Na de constructie van verschillende systemen voor het maken van grote getallen, nemen we een sprong naar de grotere getallen ψ psi. Deze zijn eindig, maar functioneren net als het oneindige ω omega, dat in theorie volgt op alle tellen.
Gegeven een systeem dat grote natuurlijke getallen uitdrukt. Laat psi ψ het hypothetische eerste getal zijn, dat significant groter is dan we met alle fysiek mogelijke middelen in dit systeem kunnen noteren.
Deze niet-standaard constante ψ geeft de ondergrens van de verzameling van alle getallen, die ons standaard systeem overstijgen. Het bestaan van zulke grotere natuurlijke getallen is zeker, omdat elk eindig systeem uit te breiden is met een nieuwe recursie. Maar daarmee zou de psi die geldt voor dat systeem weer een stuk hoger opschuiven.
Het is voor het vervolg voldoende, als een ondergrens element alleen benaderd kan worden door psi. Na de aanname van de functie successor ψ gebruiken we deze om er de output van ons standaard systeem mee op te waarderen. Door ψ als input te nemen voor een herhalende constante, drukken we expressies uit in het gebied van de “grotere bovennatuurlijke” getallen.
In het algemeen, als een systeem bepaalde output produceert, veronderstelt dit een supremum ψ van hetzelfde input / output type. Maar zolang ψ niet als input gegeven is, kan dit fysiek nooit in de output voorkomen.
In theorie construeren we het hele domein van de natuurlijke getallen 1.. door steeds 1 op te tellen bij een voorgaand getal, of door iteratie van de successor functie van Peano.
Snelle array functies doen aan turbo tellen, door met beperkte resolutie een klein aantal grote getallen te noteren. Die vormen zeldzame getaleilanden in de grote zee van onbekende natuurlijke getallen, die fysiek onmogelijk zijn te noteren.
Hoewel ook een array expressie van een groot getal vaak niet praktisch kan worden uitgewerkt (via recursies met diep geneste subexpressies) tot unair of decimaal getal, of in een ander relatief klein format.
Zo dekt elk standaard systeem slechts beperkte reeksen kenbare getallen zonder gaten. Die reeksen wordt langer, als we alle fysiek mogelijke systemen mogen combineren. Maar ook onze taal heeft grenzen, en al gauw liggen de meeste grote getallen tussenin.
Omdat er fysieke grenzen zijn, is het ook zeker dat er “grote bovennatuurlijke” getallen bestaan. Niet groter dan onze expressies, maar tussen fractals ervan verborgen, onder (of misschien rond) de virtuele waarde psi.
Elke constructieve notatie heeft een praktische limiet. Los van de beschikbare systemen kunnen we een absoluut getal psi ψ aannemen, dat eindig is en als eerste vlak boven de getallen horizon ligt. Net buiten bereik van het systeem waarmee Guinness ooit ons finale grote record getal zal noteren. Zoals een regenboog ergens de grond lijkt te raken, maar bij benadering verder weg ligt, buiten elk blikveld.
Stel dat omega ω = 1... oneindig tellen is, de onderste limiet voorbij alle natuurlijke getallen, waarvan het tellen immers stopt.
Of dat tellen langzaam met 1 of versneld en recursief gebeurt is daarbij niet van belang. Dit eerste oneindige is niet constructief te verantwoorden. Het ligt zowel boven het tellen van enen, als boven alle theoretisch mogelijke expressies in constructieve systemen voor grote en voor grotere getallen met psi.
Het bestaan van omega ω als telbaar oneindig getal is Cantor's axioma, een aanname vanuit een hogere set theorie.
Vanaf 0 geteld neemt met elk getal n de verzameling getallen 1 element toe, met n1 als zijn aantal. Daarom nam Cantor aan, dat het totale aantal van de natuurlijke getallen direct volgt op de hypothetische toevoeging van het allerlaatste element. En dat er voor deze omega geen kleiner oneindig getal te tellen en voor te stellen is.
Vanuit het constructieve perspectief bestaat er geen laatst geteld getal. Daar gaat het oneindige een stap te ver en omega buiten het boekje.
