappen == volgt dan de hele reeks.

    @
  1. Kn.1. a{c}1 =` a
  2. Kn.2. ab1 =` a*ab == a*..a :b
  3. Kn.3. a{c1}b1 =` a{c}a{c1}b == a{c}..a :b

De operatie van tetratie wordt al gauw onbegrijpelijk groot, en de meeste supermacht operaties kunnen alleen algoritmisch nog worden vergeleken.

Neem een gelijk aantal oppijlen .. of carets ^.. bij dezelfde operatie, maar voor supersterren *.. een ster extra.

Het getal in dit voorbeeld is fysiek niet decimaal weer te geven. Ook niet als elk kleinste deeltje in ons heelal een cijfer voor zou stellen. Toch kunnen we er een beetje mee rekenen.

4^^4 = 4^4^256
     = 2^2^513  2^2^2^2^3.17
      10^10^153.9
      80.59^^3
         (79.8^^2)^^2
            2.3279574277^^5
        = 4^^^2

Net als alle pijloperaties lossen Knuth's oppijlen {c>0} strikt =` rechts associatief op. De gewone meerderheids-precedentie passen we bij dakjes of carets ^{c>0} toe. Daarna volgt evaluatie van supersterren *{c1>0} met minoriteits-precedentie, waar de operatie met minder sterren voorrang krijgt. Dit brengt variatie aan in het gebruik van supermacht operatoren. Het lege optellen *{0} gebeurt direct bij unaire getallen, maar plus + optellen komt als laatste.

§4.2. Conway's pijlketen

Conway bedacht zijn pijlketen functie om significant grotere getallen te maken dan met Knuth's oppijlen mogelijk is.

§4.2.1. Definitie

De pijlketen notatie van de Engelse wiskundige John H. Conway zag in 1996 het licht in zijn Book of Numbers.
Aanknopingspunt vormt de pijlketen abc die met drie parameters dezelfde supermachten a{c}b uitdrukt als Donald Knuth met al zijn pijlen. Iteratie van de derde parameter c telt als het ware het aantal oppijlen {c} af.
Verschil is dat de rechtse pijl geen operator is en hier niet telbaar, maar net als de komma separator , een plaats aanduidt voor een functie parameter.

Met a,b,1 kan de dubbel recursieve functie verschillend beginnen. Hilbert telt zijn φ1(a,b) op. De Ackermann functie φ(a,b,1) vermenigvuldigt. Beide opties komen in aanvang natuurlijk over. De initiële rechtse pijl van ab waartoe ab1 reduceert, staat bij Conway voor {c=1} machtsverheffen.

Stapsgewijze definitie van Conway's pijlketen.

    @
  1. Co.1. ab = ab
  2. Co.2. X1 = X
  3. Co.3. X1z = X
  4. Co.4. Xy1z1 = X(Xyz1)z == X(..X..)z :y:

Hier stelt de text variabele X het linker deel a.ni.. :k van de keten voor, met een k0 aantal variabelen ni maar op zijn minst de constante a.

§4.2.2. Evaluatie

De systeem regels Co. evalueren expressies van Conway's pijlketen tot getal. In de voorlaatste variabele y vindt zowel substitutie plaats als het aftellen binnenin, terwijl de iterator z rechts buiten aftelt. Bij herhaling == van hoofdregel 4. telt de geneste y af tot 1 om te besluiten met de dubbele eliminatie van 1z door regel 3. We werkten een hele - recursieve stap van z uit.

Reduceren we de overgebleven keten X op zijn beurt, dan zal bij herhaling van enkele recursies - en dubbele eliminaties de verst geneste expressie met a of via macht ab een getal opleveren. Dit geeft in de keten van drie of vier de volgende recursie van z- over y. Na de hele dubbele recursie valt rechts een pijl 1 weg door regel 2. en reduceren die geneste ketens via machten en supermachten ab(..ab..) tot subtotaal getal.

Zo borrelen steeds grotere y op uit de diepte naar steeds verder naar rechts wachtende expressies. Tot ook de top expressie Xyz weer uit getallen bestaat. Bij herhaling groeit het subtotaal in y en reduceert z. De geneste ketens rollen heen en weer, omlaag en omhoog, tot ook de top keten Xy1 aan lengte verliest. Elke nieuwe y die dan z wordt, zal de eerdere z ver in grootte overtreffen. Tot uiteindelijk ook de laatste macht evalueert tot getal.

Er zijn ook triviale ketens. De eerste begint links met te kleine 2 getallen.

22R = 2{r}2 = 4
L1R = L1r = L

En komt ergens een schakel 1 voor, dan kan de keten R daar ter plekke worden afgekapt.

§4.2.3. Recreatie

Scherp de vergelijking aan uit het getallenboek van Conway en Guy, waarin een recursieve superexponent het beroemde recordgetal van Graham uitdrukt.

Gardner's getal 3{..3{4}3..}3 :63: van Graham ligt: boven de 33642 is 33(..33..) :63: in pijlketen notatie en onder de 23652 is 23(..247..) :63: waar de diepe supermacht een prima benadering is van 337 (zie § 2.2.3), zodat de 64ste iteratie van oppijlen aan beide kanten drie ↑↑↑ verschilt.

Conway voegde aan de keten a.xi.. de dubbele recursie yz1 toe, met als evaluatie stap om op plaats y de subexpressie met z te substitueren, in de hele enkele recursie tot diepte y genest.
Over de gehele ketenlengte :k van (in de evaluatie afwisselend recursieve en) dubbel recursieve variabelen vi noemen we zo'n functie tripel recursief.

Xy12  recursie
  = X(Xy2)
 == X(..X..) :y:
Xy1z1  dubbele recursie
  = X(..X..)z :y:
X.vi.. :k>2  tripel recursie

Het linker deel X van de expressie wordt tegelijk met de recursie genest, maar verandert zelf niet. Het zou dus elk mogelijke tekst kunnen bevatten.
In Conway's pijlketen eindigt deel X altijd op een variabele, en voor niet-triviale recursie met een unair getal x>1 dat aftelbaar is. Maar deze recursies kunnen net zo goed werken als X#yz eindigt op een oppijl of een hogere superpijl.

§4.2.4. Variatie

De eerste schakel in Conway's keten had ook een oppijl ab kunnen zijn, met daarbij deze alternatieve regel voor de pijloperatie c die erop volgt.

  • abc1 = a↑↑bc == a↑↑{c}b1 = a{c1}b

Dit geeft als resultaat exact dezelfde supermachten als abc1 en ook als a met daarop een bc1 dubbele recursie.

ay1z1 = a(..a..)z :y:

Ook de pijlketen a*bc die met vermenigvuldigen a*b begint, kan evalueren tot a*{c}b met een aangepaste regel voor de rechtse pijl. Waar deze na bijvoegen van een oppijl de equivalentie * ** in dezelfde stap toepast. Of waar deze elke ander kleiner (zoals * hier) operator teken ervoor herhaalt.

