Samenvatting

$ 1. Primair Tellen met 1 maakt de getallen. Herhaald optellen van een getal heet * vermenigvuldigen. Deze operatie herhalen verheft een getal tot een ** macht. Vorige operaties steeds herhalen vormt *{c} de supermachten. Alle objecten en hun relaties kunnen herhaald worden, tot in het ω oneindige. " "The further we go And older we grow The more we know The less we show" " - Primary, the Cure $ 1.1. Herhaling Gehele getallen bestaan uit een aantal eenheden. Bij natuurlijke getallen is dat de unit een 1 en negatieve getallen worden met min - geschreven. Ervan afgeleid zijn twee, drie, vier, etc. als namen voor de volgende getallen, of als cijfers in een radix notatie. In unit notatie blijven de enen staan. 2 = 11 3 = 111 4 = 1111 Bij tellen wordt een 1 herhaald .. tot het aantal :n gelijk is = aan het getal n zelf. Het teken nul 0 telt nog   geen een. 1.. :n = n Staan variabelen a en b naast elkaar, dan telt hun som ab meteen op. Zet er een plus + teken tussen om optellen uit te stellen, zodat andere operaties links of rechts voorrang krijgen. Daarna valt de lege + operator weg en geeft de som. a+b = 1..1.. :a :b = ab Vermenigvuldigen * herhaalt hetzelfde getal. Ga uit van niets of 0 en tel daar steeds a bij op, in totaal :b keer. a*b = a.. :b Machtsverheffen ** of ^ herhaalt vermenigvuldiging. Bij het macht teken ^ krijgen hogere operaties voorrang. Werk a tot de macht b+1 uit in stappen. a^b1 = a*a^b == a*..a :b Herhaald machtsverheffen *** of ^^ heet "tetratie". Dit drukt een toren van machten uit, die weer van rechts naar links moeten worden opgelost. a^^b1 = a^a^^b == a^..a :b Ga zo door voor de supermachten *{c} waar teller {c} de sterren * in de operator herhaalt. Dit geeft een dubbele recursie, met na de laatste stap het lege *{0} optellen en de unit operaties als basis. Definitie voor het evalueren van ster supermachten. • a*{0}b = ab • a*{c1}1 = a • a*{c1}b1 = a*{c}(a*{c1}b) == a*{c}(..a..) :b: Na b stappen = ontstaat == een herhaling aan twee kanten :b: met haakjes. Valt het binnenste paar (a) weg a , dan komt de operatie rechts aan bod. Supermachten *{c1} worden ook met dakjes ^{c} of Knuth's pijlen ↑{c} genoteerd, maar minoriteit precedentie is natuurlijker voor ster operaties. Donald Knuth (1976) vond de operator vorm ervan uit, hoewel de dubbel recursieve functie al gegeven werd door David Hilbert (1925). $1.1 Popsterren Een "pop" plus |Pop|+| stelt bij ster operaties *{c}+ de evaluatie ervan uit. Zo kunnen supermachten stapsgewijs vanaf rechts =` worden gereduceerd zonder haakjes in te lassen. Definitie van supermachten met popsterren. Zet (of denk) een plus + vooraan de hele expressie. • a*{c1}1 = a • +a*{c}+ =` +a*{c} • a*{c1}b1 =` a*{c1}b*{c}+a Popsterren *{c}+ worden actief, als links ervan een plus komt te staan. Voor de herhaling geldt b>0 en voor dubbele recursie c≥0 , waarbij *{0}+ optellen uitstelt tot de plus wegpopt. Zo werken de hogere machten in de toren eerder uit. Bijvoorbeeld, in de evaluatie van 3^^3 met popsterren. +3***3 = 3***2**+3 = 3***1**+3**+3 = 3**+3**3 = 3**+3*+3*3 = 3**+3*+3+6 = 3**+3*9 == +3**+27. = 3**27. == 7625597484987. Popsterren helpen om de oceaan van de supermachten in kaart te brengen. $1.2 Omega ω Tellen zonder te stoppen ... kan doorgaan tot het oneindige. 1... = ω Dit telbaar oneindige getal omega ω stelt het totaal van de natuurlijke getallen voor. Optellen kan bij elk getal, dus ook ω+1.. na omega. Wie het axioma van oneindig als getal en oneindige herhaling accepteert kan elke variabele in elke operatie of functie met ω vullen. ω**2 = ω*ω = ω... 2**ω = 1.