We kunnen dan wel een type successor ψ aannemen, die groter is dan alle getallen uit ons standaard systeem. Zoals we zagen valt zoiets altijd wel te construeren, met een hogere recursie in een vervolg systeem.
De constante ψ is groter, maar niet oneindig groter en er bestaan altijd grotere natuurlijke getallen. Psi pakt verder hetzelfde uit als Cantor's omega, zodat we dit vreemde axioma dat er een oneindig getal volgt na alle tellen, niet nodig hebben. Alle type indexeringen, recursie regels en stellingen, die voor de eerstvolgende eindige ψ psi gelden, kunnen precies zo worden toegepast op ω omega. En dat begint weer met een beetje rekenen.
Vanaf het supremum psi ψ aftellen of terugrekenen is niet bijster zinvol, maar vanuit hoger perspectief wel mogelijk. Terwijl er beneden Cantor's omega ω fundamenteel geen kleiner telbaar oneindig getal bestaat.
Maar optellen kan bij elk getal, bij de constante psi ψ1 en per definitie ω+1 ook na Cantor's omega. Hoewel psi met standaard getal ψn niet significant groter wordt en ook optellen tot ωn of ωψ ongeveer gelijk blijft aan omega.
Hier rekenen we oneindig door vanaf omega, en betreden wat genoemd wordt “Cantor's universum”. De drie punten ... staan voor herhaling zonder eind.
ω.1... = ωω ωω.1... = ωωω ω... = ω*ω ω*ω.+ω... = ω*ω*2 +ω*ω... = ω^3 +ω^n... = ω^n1 1.*ω... = ω^ω +ω^ω... = ω^ω1 ω^ω.*ω... = ω^ωω ω^.ω... = ω^ω^2 ω^(1.*ω...) = ω^^3
Tot aan de dubbele exponent is de vorming van omega machten door oneindige herhaling van eerdere operaties nog redelijk te volgen. We nemen aan dat ook de hogere operaties terug te brengen zijn op de voorafgaande.
Omdat psi ψ niet praktisch aftelbaar is en omega ω ook theoretisch niet, zijn de iteraties die grotere variabelen aangeven virtueel of onwerkelijk. De nieuwe expressies zijn pure structuren, die op Cantor-achtige wijze worden opgebouwd en alleen qua grootte kunnen worden vergeleken.
We construeren virtueel verder met grotere getallen, zonder nog te evalueren of uit te kunnen rekenen, in de ruimtelijke structuren van ons array systeem. Dat deden we bij gewone grote getallen al, maar nu kan het echt niet meer.
Verder tellen vanaf oneindig blijft ook bij hogere transfiniete recursies mogelijk. En zowel met psi en omega kunnen we op dezelfde manier verder rekenen in superoperaties of ook in array functies.
Het maakt niet uit of we a↑b1 gelijk stellen aan a^b1 of aan a*2^b bij de Conway-Knuth superpijlketens in deze herleidingen.
ω↑(..ω..) :ω: = ω↑↑ω1 ω↑{ω}(..1..) :ω: Knuth's oppijlen = ω↑{ω1}ω = ω→ω→ω1 ω↑{..1..}ω :ω: Graham's superiteratie = ω→ω→ω→2 X→(..1..)→ω :ω: = X→ω→ω1 ω→...ω = ω→↑ω1 Conway's pijlketen ω→↑{ω}...1 = ω→↑{ω1}ω
Zo kunnen de grotere getallen ψ of ω opnieuw als input functioneren voor elke grote getallen array. Vanuit optellen of substitutie van de constante a worden deze dan opgeladen naar afgetelde iteratoren die de hogere array constructen herhalen. Dat zal zeker groot worden, maar is het ook groter?
Laat onze eerste grotere psi ψ ontspringen uit de verste recursie van een array functie, bijvoorbeeld vanuit diep geneste Birdy arrays. Als we zoals hierboven die ψ vermeerderen in superpijlketens, hoe fraai dan ook, is dat ten aanzien van het oorspronkelijke array niveau nog lang niet significant.