Simpeler kan dit weer met de rechts associatieve dubbele recursie.

a*yz = a*(..1..)z- :y:
      = a*{z}y

Dit voor de fijnafstemming van de eerste supermacht in een alternatieve pijlfunctie met drie parameters, voor de rest maakt dit weinig uit.

We nemen nu een voorschot op het volgende hoofdstuk, waar az tot een lange pijlketen van Conway a..1 :z evalueert.

Stel dat de rechtse pijl c1 een aantal {c} oppijlen zou toevoegen aan elke andere voorstaande operator. Als we de nieuwe superatoren dan r-l uitwerken zonder ze van elkaar af te schermen, ontspringt er een onstopbare loop.

332 = 3↑↑3  <
   333 = 3333

Die variatie voor de volgpijl is wel mogelijk, maar dan moet de evaluatie stap van oppijlen haakjes erbij noteren. De top van de toren wordt daarmee genest.

a32 = a↑↑31 = a↑↑3
   = a(a↑↑2) = a(aa)
       = a..1 :a..1 :a

Dit zou een manier kunnen zijn om de lengte van Conway's keten met Conway's keten uit te drukken, wat het volgende type recursie inluidt.

ab12 = a↑↑b1
     = a(a↑↑b)
     = a(..a..) :b:

De oppijlen noterende volgpijl lijkt zeer snel van start te gaan. Toch blijkt dit (door de bijkomstige haakjes) precies hetzelfde uit te werken, als gewoon de volgende rij recursies beginnen.

En we zetten graag de ketenvorming van ab op een hoger plan door, door onze a↑↑b1 via regel aa↑↑b een tweede dimensie rij a..a :b te laten vormen. Zonder nieuwe haakjes, in het vervolg, dat groots wordt.

Eerdere verwarde pogingen om ketens met superpijlen te bouwen:
1. EN - Conway's row of chained arrows
2. EN - Arrows quarters (draft)
3. EN - Big Arrows Compass
4. EN - Growing Numbers in all Dimensions (draft)
5. EN - Big Arrows Compass I & II (draft)
6. EN - Conway's down arrows (draft)
7. EN - Birth of the Superdeep (arrays)
8. NL - Conway-Knuth hyper-recursieve pijlen

Gulliver trekt scheepjes aan touwen

§4.3. Conway-Knuth superpijlketens

Om de volgende generatie grote getallen te maken krijgt Conway's systeem een nieuwe regel, met een variabele die de lengte van de pijlketen bepaalt. De drie typen recursies over deze variabele komen gewoon rechts daarna te staan.
De regel telt de lengte variabele af en voegt stapsgewijs schakels a toe, links van de superpijl aan de op te bouwen keten. De operatie herhalende pijl van Knuth werkt precies zo, dus *tada*, dit is onze nieuwe superpijl operator.

Vanaf rechts =` voegt de stap na stap een y aantal parameters a toe. Niet gescheiden met haakjes (wat tot tetratie leidt), maar als een pijlketen.

ay1 =` aay
     == a..a1 :y
     = a..a :y

Als we hier een 2 op laten volgen, wordt de ketenlengte recursief uitgedrukt.

332 = 3(322)
       = 3(33)
      = 3(332)
     = 3(333)
    = 33↑↑↑3
 p = 3..1 :3^^7625597484986

En die recursie over de ketenlengte gaat al gauw pijlketens diep.

333 = 3(323)2
       = 3(332)2
      = 3p2
     = 3(..1..) :p:

Dubbele recursie over de lengte van Conway's keten opent een nieuwe generatie van grote getallen.

ay1z1 = a(ayz1)z
         == a(..a..)z :y:

Nog sneller wordt de functie met meerdere superpijlen, maar evaluatie van de expressie duurt onvoorstelbaar lang.

3↑↑↑2 = 3↑↑3 = 333
       = 3333
      = 33(3323)2
     = 33(33(333)2)2
    = 33(333^^^32)2

Om de supermacht 3^^^3 staan geen haakjes, want de carets operatie heeft precedentie. Maar pas op met oppijlen in deze rechts associatieve context.

Formule voor superatoren bestaande uit een Conway pijl met Knuth's oppijlen.

a{c1}b1 = a{c}a{c1}b
          = a{c}..a :b

Daarboven volgt dan recursie over het aantal Knuth pijlen in de superator.

3→→3→→22 = 3→→3→→(3→→3)
           = 3→→3→→(33)
          = 3→→3→→3↑↑↑3
         = 33→→3↑↑↑3
        = 3↑↑3→→(3↑↑↑3)-
       = 3{3^^^3}3→→1
      = 3{3^^^3}3

Later tonen we hoe groot de getallen van deze rechts gestapelde recursies zijn, vergeleken met Bird's links oplaadbare arrays.

Onze definitieve definitie van de Conway-Knuth superpijlketens.

    @
  1. CK.0. yz1 =` y*yz == y*..y :z
  2. CK.1. y#z1 =` y#y#z == y#..y :z
  1. CK.2a. ab = ab
  2. CK.2b. a#b = a#b
  1. CK.3. X#1 = X
  2. CK.4. X#1z = X
  3. CK.5. X#y1z1 = X#(X#yz1)z == X#(..X..)z :y:
  1. CK.6. y#z1 =` ↑↑y#z
  2. CK.7. y#z =` y#z == {z}y

Hier is # een superator met elke mogelijke, maar niet-lege combinatie van pijlen. Teken X staat voor een deelketen met op het eind een variabele.

Regels met = gelden voor de hele expressie. Regels met =` zijn rechts associatief, toe te passen op het laatste deel van de expressie. Daarbij is variabele y compleet, want elke variabele in de scan is gretig naar enen.

Regels 6. en 7. offeren twee hogere pijlen →→y→→z op om de superator in {z}y stapsgewijs te kwantificeren. Zo kan het aantal oppijlen recursief worden bepaald, rechts na de variabele z met de eerdere regels, terwijl de expressie reduceerbaar blijft. Reeksen van hoge pijlen zijn meest lang, dus het verlies van 1 schakel is insignificant.

In ons systeem hebben alle superatoren {m}{n} hun rol in de constructie van getallen, waarbij elke superoperator een keten van vorige superator schakels achterlaat. Hoe groot die rol eigenlijk is zal moeten blijken uit onze vergelijking met de arrays van Bird in het volgende hoofdstuk.

Een afwisselende reeks operator tekens {mi}{ni}.. zou extra informatie aan het systeem kunnen toevoegen. Hoewel dit een multidimensionale matrix mogelijk maakt, laten we deze uitbreiding ongebruikt. Rechts assocatieve evaluatie van regel 7. telt in y→→z is ↑↑y→→z de vreemde voorliggende oppijlen op.
Het aantal superketenpijlen {m} is sowieso dominant. Om die met een recursieve variabele te kunnen herhalen, is er een nieuw pijlteken nodig.

§5. Lineaire arrays

Lineaire arrays zijn functies bestaande uit een rij parameters, met de constante a gevolgd door een aantal recursieve variabelen ,b,c,d,e,..
Door subexpressie substitutie in b en het daarmee opladen van afgetelde variabelen, noteert Bird's lineaire array maximaal grote getallen over de rij.