*2... Kenmerk van een wiskundige lijn is dat elk stuk ervan steeds in twee stukken is te verdelen, tot in het oneindige. Een totaal opgedeeld continuüm bevat dus minstens 2^ω delen, en daarmee dacht Cantor de reële getallen te tellen. Maar de constructie van reële getallen gaat vaak anders. Historisch vanuit het vlak, waar de afstand @ van punten (x,y) tot de oorsprong de wortels geeft. @(1,..0..) :n: = n^(1/2) Neem vervolgens de booglengtes van cirkels, parabolen en algebraïsche curven, etc. Er ontstaat een hierarchie van functies, waar de lengte van de curve steeds ingewikkelder wordt om te bepalen. Eerst nog uitgedrukt in integralen, maar verderop zijn deze getallen alleen numeriek te benaderen. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Tot slot een groot getal en een opgave: "Googol" is de naam bedacht voor 10^100 . Vind een tetratie kwadraat p^^p dat in de buurt komt van googol. Als p exact was, zou dit een nieuw type reëel getal kunnen zijn, sneller en dieper verzonken in de getallenlijn...? Het antwoord is nee, vermoedelijk kunnen superwortels niet worden berekend. Ze bestaan gegeven hun wiskundige definities, maar fundamenteel blijven het onbenaderbare getallen, die niet in het recursief deelbare 2^ω continuüm passen. Er zijn oneindig veel hogere ^{c} operaties, verder uit te breiden tot functies met *[X] superarrays. De meeste inversen blijven dus vaag en hun relatieve plaatsing en combinaties onbekend. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - David Hilbert `1, "On the infinite", 1925, in Heijenoort "From Frege to Gödel", 1967 PP_TEST_QQ - Donald Knuth `2, 1976, Mathematics and Computer Science: coping with finiteness https://www.youtube.com/watch?v=0xrZ61cuKLk Primary - The Cure - 1981 - LoopTube $ 2. Conway's pijlketens John H. 'Conway' schiep zijn pijlketen notatie en zag dat het groots was. Deze definitie gebruikt X als text variabele, die het linker deel van de pijlketen voorstelt en minimaal een getal x . •_C.1. a→b = a^b = a*..1 :b •_C.2. X→1 = X •_C.3. X→1→z = X •_C.4. X→y1→z1 = X→(X→y→z1)→z == X→(..X..)→z :y: Zo drukt de oer pijlketen a→b→c Knuth's superexponenten a^{c}b uit. Neem Graham's getal, een hypermacht, die men uitdrukt door 64 aantallen van ^{k_i} superexponenten te nesten, die van binnenuit groeien. 3^{..4..}3 :4^3: = 3^{..3^^^^3..}3 :63: |Arit|3^^^^3 = 3^^^(3^^7625597484987)| Dit getal ligt boven 3→3→64→2 is 3→3→(..27..) :63: in pijlketen notatie, maar onder 2→3→65→2 , zoals je kunt nagaan... 'Conway''s pijlen → zijn als komma's , van een functie. In functie H , die David Hilbert in 1925 bedacht, loopt c twee sterren ^ achter in het begin, maar H toont al de dubbele recursie die 'Conway' verlengt over zijn hele keten. • H(a,b,1) = a+b = ab • H(a,1,c) = H(a) = a • H(a,b1,c1) = H(a,H(a,b,c1),c) == H(a,..(a)..,c) :b: Chris Bird heeft maar vier entries nodig, om even grote getallen te noteren als 'Conway' met zijn hele pijlketen. De definitie van Bird's lineaire arrays is verkort, omdat Bird's regel |Bird|•_B.1.5| onder regel |•_4| valt, indien :n=0 en met de gretige 'var' c>0 . Zou je beginnen om |{a,b}| als ab te laten optellen, dan is dat vrijwel even snel en heb je het hele systeem inderdaad beperkt tot vier regels. |•_B.1.1. {a} = a & {a,b} = a^b •_B.1.2. {X,1} = {X} •_B.1.3. {a,1,Z} = a •_B.1.4. {a,b1.,1..,c1Z} :n≥0 = {.a,..$,cZ} :n1 •• {a,b1,Y} => $ ≡ {a,b,Y} | Bird's vierde entry functioneert als de lengte van Conway's keten, omdat... - John H. 