En omdat omega een axioma hoger springt ω>>ψ dan de psi, die een virtuele sprong uit een fysisch maximaal systeem representeert, geldt dat zeker voor de oneindige getallen. Dus zelfs een superketen ω→{ω}ω voegt niet veel toe aan de oorsponkelijke oneindigheid ω van de natuurlijke getallen.
Zowel psi als omega kunnen door iteratie in standaard arrays niet echt “groter” worden. Significant groter worden getallen alleen, door een tweede type sprong te wagen voorbij ons systeem met recursie over de eerste sprong.
De eerst grotere ψ en ω worden met index als ψ1 of ω0 geschreven. Het volgende grotere getal psi ψ2 zou dan vlak boven elke met ψ1 toegeruste iteratie moeten liggen in ons standaard systeem.
De tweede type sprong is qua opzet vergelijkbaar met Cantor's aanname van het hogere oneindige ω1 dat het totale aantal geeft van de reële getallen. Dit zijn per definitie al die getallen, die met de ω0 natuurlijke getallen in alle recursieve functies construeerbaar zijn.
Maar omdat elke psi sprong binnen het natuurlijke getal domein plaats vindt, blijft hiervoor gelden dat ψ2<ω0 qua getal grootte.
Dezelfde structuren waarin we grote getallen uitdrukken, kunnen we gebruiken om type indexen voor grotere getallen ψ of hogere oneindigen ω te noteren. Array structuren zijn daar bij uitstek voor geschikt. Hier maken we die omslag.
We introduceerden de constante psi ψ die een groter getal aangeeft bij eindige systemen. Psi zou groter zijn dan we fysisch uit kunnen drukken in een expressie, of past een recursie extra toe boven ons eigen grote getallen systeem. Maar psi is fundamenteel een natuurlijk getal en is kleiner dan omega ω of ω0 oneindig. Dit successor getal ψ van de eerste systeem sprong kreeg als index ψ1 een.
Laten we nog eens analyseren wat er gebeurt als we ermee doorrekenen.
Tel verder van ψ1 tot ψ+n of in systeem S tot ψ+S(n,Z) wat sneller is. En ga nogmaals voorbij het systeem, zodat ψψ optelt.
Herhaal dit optellen van de systeem successor ψ.. wat psi vermenigvuldigt als ψ*n en stel daarboven ψ*ψ met psi sprong in de factor.
Omdat psi alleen kan worden afgeteld door buiten het standaard systeem te treden, is dit louter een vergelijkende notatie voor grotere getallen. Beschouw zulke operaties met psi als virtueel en niet meer reduceerbaar tot standaard getallen of zelfs maar een eenvoudiger aantal psi.
Door met ψ verder te rekenen als in het vorige hoofdstuk en in het algemeen door psi opnieuw in te zetten als constante S(ψ,Z) in een recursief systeem, drukken we meer van dit type grotere getallen uit. Tot de grens van onze array structuur bij benadering is bereikt, en de sprong naar het tweede type grotere getal ψ2 kan volgen.
Als we het gebruikte systeem uitbreiden met een nieuwe recursie, zouden we behalve ψ1 ook ψ2 kunnen herbepalen als standaard getal. Dan zal blijken dat de expressie er bij ψ2 niet veel groter uitziet dan bij ψ1 omdat ze als tweede parameter waarde 1 en 2 op de eerdere systeem structuur volgen.
Dit extrapolerend naar omega ω1 als de axiomatische sprong uit een maximaal uitgebreid recursief systeem over ω0 oneindig, dan zal de nieuwe index niet veel “oneindiger” zijn, hoe “reëel” ook de onderliggende verzameling.
Door de voorganger psi in het systeem te betrekken en daarover te springen worden alle successor psi gedefinieerd als grotere getallen. Elke ψn is een systeem sprong groter *> dan zijn voorganger.
Door het systeem uit te breiden kunnen we precieser maken, wat we daarmee bedoelen, maar zoiets kan niet bij axioma sprong ωn en is dus niet essentieel.