§5.1. Birdy rij

De Engelse wiskundige Christopher Bird publiceerde een systeem met arrays voor het maken van wereldrecord grote getallen. De regels voor de evaluatie van Bird's arrays worden bij uitbreiding steeds ingewikkelder, maar we zullen een bij benadering gelijk systeem Birdy van het begin af eenvoudiger opzetten.

Ga uit van de lineaire array notatie van Chris Bird, de eerste rij.
De Birdy functie verwijdert uit Bird's Rule 4. de overbodige substituties, die aan de grootte van de uitkomst weinig bijdragen. Onze versimpelde regel komt in het spel bij de vierde parameter, na basis paar en supermacht trio.

§5.1.1. Basis paar

We bouwen een systeem van regels B.I over de eerste rij parameters, dat met licht aangepaste expressies even grote getallen noteert als Bird's lineaire array. Sommige regels B. blijven ook in onze latere Birdy array systemen geldig.

In de array basis werken twee eliminatie regels: om de uitkomst op te leveren en die om een afgetelde variabele aan het uiteinde rechts te verwijderen.
De term X links bevat hier de rij a.,pi.. met een aantal :k0 iteraties.

    @
  1. B.0. B(a) = a1 successor
  2. B.1. B(X,1) = B(X) afval

Rechtstreeks Bird(a) = a is prima, maar de successor functie past bij optellen, zoals Hilbert ook begon. De voorsprong 1 is natuurlijk insignificant.
Nu reduceert B(a,1) via B(a) tot uitkomst a1 wat fraai optelt.

Regel 1. voor afgetelde uiteindes ,1 is geldig bij elk type array met een laatste rij deel. Maar het principe om laatste enen in de expressie op te ruimen blijft van kracht bij uitgebreide separatoren ,[X]1 in hogere arrays.
We zien liever af van Bird's apparaat om leeggetelde variabelen of structuren op te lossen in de voorliggende rijen of array ruimtes.

Bird neemt, in navolging van Conway's pijlketen, als basis operatie B(a,b) het machtsverheffen. Dit vooronderstelt een stap van vermenigvuldigen die herhaald tot de reeks a*..1 :b evalueert.

Bird(a,b1) = a*(a,b)
          == a*..(a,1) :b
           = a^b*(a)
           = a^b*a
           = a^b1   macht

Bij David Hilbert en ook bij Jonathan Bowers, die oorspronkelijk het idee voor de arrays van Bird ontwikkelde, begint de functie primitief door a+b op te tellen.
Het Birdy systeem telt basis paar a,b op door enen stapsgewijs over te brengen van b naar a, wat ons tellen wezenlijk is.

  1. B.2. B(a,b1) = B(a1,b) tellen == B(a.1..,1) :b = B(ab) = ab1

Of tel in een keer op, door de komma te elimineren en de uitkomst uit de functie te tillen. Dan zou regel 0. van de successor uitkomst overbodig worden.

Beginnen met optellen kost ons Birdy systeem twee supermachten ** ten opzichte van Bird's *{c1} in input expressies met drie a,b,c parameters.

§5.1.2. Supermacht trio

De algoritmische motor van Bird's lineaire array is de regel voor de recursieve functie stap. Deze telt de derde parameter c af en substitueert de tweede parameter b voor een subexpressie die zelf vrijwel minimaal b- is afgeteld. Aftellen van b tot 1 betreft de recursie van de functie, en aftellen van c tot 1 heet de dubbele recursie.
Drie parameters drukken bij Bird exact de supermachten a^{c}b uit, maar onze Birdy benadering ervan begint met optellen a,b,1 zodat we moeten bijtellen met c2 om dezelfde uitkomst te krijgen.

Als de recursie bodem bij b=1 is bereikt, reduceert de subexpressie tot de constante a, mits daar een derde parameter c>1 op volgt in de eerste rij.

    @
  1. B.I.3. B(a,1,2X) = a bodem

Tekst variabele X omvat hier de rij rechts met een of meer variabelen. Bij uitbreiding van arrays staat X voor elke mogelijke verdere expressie.

Zo evalueert B(a,2,c1) tot B(a,a,c) gebaseerd op deze regel. Daarbij is c>0 vanwege regel 1. waarmee rechts de ,1 zou afvallen. Zonder dat we precedentie van eerdere regels als voorwaarde hoeven stellen.
Expressies met b=1 waar deze regel met 2X geen match voor vormt, zoals a,1,1,2 bijvoorbeeld, komen in de evaluatietrein van systeem B. niet voor en hebben als grote getallen input geen zin, maar zullen onder regel 5. vallen.


De regel voor substitutie, de functie recursie stap, is de werkmotor om getallen groot te maken op de eerste rij, en essentieel voor snel startende arrays. In Bird's lineaire array is dit Rule 5. en in ons afgeleide Birdy systeem regel 4.

  1. B.4. B(a,b1,2X) substitutie = B(a,(a,b,2X),1X)

Deze regel waar b>0 kan steeds weer worden toegepast, zolang c aftelbaar is. Hier begint de tekst variabele X0 met de rest 1.. van het getal c0 en daarna geen of meer variabelen rechts. Maar het kan ook een ander hoger array deel bevatten, of is mogelijk leeg.
We laten het functie voorschrift, de letter B bij dit Birdy systeem, vaker weg als dat duidelijk genoeg is.

Het trio, de rij met drie parameters, geeft aldus de supermachten. De recursie nest in 1 stap van c>0 een reeks van b subexpressies tot de constante a op de bodem.

 B(a,b1,c1) = B(a,(a,b,c1),c)
     == B(a,..(a,1,c1)..,c) :b:
      = B(a,..a..,c) :b:

Na optellen B(a,b) vermenigvuldigen B(a,b,2) en machtsverheffen B(a,b,3) drukt het trio B(a,b,c2) exact de getallen uit van de a^{c}b supermachten.
Het is de bedoeling dat grote getallen in systeem Birdy ongeveer parallel blijven lopen met die van Bird's arrays, waarbij expressies met c2 in Birdy altijd gelijk zijn aan of anders insignificant groter zijn dan die van Bird, nooit kleiner.

§5.1.3. Eerste rij

Gegeven een aftelbare expressie (a,1Z) in de evaluatie van Bird type array functies, dan krijgt in de volgende stap de subexpressie de vorm (a,Z) die we afkorten met een dollar $ teken.

Bird substitueert de $ subexpressie ook in de afgetelde array variabele rechts met zijn Rule 4. voor het opladen van hogere iteraties.

Bird(a,b1.,1..1R) :k>1
   = Bird(.a,..$,1R) :k

De kleinere lengte van k=1 is een apart geval, dat voor de eerste rij de substitutie Rule 5. van Bird of onze Birdy regel 4. zou weergeven.

We maken onze oplaadregel op de rij simpeler en verplaatsen het subtotaal uit b naar de links laatste afgetelde 1. De afgetelde variabelen ertussen blijven ongemoeid. En we zetten voor cel b de waarde a1 in de plaats.