'Conway', Richard K. Guy, 1996, The Book of Numbers # 0. Alfa radix rij ... ... # 0. Groter ... ... $ 3. Bèta rij Karakteristiek voor beta functies is het opladen van een groeiende som vanuit de basis naar afgetelde hogere recursies. Ik zal bewijzen dat zo'n oplaadregel elke uitgebreide array functie maximaal maakt. In de basis a,b, bevatten arrays de constante a en de variabele som b≥0 . Wanneer plek b na afladen vacant a,, staat, laadt je door met a . Door ab samen te nemen, kan dit met één regel voor opladen. Verder bevat elke plek een positief geheel getal 1.. dat aftelt tot 1 in de recursie. Alle 'var' matchen gretig naar enen, zo pas je de regels toe. Definitie van functie β voor de evaluatie van de primaire rij. •_1.0. β(a) = a •_1.1. β(a,b) = β(ab) •_1.2. β(a, ,1) =` β(a, ) •_1.3. β(a,b,c1 ) `= β(a,ab,c ) •_1.4. β(a,b ,1,d1 ) `= β(a, ,ab,d ) Op de witruimte kunnen er binnen de expressie delen staan, die geen match vormen voor de regel en gelijk blijven na evaluatie. Bijvoorbeeld in regel `=_4 voor opladen kan in de ruimte links een reeks ,1.. voorkomen, maar niets anders, aangezien ,1,d1 de eerstvolgende match vormt en d>0 is vereist voor de evaluatie. In regels met `= verander je de expressie vanaf links, in regels met =` vanaf de rechter kant. Regels met = vervangen de hele expressie. Met == herhaal je eerder toegepaste regels. En ≡ betekent dat de substitutie direct is. De uitwerkingen laten de functie β() signatuur en regel =_0 achterwege. a,b =_1 ab |Arit|= a+b| a,b,c1 =_3. a,ab,c ==_3 a,.a..b,1 :c =_2 a,.a..b :c =_1 a..b :c1 |= a*c1+b| a,,c == |a*c| Na optellen en vermenigvuldigen komt machtsverheffen. a,b,c1,d2 =_3 a,|a*c+b|,1,d2 =_4 a,,|a*c1+b|,d1 = a,,|a*(a*c1+b)|,d == a,,|a**d*+a*c1+b|,1 = |a**d1*+a*c1+b| Dus in β(a,b,c,d) vermenigvuldig je een serie van d factoren a en een laatste factor c+b/a . Vul dit in voor een enkele macht. a,,1,d = |a**d| Tetratie als een toren van e+2 machten van a en een hoogste macht d+1 op rechts, waaraan factor c en som b nog slechts weinig toevoegen. a,b,c,d1,e2 = a,,1,|a**d*+a*c+b|,e1 = a,,1,|a**(a**d*+a*c+b)|,e == |a***e1**+a**d*+a*c+b| Zo wordt de rij van functie β omgezet naar een serie superster operaties, voorzien van uitgestelde popster operaties. a,b,c.,d_[i]1.. :k = |..a*{i1}d_i*{i}+|.|a*c+b| k: & |a*{i1}0*{i}+| ≡ 0 De afgetelde elementen ,1 vallen direct als 0 weg. Daaruit volgt de formule, die supermachten exact uitdrukt. β(a,.,1..,f1) :k>0 = |a*{k}f| Functie β telt elementen af tot 1 , en laadt ze later weer op met a+b . Dat is bijna gelijk aan een beta algoritme dat b op zou laden, maar dan met c+1 in plaats van c in de expressie. Schrijf je ook b+1 voor b , dan pakt dat al groter uit, terwijl de input op deze lage plekken insignificant is. Pinda's dus. Hetzelfde zie je in 'Bird''s extensie van de Ackermann functie. Het opladen met subfuncties bij 'Bird' oogt moeilijk, en draagt nauwelijks bij aan de grootte van zijn getallen. Significant is dat subtotalen b worden hergebruikt. De motor van 'Bird''s matrix functies is de dubbele recursie, overgenomen van de Ackermann functie. Dit gaat sneller van start dan primitief optellen ab , wat later wel gebeurt, op de bodem van de recursief geneste subfuncties. (a,b1,c1, ) = (a,(a,b,c1, ),c, ) De gesubstitueerde functie is maximaal, omdat alleen de basis variabele 1 minder is. Maar subfuncties kosten wel een paar haakjes, optellen is gratis. In dit hoofdstuk drukte onze Bèta functie over een rij met k+3 elementen de supermacht pijlen ↑{k} van Knuth uit. Met functie substitutie kan dat in drie elementen, de derde c=k , waarmee 'Bird' zijn lineaire array begint. De verdere elementen in 'Bird''s rij noteren veel grotere getallen. Hoe kun je die evenaren...? Stel een regel voor, die naar de lengte :k van Bèta rijen de som b oplaadt. Daarna zul je tweede rij de eerste rij van 'Bird' al inhalen...! - Chris 'Bird', 2012, Bird's Linear Array Notation # 6. Bèta dimensies &*PPexample;