Elke nieuwe sprong is relatief aan de generieke array expressie a,Z met de structuur volledig in de expressie uitgewerkt. En daarin eerst een vrij maximaal getal m als constante en vervolgens de steeds grotere psi.
Sprong type indexen van psi ψn noteren we nu als eerste parameter ψ[n] binnen index array haakjes.
ψ[0] = 1 *> 0 ψ[1] = ψ *> m,Z ψ[2] *> ψ,Z ψ[n1] *> ψ[n],Z .ψ[i] *> (..m..),Z :n1:1
De oersprong ψ0 uit het niets naar 1 is natuurlijk essentieel.
In de laatste zin werd de vergelijkende indexering van psi sprongen in geneste vorm weergegeven, als leesoefening.
Ook als we een groter systeem Ψ postuleren dan we fysisch kunnen gebruiken. Zelfs als we een oneindig systeem Ω aannemen (met een oneindig alfabet van nestbare separator index haakjes), dan nog kunnen we daar bovenuit springen en virtueel verder rekenen.
Door te stellen, dat er een groter getal achter de horizon van Ψ(ψn,Z) ligt, of een hoger oneindige op Ω(ωn,Z) volgt. Dit nieuwe type sprong geeft gewoon ψn1 of ωn1 met de volgende index.
De sprong index waarde kan natuurlijk uitgedrukt worden met een grote getallen functie. Tot we ook deze maximaal m,Z hebben benut.
Jumpen we vrolijk verder naar “psi index psi”, de eerste grotere index ψψ die vanuit het voorafgaande logisch gegeven is. We namen immers al aan, dat op alle getallen van een notatie systeem de sprong naar ψ volgt.
Zo is door het axioma van oneindigheid ook logisch gegeven, dat op alle type oneindigen ωn een hoger oneindige ωω met oneindige index volgt.
Dit axiomatische construct ωω heet in set theorie het ontoegankelijk oneindige, of de eerste Mahlo kardinaal. Maar onze indexering is juist bedoeld om aan dat ratjetoe van namen in het hogere oneindige van de wiskundigen een einde te breien. Omdat we op systematische wijze vanuit omega verder bouwen: bij ons volgt elk nieuw limiet getal logisch uit de vorige.
Vanaf de natuurlijke getallen ω0 tellen set theoretici verder, van limiet naar limiet, langs Cantor's ordinalen, voorbij de verzameling ω1 van de construeerbare getallen, een lang verhaal. Zo lijkt het of ωω ver van omega ω verwijderd ligt.
Echter, vanuit het perspectief dat we psi herzien als een grote teller voor een nieuwe structuur in het daarmee uitgebreide systeem, is dat een kleine afstand. En van expressie ψ naar expressie ψψ scheelt dan maar een extra parameter.
Om met psi indexen recursief uit de voorgaande systeem expressie te springen, gebruiken we een enkele iterator rechts na die teller.
Bijvoorbeeld, uit een maximaal array systeem m,Z volgt de psi ψ sprong met a,Z;t die als een grote teller t is aangeplakt op het systeem. Tweede psi ψ2 is gegeven door a,Z;t,2 die (de systeem recursie over) de vorige psi oplaadt a,Z;ψ{r} naar de teller. Zo ook laadt in a,Z;t,1,2 de systeem recursieve som van de psi expressie van links op naar de index parameter ψψ bij psi.
Hoe groter de systemen en de ermee uitgedrukte getallen, hoe minder significant het verschil van deze extra parameter. Hoewel niet constructief maar transfiniet, zal de nabijheid van hogere oneindigen met het oneindig getelde ω nog sterker gelden. De vraag wordt eigenlijk of die afstand kan groeien en hoe dan..?
Ter illustratie, twee simpele voorbeelden van beperkte systemen met relatief kleine grote getallen en niet veel grotere psi's.