Oplaadregel voor afgetelde variabelen op de eerste rij. Stel daarbij k0 zodat c=1 de eerste oplaadbare variabele is (klopt met de komma's).

  1. B.I.5. B(a,b.1,..2X) :k2 opladen = B(a,a.1,..b1,1X) :k1

Herhaalde toepassing == van deze regel vult de hele afgetelde rij deel.

  == B(a,a1,1.a,..b,1X) :k
   = B(a,$,.a,..b,1X) :k

Het resultaat is net als bij Bird, dat alle voorliggende variabelen 1 door a zijn vervangen. Hier gebeurt dat druppelsgewijs, tot cel c een tweede waarde a1 krijgt, die aftelt met een substitutie stap. Er geldt b>0 bij deze herhaling.

Dezelfde regel kan ook eerst het subtotaal uit b verschuiven en pas daarna de lege cel b=1 met een a kopie aanvullen.
Dubbele definitie van opladen, met k>0 en alleen b>1 wordt verschoven.

  1. B.I.5a. B(a,1.,1..1Y) :k1 vul = B(a,a1.,1..Y) :k1
  2. B.I.5b. B(a,b.,1..1X) :k1 schuif = B(a,1.,1..b,1X) :k>0

Er blijft altijd een cijfer 1 in een lege cel achter. De evaluatiestap als b=1 en c=1 is bij regel 5a. en 5. gelijk.

Varianten op onze oplaadregels zijn mogelijk, bijvoorbeeld door a in te vullen. De mogelijke afleiding uit primitievere regels is wiskundig fraai.

§5.2. Vergelijk op de rij

Zet de grootte van getallen uit verschillende notatie systemen tegen elkaar af, door hun expressies bij benadering gelijk te maken. We beperken ons in dit hoofdstuk tot de eerste rij parameters.
Van Bird is bekend hoe zijn array met vier parameters even grote getallen uitdrukt als Conway over de hele pijlketen lengte.

§5.2.1. Bird tegen Birdy

Vergelijk expressies van Bird's lineaire array met die in ons Birdy systeem B. Bewijs dat ondanks de afwijkende regels, de uitkomsten over de hele rij genomen niet significant van elkaar verschillen.

Birdy begon met twee supermachten achterstand.

Bird(a,b,c) = a^{c}b = B(a,b,c2)

In het vervolg stellen we Bird's arrays minimaal groter -> of minimaal kleiner <- dan expressies in Birdy. Rechts in de vergelijking met -> heeft de Birdy expressie minimaal kleinere waarden en na <- minimaal grotere waarden. Dit verschil zit in de eerste parameter a in de input expressies.

Bird(a,b1,1,2)
    = Bird(a,a,(a,b,1,2))
   == Bird(a,a,..a..) :b:
-> B(a1,b1,2,2)
      = (a1,(a1,b,2,2),1,2)
     := (a1,a2,(a1,b,2,2))
     == (a1,a2,..a1..) :b:

Hier is bij Bird de substitutie na = volgens de regels, terwijl bij Birdy met := de subexpressie wordt opgeladen nog voor deze tot subtotaal is uitgewerkt.

Na een b aantal substituties op dezelfde plaats, bepaalt de laatste subexpressie de vergelijking.

Bird(a,b1,2,2)
    = (a,(a,b,2,2),1,2)
   == (a,..a..,1,2) :b:
-> B(a,b1,3,2)
      = (a,(a,a,2,2),2,2)
     == (a,..a..,2,2) :b:

Hier is de minimaal groter vergelijking precieser, omdat de laatste subexpressie Bird(a,a,1,2) meer verschilt met B(a1,a1,2,2) in Birdy, vanwege de extra substitutie stap die er zou volgen.

In deze expressies met d1>2 compenseren we het andere opladen al minder.

Bird(a,b1,1,d1)
   == (a,a,..a..,d) :b:
<- B(a1,b1,2,d1)
     := (a1,a2,(a1,b,2,d1),d)
     == (a1,a2,..a1..,d) :b:

Blijf in de rij van vier parameters 1 bij c tellen voor iets kleinere Birdy.

Bird(a,b1,c1,d)
   == (a,..a..,c,d) :b:
-> B(a,b1,c2,d)
     == (a,..a..,c1,d) :b:

Bij het opladen naar vierde parameter d wordt Birdy minimaal groter door 1 bij de derde c te tellen, omdat a1 zowel de nieuwe b als de nieuwe c vult.

Bird(a,b1,1,1,e1)
   == (a,a,a,..a..,e) :b:
<- B(a,b1,2,1,e1)
     := (a,a1,a1,(a,b,2,e1),e)
     == (a,a1,a1,..a..,e) :b:

Maar voor opladen naar de derde parameter blijft 1 extra bij a nodig.

Bird(a,b1,1,d1,e)
   == (a,a,..a..,d,e) :b:
<- B(a1,b1,2,d1,e)
    :== (a1,a2,..a1..,d,e) :b:

Dit is voor vergelijkbare rijen vanaf de vijfde parameter algemeen geldig.

Bird(a,b,c,d,R) <~ B(a1,b,c1,d,R)

Zo zijn alle expressies over de rij ongeveer minimaal kleiner of bijna zo groot <~ in Bird als in Birdy. Het subexpressie opladende systeem van Bird en het simpele getal opladende Birdy systeem zijn daarmee vergeleken.


Zowel Bird als ons Birdy systeem drukken, gegeven een rij parameters waar functie substitutie is toegestaan, maximaal grote getallen uit. Daarvoor is, na de snelle start door substitutie in b, vooral het opladen van subtotalen uit b naar de hoogst afgetelde iteraties essentieel.

Of die opgeladen b ook verpakt is in een subexpressie $ zoals bij Bird, is van ondergeschikt belang. Tel 1 extra bij derde parameter c in Birdy, dan geeft dat een substitutie $ stap extra, die het verschil bij het opladen naar de derde parameter al bijna compenseert en het opladen verder in de rij voldoende.

Als we het ruim nemen, geldt over de hele rij van Birdy versus Bird dezelfde vergelijking, waar ~ ongeveer gelijk betekent en <≈ iets kleiner of gelijk.

 B(a,b,1R) ~ Bird(a,b,R)
      <≈ B(a,b,2R)

De systemen lopen door c+2 in Birdy gelijk bij de supermachten, maar daarna maakt dit Birdy een recursie van b groter. Het verschil blijft beperkt en wordt insignificant zodra de hogere recursies vanaf d de rij domineren.

We kunnen andere systemen voor grote getallen nu met de Birdy regels B.I. vergelijken, wat handig is, omdat die met Bird daarmee gegeven is.

§5.2.2. Conway tegen Birdy

Conway's pijlketen en Bird's lineaire array zijn notaties voor getallen die zo groot zijn, dat ze zelfs in de wiskunde vooralsnog geen ander doel dienen dan uit te drukken hoe groot wel niet, en zich met elkaar te meten.

We doen het bewijs van Bird, waar hij in vier parameters Conway's hele keten uitdrukt, dunnetjes over met de vergelijkbare Birdy array. Eerst noemen we nog de overeenkomsten en verschillen van beide algoritmes over de rij structuur.

Elke recursie stap telt een kopie van de expressie af en substitueert deze op de plek van de afgetelde variabele. Bij Conway gebeurt dat in de terugwijkende variabelen y rechts, bij Bird steeds in dezelfde variabele b links.
De geneste reeks subexpressies ziet er na een recursie zo uit. Letters L en R staan voor de rest, hetzij links of rechts in de keten of rij.

Ly1z1 = L(Lyz1)z
      == L(..L..)z :y:
B(a,b1,1R) = (a,(a,b,1R),R)
      == (a,..a..,R) :b:

Op de bodem reduceert Conway met regel L1z = L zijn pijlketen naar links. Maar bij Bird komt elke subexpressie recursie uit op de constante a die klein is.
In de expressie telt de dubbele recursie af en het subtotaal in b hetzij y groeit.

Conway elimineert het einde 1z van de keten. Terwijl in de Birdy expressie B(a,b,1,R) het subtotaal uit b naar rechts schuift, uiteindelijk ook naar een hoge y=1 variabele.
Elke dubbele recursie y1 valt na aftellen bij Conway rechts af, maar vergelijkbare dubbele recursies worden bij c=1 in Bird of Birdy steeds opnieuw opgeladen. We zullen zien dat dit het grote verschil tussen de systemen maakt.


Birdy begint B(a,b,1) = (a,b) = ab met optellen. Conway's pijlketen springt net als Bird snel uit de startblokken met a^b machtsverheffen.
In deze systemen werkt elke stap van de dubbele recursie over c hetzelfde, namelijk als reeks subexpressie substituties in b. Met drie parameters loopt systeem B. van Birdy steeds 2 van die recursies achter.

ab1 = ab = ab = B(a,b,3)
B(a,b,c) = abc2

Vergelijk de vierde parameter in Conway's pijlketen met Birdy.
Eerst met recursie over de supermacht teller.

aab12 = aa(aab2)
      == aa(..aa..) :b:
-> B(a,b1,2,2)
     = (a,(a,b,2,2),1,2)
    := (a,a1,(a,b,2,2))
    == (a,a1,..a..) :b:

Hou Conway's pijlketen -> minimaal groter, zodanig dat de Birdy expressie meer groter zou worden door 1 stap bij recursie parameter b op te tellen.
Hoewel algoritmisch minimaal zijn de verschillen hierbij natuurlijk enorm.

B(a,2,3,2) = (a,a,2,2)  <-
   aa23 = aaaa2  <-
B(a^a,2,3,2) <- B(a,3,3,2)

De tweede recursie over de supermacht teller, met het verschil op de bodem.

aab13 = aa(aab3)2
  == aa(..aa..)2 :b:
-> B(a,b1,3,2) = (a,(a,b,3,2),2,2)
     == (a,..a..,2,2) :b:

Zo gaat de hele dubbele recursie over de supermacht teller.

aab1c1
  == aa(..aa..)c :b:
-> B(a,b1,c1,2)
     == (a,..a..,c,2) :b:

De vierde schakel in Conway's keten komt dus overeen met de derde parameter onder d=2 in Birdy.


Conway's vijfde schakel begint weer met recursie over de vorige.

aaab12
  == aaa(..a{a}a..) :b:
-> B(a,b1,2,3)
    := (a,a1,(a,b,2,3),2)
    == (a,a1,..a..,2) :b:

Net zo werkt de volgende dubbele recursie uit.

aaab1c1
  == aaa(..a{a}a..)c :b:
-> B(a,b1,c1,3)
     == (a,..a..,c,3) :b:

De vijfde pijlketen parameter past precies onder d=3 in Birdy.

We zetten dit voort over de hele keten. Vanaf de eerste recursie over de vorige dubbel recursieve variabele, die wordt opgeladen in Birdy, wat een stap van d aftelt. Conway's keten L op de bodem tegen a in Birdy maakt het verschil.

Lb12  &  L = a..a :d
      == L(..L..) :b:
-> B(a,b1,2,d1)
      == (a,a1,..a..,d) :b:

Schakels a kunnen ook verschillende waarden hebben, als deze normaal zijn (niet al te groot of triviaal klein) blijft de pijlketen minimaal groter.

Steeds drukt de nieuwe variabele rechts in Conway's keten een hogere dubbele recursie uit. Terwijl Birdy onder de derde parameter c de subexpressies nest en de vierde parameter d de lengte van de pijlketen aangeeft.

Lb1c1  &  L = a..a :d
      == L(..L..)c :b:
-> B(a,b1,c1,d1)
      == (a,..a..,c,d1) :b:

Getallen die Birdy 's rij met vier parameters uitdrukt, zijn ongeveer zo groot als die met Conway's hele pijlketen.
Beiden substitueren afgetelde subexpressies, de algoritmes verschillen omdat Birdy subtotalen uit b oplaadt naar c=1 onder aftellen van d. Waarna c de volgende en grotere dubbele recursie oplevert.

Op twee manieren vindt er hier een herhaling van dubbele recursies plaats: over de van rechts af te wikkelen rij in Conway's pijlketen, en met de steeds opnieuw met subtotaal b op te laden dubbel recursieve variabele c in Birdy.
Dit hogere type recursie noemen we tripel recursie.

Gulliver gaat op zijn knieën om de vlammen uit te blazen

§5.3. Superpijlen tegen Birdy

Vergelijk de Conway-Knuth superpijlketens, die we definieerden in hoofdstuk $.4.3, met onze simpele Birdy versie van de array notatie van Bird.

§5.3.1. Tweede pijlketen bij e=2

Breng de tweede pijlketen bovenop de lengte van Conway's keten aan. In Birdy onder vijfde parameter e=2 valt ook die tweede rij samen met variabele d.

Begin met het opladen van de lengte variabele voor Conway's pijlketen met het subtotaal uit b in Birdy. Dat kan enorm worden!

a1b2 ->
   a..a1a1 :b ->
B(a,b1,1,1,2) = (a,a1,a1,b)
   -> a..a1 :b1
      -> ab2 = a..a :b1

Eerste recursie over pijlketen lengte, of in Birdy's variabele b en voortijdig := opgeladen naar de vierde parameter met een - aftel.

B(a,b1,2,1,2)
  := (a,a1,a1,..a..-) :b:
     -> ab12
        = a(..a..) :b:

Verdere stappen van c in de dubbele recursie over pijlketen lengte.

B(a,b1,c1,1,2)
   = (a,..a..,c,1,2) :b:
   -> ab1c1
      = a(..a..)c :b:

Volgt het opladen van de dubbele recursie in Birdy c voor de tweede pijlketen.

B(a,b,1,2,2) = (a,a1,b,1,2)
   -> aa1b

In de verdere recursies krijgt elke superpijlketen een grotere subexpressie op de bodem dan de a bij Birdy.
Nu is dit Conway's super-Ackermann keten met een a aantal parameters a, die de vergelijking bepaalt die hier met <- van richting wisselt.