Een kind dat tot hooguit tot 10 kan tellen, wordt door zijn zus met psi is 100 overbluft. Vanaf ψ1 als input tellen ze samen verder tot 110 en dan ψ2 = 200 zegt zus. Na tien sprongen ψ10 = 1000 houdt haar broertje het niet meer bij, maar zus roept ψψ = 10000 een “myriade”, wat oud Grieks is voor ontelbaar.
Grote getallen maken begon in India met a = 100000 de “lakh” en een systeem dat dit een honderdtal keer kwadrateerde. Waarbij elk nieuw getal een eigen naam kreeg, tot het getal voor ontelbaar “asamkhyeya” was bereikt en ze tevreden hun chapatis konden eten.
Supremum boven deze oeroude recursie zou dus 10^(5*2^108) kunnen zijn. We stappen in de tijdmachine en om onze psi behapbaar te maken, leggen we het zo uit, dat we met een miljard 10^9 beginnen, een duizendtal kubussen vouwen en daar extra chutney bij doen.
Onze in alle opzichten grotere ψ wordt dan 10^(9*3^1008) en afgerond 10^3^2^10 ongeveer.
Kwadrateer opnieuw vanaf psi tot 10^(3^2^10*2^108) of herhaal kubussen tot 10^(3^2^10*3^1008) en top deze af tot ψ2 = 10^3^2^11 de volgend grotere.
Herhaal deze routine asamkhyeya keer tot psi 10^3^2^10^2^111 of ongeveer ψm = 25^^6 met maximale index.
Stel dan dat de kubieke routine 10^3^2^10^3^4^5 of ongeveer ψψ = 5^^7 voor deze tijdbewoners “onbereikbaar” is en ruil je recursieve psi sprong voor een samosa.
Ter vergelijk: een ander oneindig getal en een grotere tetratie in de Bloemslinger Soetra. Dat boek stamt uit het mahayana boeddhisme van eeuwen later.
Wat uit de twee voorbeelden duidelijk wordt: hoe groter het systeem, hoe minder het maximum getal ervan van ψψ verschilt.
Broertje telde tot 10 en zus haar myriade ψψ = 10^4 was een exponent hoger. Maar na het ontelbare getal 24→3→2 uit het oude India ziet ψψ = 5→7→2 in Conway's pijlketen er op het oog niet veel groter uit.
Ackermann bewees dat supermacht a↑{a}a niet meer primitief recursief is, en sneller groeit dan a↑{c}b met een enkele stijgende b of c variabele.
Zodoende geeft a→2→2→2 ofwel a→2→a↑2 een mogelijk supremum van de dubbel recursieve a→b→c functie, hoewel dit nog niet veel groter is.
Met enkele recursie a→b→c→2 over de keten krijgen we de getallen van Graham, die significant groter zijn. Met de hele vierde schakel a→b→c→d komt de psi ψ successor. Die keten is qua systeem recursie de volgend *> grotere, met zijn dubbele recursie over de supermachten heen.
Zo komt na de reeks elementaire operaties + * ^ de teller van hun operator type of recursie met *{c} en kan daar een psi sprong betekenen.
En voor menig wiskundeleraar die exponenten kent van machten, springt psi als de grotere superexponent van tetratie a^^b al ver genoeg.
In onze array functies volgt op de eerste rij parameters een tweede. Zo vormt zich het vlak, en daarna de derde dimensie in een multidimensionale array.
Nieuwe concepten zijn cyclisch. De dimensie index is ook eerste parameter van de geneste rij. Separator index rijen zijn arbitrair diep te nesten, wat “een” geheel maakt. Elkaar dieper nestende arrays volgen elkaar op in een diep type “getal”. En met een nieuwe separator ertussen kan de volgende ronde beginnen.
Toch ligt het telbaar oneindige altijd verder dan de grote getallen van eindige superarrays. Als we de psi index array van sprongen over het systeem aan het systeem toevoegen, dan volgt de index van ψn meteen op de teller van ψ psi. Hoe groter het systeem hoe insignificanter een parameter verschil.
Daaruit kunnen we concluderen dat het hoger oneindige ωω vrijwel samenvalt met omega ω als axiomatisch concept. En dat de reële getallen ω1 uit alle ω0 oneindige recursieve systemen, een niet veel grotere verzameling vormen dan de ω0 natuurlijke getallen.