B(a,b1,2,2,2)
  := (a,a1,..a..,1,2) :b:
   <- aab12
      = aa(..aa..) :b:

De tweede dubbele recursie in de tweede pijlketen, die door Birdy gewoon vanaf links in c wordt geteld.

B(a,b,c,2,2) <- aabc

De tweede pijlketen is in zijn geheel tripel recursief over de tripel recursieve pijlketen van Conway. Birdy gebruikt hier weer de vierde variabele d voor.

B(a,b,c,d1,2) <- a.a..bc :d

Hierbij is d>0 omdat anders Birdy -> minimaal groter uitkomt; zie hierboven. En ook c>1 want in geval c=1 is de vergelijking anders na opladen.

B(a,b,1,d1,2) = (a,a1,b,d,2)
   -> a.a..b :d

Dat een enkele stap in e een tripel recursie hoger springt, toont de kracht van Bird's lineaire array voor het maken van grote getallen.

§5.3.2. Pijlketens onder e

Voeg hierna de volgende pijlketen rijen toe, wat op details in de vergelijking na hetzelfde werkt. Rij op rij vormt zich zo een pijlketen vlak.

Begin weer met opladen naar d in Birdy, nu voor de tweede pijlketen lengte.

B(a,b1,1,1,3) = (a,a1,a1,b,2)
   -> a.a..a1 :b
      -> aab1

In de eerstvolgende recursie blijft de bodem a van Birdy meteen achter bij de bodem subexpressie voor de pijlketen lengte. Dat we het verschil tussen beide expressies aangeven als minimaal kleiner <- komt, omdat Birdy met 1 extra recursie stap in b consequent meer verschil biedt.

B(a,b1,2,1,3)
   = (a,..a..,1,1,3) :b:
   <- aab12
      = aa(..aa..) :b:
      <- (a,b2,2,1,3) =
  B(a,..aaa..,1,1,3) :b:

De rest van de vergelijkingen onder Birdy's e verlopen op dezelfde wijze. De subexpressie op de bodem van gelijke recursies blijft kleiner in Birdy.

Voor de verdere op voorgaande rijlengte gestapelde pijlketens geldt algemeen.

B(a,b,c,d1,e1)  <-
   a..a..bc :e :d

Met een uitzondering bij opladen naar c of d in de richting van de vergelijking.

B(a,b,1,d1,e1) = (a,a1,b,d,e1)
   -> a..a..b :e :d
B(a,b1,1,1,e2) = (a,a1,a1,b,e1)
   -> a..a..a1 :e :b
      -> a..b1 :e1

De vaststelling of expressies minimaal kleiner of groter zijn, is niet significant op deze schaal. Zelfs de waarde van de recursie teller b in de input expressie doet er niet veel meer toe.

Waar Bird's vijfde variabele e een aantal tripel recursies stapelt over de lengte van de pijlketen rij, vormt dat een groot recursief vlak van pijlen. Een vierde type recursie in een tweede pijlketen array dimensie!

§5.3.3. In de pijlkubus met f

Als separator operator tussen de pijlketen rijen gebruikten we de eerste Conway-Knuth superpijl. De volgende superator tussen de pijlvlakken is de tweede superpijl ↑↑ en de variabele erna bepaalt in de evaluatie het aantal rijen in het vlak ervoor.

In Birdy vertaalt dit naar het opladen van de vijfde parameter e met subtotaal b over constante a.

B(a,b2,1,1,1,2) = (a,a1,a1,a,b1)
   -> a..a..a1 :b :a
      -> a..a1 :b1
         -> a↑↑b2

In de opbouw van de vergelijking tussen Birdy en Conway-Knuth superpijlen volgt nu het recursief uitdrukken van dit aantal pijlketen rijen met c=1 en verder als stap van c in een dubbele recursie.

B(a,b1,c1,1,1,2)
   = (a,..a..,c,1,1,2) :b:
     -> a↑↑b1c1
        = a↑↑(..a..)c :b:

We stapelen weer allerlei recursies bovenop deze superpijl variabele, zodat het aantal rijen in het eerste vlak en het zo uitgedrukte getal almaar toeneemt.
Parallel in Birdy bouwen we de hogere recursie variabelen d,e opnieuw op, apart gesteld onder f=2 van het tweede pijlketen vlak.

B(a,b,c,d1,e1,2)  <->
   a↑↑.a..a..bc :e :d

Het teken <-> geeft aan dat de vergelijking soms minimaal groter en soms minimaal kleiner uitpakt. Zoals we dat bij het eerste vlak aangaven, waar ook al bleek dat dit verschil op schaal insignificant is.

Voor elk volgend superpijl vlak in de recursieve ruimte onder Birdy f geldt dit, zodat we de sprong naar de derde superpijl dimensie al precies kunnen maken.

B(a,b2,1,1,1,1,2) = (a,a1,a1,a,a,b1)
  -> a↑↑..a..a..a1 :b :a- :a
     -> a↑↑..a..a1 :b :a
        -> a↑↑..a1 :b1
           -> a↑↑↑b2

Wat het volgende en vijfde type recursie inhoudt over aantallen pijlketen vlakken over aantallen van pijlketens, onder de zevende parameter in Birdy over f over e of net zo in Bird.

§5.3.4. Pijldimensies over Birdy's rij

Elke volgende variabele in de lineaire array van Bird definieert weer een hoger type recursie, omdat het een reeks van het voorgaande type recursief herhaalt. Bij Conway-Knuth superpijlketens is dit duidelijker te zien, omdat diezelfde recursies rechts zijn gestapeld.

We kunnen zo een pijldimensie k1 compleet uitrollen met een reeks van k2 type recursies en kleiner, in Birdy en Bird met k4 parameters op de rij.

B(a,b1,.1,..2) :k2
  = (a,a1,1.a,..b) :k1
     -> a{k}..a1 :b
        -> a{k1}b1

In het algemeen volgen de tellers di+1 van voorliggende pijldimensie i+1 elkaar dan zo op. Herken de dubbele recursie bc rechts in de keten.

B(a,b,c.,1di..) :k>1
   <-> Ti..bc :k
    & Ti = a{i-}.. :di

Hier is k>1 want bij k=0 geldt abc voor de a{c}b supermachten en bij Conway's pijlketen k=1 geeft de vierde Birdy parameter d1 een pijl meer aan, die onder een hogere parameter 1di>1 ontbreekt.

B(a,b,c,d) <- a..bc :d

Bird's lineaire array gaat hetzelfde, maar tel in c- een recursie minder, omdat ons Birdy systeem niet de subexpressie maar alleen het subtotaal b oplaadt.

In de multidimensionale array ruimte die Knuth superpijlen {c} bovenop de pijlketen rij van Conway afzetten, worden gewone recursies naar binnen toe genest en hogere recursies consequent van rechts naar links afgewikkeld.

Vereenvoudigde vergelijking van Conway-Knuth superpijlen met de Birdy rij, met uiterste iterator b en rij lengte c3 als dominante waarden. Eerst een voorbeeld.

a↑↑b1 = a..a :b
   <-  B(a,a,a,a,b)
a{c>1}b1  <-
   B(.a,..b) :c2
      <-  a{c>0}b2

Zo zijn de maximale getallen die in een type recursieve functie met een rij van links oplaadbare parameters te maken zijn, vergelijkbaar met die van de eerste serie Conway-Knuth superpijlen. Ook bij andere waarden voor de parameters a hier, mits niet op schaal te groot of triviaal klein, blijft de vergelijking geldig.

#6. Multidimensionale arrays

Tussen variabelen in de functie rij kwamen komma's. We kunnen deze structuur uitbreiden met nieuwe separatoren: een dimensie index, geneste index rijen, recursie over nest diepte, etcetera.
Dit hoofdstuk versimpelt Bird's multidimensionale arrays in Birdy, en vergelijkt deze over meerdere dimensies met onze functies van Adam en Eva, en met het vervolg van Conway-Knuth superpijlketens. Dimensionaal grote getallen in een expressie basis met een functieloze structuur som.

§6.1. Structuur som N

Met het teken 1 vormen we natuurlijke getallen. Reeksen enen 1.. geven variabelen in de expressie een waarde, waarbij de functie van die variabele bepaald wordt door zijn positie en het algoritme.

Een rij met natuurlijke variabelen vormt de eerste dimensie in een array, terwijl deze eigenlijk bestaat uit rijen van rijen van enen. Bij gelijke waarden en enkel optellen drukt rij lengte een vermenigvuldiging uit.

Ook kunnen we natuurlijke getallen in een dimensionele structuur plaatsen zonder deze een andere functie te geven dan optellen.

Bouw een hyperkubus van 3 bij 3 bij 3 bij 3 met enen en tel deze op.

111 = 3 = 3*1 = 3^1
+ 111 + 111 = 3*3 = 3^2
+ 111 111 111 = 3*3*2
+ 111 111 111 = 3*3*3 = 3^3
+ 3^3 + 3^3 = 3^4 = 81.

Voeg rij op rij toe in de tweede array dimensie. Deze structuur van een reeks rijen noemen we een vlak, hoewel zowel variabelen als rij lengtes in de evaluatie van een array functie sterk variabel zijn.
Als pure structuur zonder functie geeft dit vlak de tweede vermenigvuldiging.

Herhaling van vlakken vindt plaats in een kubieke ruimte, de derde dimensie.
Met iedere herhaling van de voorgaande structuur vormen we de volgende dimensie. En zonder functie telt elke extra dimensie als een vermenigvuldiging, zodat de hele multidimensionale structuur een macht uitdrukt.

In een array notatie plaatsen we deze ruimtes op een lijn, door ze van elkaar te scheiden met verschilende dimensie separatoren. Het simpelst is om een aantal komma's ,{m} na elkaar te gebruiken om dimensies onder te verdelen.

a,..,,..,,,.. :ki,j :ki :k3

Constante getallen a en gelijke maten k vermenigvuldigen onze telkubus tot a*k^3 en in het algemeen telt dit tot a*k^m over m array dimensies.

Ti.. :m
Ti = a,{i}.. :k

Elke komma telt voor 0 in deze functieloze som context. Ook bij gebruik van een komma teller ,{m} uit te breiden tot index array structuur, vervallen alle hogere separatoren tot 0 door het pure optel algoritme toe te passen.
Om de structuur te kwantificeren tellen we variabelen n op in alle mogelijke array ruimtes, die allen een vaste lengte of maat n hebben. Bij n dimensies telt de structuur som n^n1 zo de hele multidimensionale array.

Een array functie laadt afgetelde iteratoren opnieuw op, en via de lengte tellers ook de dimensie maten. Als we daar meerdere komma's gebruiken om dimensies te scheiden, dienen we iteraties niet af te tellen tot lege 0 maar tot 1 om de structuur gelijk te houden. Anders noteren we een komma index ,[m] of in de stijl van Bird [m] om de dimensie van de separator mee aan te geven.

Of we de separator waarden meetellen in de structuur som blijft in het algemeen insignificant. Met separatoren [1] erbij komt de som van de rijen ongeveer op a1*k en met [2] ertussen en maten k in elk vlak op a1*k^2+2*k wat al minder bijdraagt.
Maar deze som blijft in n dimensies kleiner dan n1^n1 inclusief separatoren. Omdat de ruimtes tussenin toch altijd meer getalwaarde bevatten, is inclusief separator waarden tellen bij geneste index arrays en verder te verwaarlozen.

Het kleinst mogelijke array algoritme telt alle variabele waarden n bij elkaar op. Deze structuur som N of bigN gebruiken we als ordeningsbasis voor de complexiteit van array notaties. Zo scoort Bird's geneste array structuur mogelijk als een dubbele exponent, of als tetratie, wat is vooralsnog onduidelijk.
Ook zijn we benieuwd of de structuur som, die primitief recursief oogt, in een hogere systeem constructie de Ackermann supermacht n*{n}n kan tellen.

#6.2. Adam's dimensies

Adam is ons primitieve array systeem, dat iteraties aftelt tot 0 en vanuit b weer oplaadt. Met drie regels over de eerste rij drukt Adam de popster supermachten in serie uit. We verwachten dat onze volgende rij gelijk loopt met Bird's lineaire array vanaf superexponent c, omdat de oplaadregel niet significant verschilt.

Afgerond is voor k>1 vanaf de vierde parameter in Adam deze minimaal groter vergelijking met de supermachten geldig.

a,..f :k1 ~> a*{k}f2

Na de overgang ,[1] die in Adam de volgende rij opent, komt eerst de lengte teller k afgeteld door een dimensie regel die stapsgewijs extra variabelen op de afgetelde rij ervoor plaatst. Na elke teller stap begint de evaluatie over de eerste rij opnieuw met een hogere iterator b. We ruimen nooit de afgetelde iteratoren op, zolang er nog rijen of dimensies rechts ervan volgen. De lengte neemt dus steeds met k extra parameters toe, waarbij de laatste toename met een ervoor opgeladen teller veruit de dominante is.

Uit esthetisch principe staat Bird het opladen van afgetelde variabelen ,1 alleen toe als er nog aftelbare variabelen ,c rechts in dezelfde rij volgen. Zo niet, dan elimineert hij de lege lagere structuren.
De consequentie hiervan is dat Bird de hele afgetelde rij of dimensie structuur tegelijk moet opladen als de basis a,b weer in de evaluatie wordt bereikt. Via een aparte tussenvorm notatie tussen pijlhaken bewaakt hij de maximaliteit van zijn array functie. Bird kan onze eerste teller variabele missen, omdat de vele lengtes a,..1 ingebed in a[m]..1 ineens vanuit :b worden uitgespreid.

Evenwel, als Adam's rechtse dimensie teller oplaadbaar is, worden onderliggende extra variabelen insignificant en blijft onze functie achterstand ten opzichte van Bird beperkt tot de ene laatste teller.
Een ander probleem van Bird's notatie is hier nog niet duidelijk, maar welke van twee separator index structuren precies de lagere is, wordt in hogere systemen steeds moeilijker om te bepalen. Simultane pijlhaak dimensie substitutie om alle van links opgeruimde ruimtes opnieuw te vullen is een dramatische procedure, maar van ons hoeft dit niet. Alles groeit vanzelf weer aan.