Vanaf de tetratie wortel 2^^(1/2) via de superinversen p*{q}r*{s}-*t en met eindeloos geneste reeksen daarvan komen er steeds meer getallen bij. Hoe groter de mogelijkheden om reële getallen te maken, hoe dieper de onderverdeling van de getallenlijn. De paradox, die blijkt uit het verder tellen van omega indexen in een extra cel bovenop een oneindig systeem, is dat het natuurlijk en reëel oneindige elkaar in de diepte juist dichter naderen.
Maar wat als de preciese waarden van deze superreële expressies onvindbaar blijven? Dan spreiden ze zich diep onder de getallenzee van convergerende reeksen uit, verborgen als vissen in scholen. Wat is dan nog een getal?
We refereren verder niet aan het oneindige ω als we het psi teken ψ gebruiken om getallen uit te drukken die groter zijn dan hun systeem. We kunnen de psi index array uitbreiden tot dezelfde grootte als het systeem, en dan verder springen naar de volgende systeem cyclus.
Hierbij geldt steeds dat het in het hoger oneindige net zo gaat met ω index systemen ω[Ω] die oneindig uitgebreid zijn en met de cycli daarvan.
Gewone psi teken sprongen kunnen we kwijt in de extra structuur, waar we onze standaard index arrays mee uit kunnen breiden. De Psi array structuur Ψ is in theorie eindig, maar groter dan ons universum kan noteren. De indexering van de grootste sprongen daarover zullen we met nieuwe α tekens aangeven.
Een alfabet index array functie die “grootste” tekens introduceert, of analoog eraan hoogst oneindige.
α[0] = ψ *> m,Z α[1]ψ >> ψ[m,Z] ~ Ψ α[2]ψ >> α[1]ψ[Ψ] α[n1]ψ >> α[n]ψ[Ψ]
De alfabet tekens zijn links associatief, dus α[n]ψ[Ψ] betekent de fysiek bijna oneindige index array [Ψ] bij α[n]ψ het vorige grootste getal.
Een grotere index teller kan nu pas worden uitgedrukt, als we ook daarmee het getallen systeem voorbij springen.
Een maximale expressie m,Z is al een vaag begrip, het optellen van een klein getal 1 daarbij is ook in index context onbetekenend.
Het heeft weinig zin om de getallen ψψ zelf te vergelijken met of opnieuw in te voeren in het systeem. Enkel de psi index kan hier een groter getal aangeven.
ψ[ψ] ~> ψ[(m,Z)],Z <- ψ[(m,Z)+1] -> ψ[(m,Z)] > ψ[n]
Naast gewoon > groter dan en -> minimaal groter dan de expressie rechts, gebruiken we >> voor een serie van zulke groteren. Of een psi expressie is praktisch ongeveer ~> minimaal groter.
Ook < kleiner dan, herhaald << en met limiet <- of ongeveer limiet <~ kleiner.
Bij benadering ~ volgt een vrijwel gelijk getal of ook ≈ vrijere expressie.
Merk op dat equivalentie = een hele expressie in de reducerende evaluatie richting uitwerkt, dat is naar een getal zonder systeem structuur. Maar dat een regel ook even andersom =: in construerende richting kan worden toegepast.
In de tweede systeem ronde met index arrays ψ[X] werkt het psi teken ervoor als de constante a in de eerste ronde. Maar we substitueren een kopie ψ[] inclusief haakjes. Wat vroeger optellen ab was, is nu het nesten van de indexering of het omvatten ψ[b] van de begin variabele, wat het “omtellen” van psi heet.
ψ[0,1] = ψ[ψ[0]] = ψ[1] = ψ ψ[1,1] = ψ[ψ[1]] = ψ[ψ] = ψψ ψ[2,1] = ψ[ψ[2]] = ψ[ψ2] = ψψ2 ψ[b1,1] = ψ[ψ[b1]] -> ψ[(ψ[b],Z)] > ψ[ψ[b]+1] -> ψ[ψ[b]],Z ~ ψψb
De tweede index variabele telt de psi, om of boven de eerste.