Bouwen we de oplaadregel van Adam's rij uit naar m>0 meer dimensies.
Vervang de lege variabele b meteen door a nu.
Voorwaarde k>0 is zonder optellen.

a,b1,{k},1R = a,a,{k}b,R
a,b1,{k},[1m]1R
        = a,a,{k},[m]b,[1m]R
a,b1.,[mi]..,[1m]1R :k
    = a,a.,[mi]..,[m]b,[1m]R :k

Voor k=0 past deze komma index reductie bij een multi-motor regel.

a,b,1R = a,ab,R
a,b,[1m]1R = a,a,[m]b,[1m]R

De iteratie verschilt na opladen maar 1 stap van subtotaal b zoals de motor regel dat optelt. Maar omdat Adam over de rij de popster machten uitdrukt, behouden we dit verschil in de regels voor dimensies.

Daaruit volgen de waarden van de afgetelde separatoren, zodat de in een rij opgeladen b de lege variabele vervangt en geen nieuwe plaatst.

 ,[0]  0
 ,[1]  ,

De equivalentie stelt dat deze separatoren overal in de expressie vervangen kunnen worden. Voor toepassing van een regel met index kan de komma , die ,[1] krijgen en na evaluatie met ,[] kan dat als 0 wegvallen.

De komma , zonder index is de separator ,[1] die de eerste dimensie onderverdeelt in variabelen. In de definitie tonen regels optie a. de uitwerking met een komma , en daarna bij optie b. met de dimensie separator ,[m] de algemene vorm. Bij aftellen van ,[1] tot ,[] en eliminatie tot 0 blijkt dat de algemene regel ook op gewone variabelen kan worden toepast, niet alleen op dimensie lengte tellers.

Definitie van Adam systeem A. voor de multidimensionale structuur II.
Deze regels gelden in volgorde, zodat een regel pas op de expressie mag worden toegepast, als de vorm van de regels ervoor geen match meer geeft.

    @
  1. A.II.1a. a,b,1 `= a,ab,
  2. A.II.1b. a,b,[1m]1 `= a,a,[m]b,[1m]
  3. A.II.2a. a,b1,`,1 `= a,a,`b,
  4. A.II.2b. a,b1,`,[1m]1 `= a,a,`,[m]b,[1m]
  5. A.II.3. a,b `= b
  6. A.II.3a. ,[m] =` , =` 0
  7. A.II.3b. a,b = b

In de l-r scan regels `= noteren we alleen die karakters in de expressievorm, die links bepalend zijn welke regel we moeten toepassen op de expressie, en die rechts aangeven wat er daarin door de evaluatie verandert.
Op de einde rechts en de midden tik ` in de expressievorm kan zich elke passieve passage bevinden, die gegeven de precederende voorgaande regels nog mogelijk is in de expressie.

Voeg zo nodig een speciale regel aan dit systeem toe voor input expressies, die in de evaluatie van standaard a,R nooit ontstaan, naar keuze.

a,[1m]b1 `= a,[m]a,[1m]b
a,[m>1]b1 `= a,a,[m]b

§6.3. Eva's dimensies

Eva is ons primitief recursieve systeem, waarin we iteraties aftellen tot ,1 en met de som ab weer opladen. Met twee regels over de eerste rij krijgen getallen in Eva de grootte van de supermachten.

a,..f :k1 ≈> a*{k>0}f1

We zullen reeksen van komma's ,{m} inzetten als dimensie separatoren, hoewel dit systeem ook zou werken met ,[m] een dimensie index. Het gaat er hier om, met maar twee tekens zo groot mogelijke getallen uit te drukken en te kunnen evalueren tot getal.
De eerste komma a, in de expressie hoort bij de basis, ook als b=0 leeg komt na opladen, en wordt dus nooit onderdeel van een dimensie separator.

De definitie van Eva systeem E voor de multidimensionale structuur II. Deze regels betreffen = de hele expressie, en staan in volgorde van toepassing.

    @
  1. E.II.1. a,b`,{m1}2R = a,`,{m}ab,{m1}1R
  2. E.II.2. a,b` = ab

De variabele vorm b is gretig naar enen, zodat een niet-lege passage ` moet beginnen met een komma. Maar de tweede plaats komt wel tijdelijk leeg te staan in de evaluatie, waarbij de vorm 0 is.
In geval m=0 valt de mindere komma ,{0} weg, om ab op te tellen als ` leeg is, of anders om rechts de afgetelde variabele tot ab1 op te laden.
Omdat de l-r scan de eerste match na de passage ` pakt, zal die passage alleen uit afgetelde variabelen bestaan, vaak met ,{m}1 over vele dimensies.

Uitkomst regel 2 komt alleen ` aan bod als de hele expressie met de eerdere regels is uitgewerkt. Anders, na opruimen van rechts met extra regel 2a levert systeem Eva met compacte regel 2b de uitkomst zonder regel volgorde.

  1. E.II.2a. a,`,{m>0}1 = a,`
  2. E.II.2b. a,b = ab

Pas door wat voorbeelden uit te werken wordt duidelijk dat evaluatie met deze regels van Eva kloppend is.

3,,,3 := 3,0,{2}2
  1= 3,,{1}3,{2}2 = 3,,3,,2
      := 3,0,{1}3,,2
  1= 3,,{0}3,{1}2,,2 = 3,3,2,,2
      := 3,3,{1}2,,2
  1= 3,,{0}6,{1}1,,2 = 3,6,1,,2
      := 3,6,1,{2}2
  1= 3,,1,{1}9,{2}1 2= 3,,1,9
      := 3,0,1,{1}9
  1= 3,,1,{0}3,{1}8 = 3,,4,8
      := 3,0,{1}4,8
  1= 3,,{0}3,{1}3,8 = 3,3,3,8

Hieruit blijkt dat een teller ,,k1 in Eva k iteratoren aan de rij ervoor toevoegt. En ook dat de waarde van de iterator rechts groot kan uitpakken, hoewel dat ten opzichte van de rij lengte niet significant is.

Welke getallen Eva zo ongeveer uitdrukt vergeleken met Conway's superpijlen of Bird's arrays, zullen we hieronder zien. Gegeven dat twee tekens en twee regels genoeg zijn voor de evaluatie van deze expressies, zal Eva ongetwijfeld het meest minimalistische systeem zijn dat zulke grote getallen op kan leveren.

Wiskundige symbolen
= gelijke expressie door evaluatie
gelijk bij substitutie in expressies
== gelijk na herhaling
`= evaluatie regel, zoek vanaf links
=` evaluatie regel, zoekt rechts
:= gelijk, niet vanwege de regels
=: gelijk, pas regels andersom toe
~ bijna gelijk, niet exact
ongeveer gelijk of gelijk
zeker niet gelijk
< significant kleiner
> significant groter
<- minimaal kleiner
-> minimaal groter
<~ bijna zo groot
~> iets groter
<< kleiner van orde
>> groter van orde
& en daarbij
:k herhaalt de selectie T..