ψ[0,2] = ψ[ψ[0],1] = ψ[1,1] = ψψ ψ[1,2] = ψ[ψ,1] = ψ[ψ[ψ]] = ψψψ -> ψ[ψ[(m,Z)]] > ψ[ψ[n1]] -> ψ[(ψ[n],Z)] > ψ[n,1]
Nu verloopt de constructie in het oneindige door Cantor zeer precies:
Tel getal ωωω+n dan index ω[ωω+n],X en dan ω[ω[ω+n],X],X diep, verder ω[ω[ω,X],X],X en schrijf de volgende ωωω2 omega index als ω[2,2].
In array systemen als de onze is het maximum nogal fuzzy, de psi grens hangt af van een nieuwe variabele binnen een (nog te ontwerpen) extensie. De bovenste stappen in Cantor's opbouw vallen dan vanzelf weg tegen die eronder; we halen er het maximum niet mee. De hoger oneindige Mahlo sprong kan alleen vanuit de diepste index worden gemaakt, maar voor elke index de constructie van boven naar beneden herhalen is niet erg zinvol. Als geschiedenis van alle geneste psi maar valide is, dit hele verhaal dus.
ψ[b1,2] = ψ[ψ[ψ[b1]]] =: ψ[ψ[b1,1]] ~> ψ[(ψ[(ψ[b],Z)],Z)],Z Cantor -> ψ[ψ[(ψ[b],Z)]] = ψ[(ψ[b],Z),1] > ψ[(ψ[b,1],Z)] ~ ψ[b,2],Z ~ ψψψb
De functie van de tweede index variabele c is het “veromvuldigen” van de eerste. Zoals vermenigvuldiging a*c een reeks a.. optelt, ontstaat hier na aftellen een trap van c1 psi indexen, met de eerste index variabele b op de begane grond.
ψ[b,c1] = ψ[ψ[b],c] == ψ[..b..] :c2:
Van al die index treden is de onderste ook de dominante. Er vlak boven de ψ om de minimaal grotere -> psi array in kwestie mee te vergelijken.
ψ[b1,cd1] = ψ[ψ[b1],cd] == ψ[..ψ[b1]..] :cd1: = ψ[..ψ[..b1..]..] :d1: :c1: = ψ[..ψ[b1,c]..] :d1: = ψ[ψ[b1,c],d] = ψ[ψ[b1,cd]] ~> ψ[(..b..)],Z :cd2: Cantor -> ψ[..(ψ[b],Z)..] :cd1: = ψ[(ψ[b],Z),cd] > ψ[..(ψ[b,1],Z)..] :cd: ~>> ψ[..(ψ[b,c],Z)..] :d1: = ψ[(ψ[b,c],Z),d] ~>> ψ[(ψ[b,cd],Z)] ~ ψ[b,cd1],Z ~ ψ[b,cd1]
In elke opvolger definitie kan de diepst geneste ψ[b1] vergeleken worden -> met een maximale subexpressie ψ[b],Z op dat niveau. De psi met index ψb domineert daarin en systeem structuur Z speelt een ondergeschikte rol.
Gelukkig hoeft de introductie van eerdere psi functie maxima niet helemaal op het diepst geneste niveau plaats te vinden en kunnen we dit, na aftel van de tweede, in de eerste index variabele aangeven.
Met indexen b>0 en c>0 geldt dit voor alle psi index arrays.
Door psi expressie substitutie ψ[b1,1X] = ψ[ψ[b,1X],X] zou de index functie veel sneller kunnen groeien, meteen al dubbel recursief zoals bij supermachten. Maar we hebben geen haast, elementaire psi index substitutie is genoeg. Onze oplaadregel zal het algoritmische verschil weer inhalen op de tweede index rij, waar we met de eerste variabele de rij ervoor “opmeten”.
ψ[1,1,1] = ψ[ψ,0,1] = ψ[1,ψ] = ψ[..ψ..] :ψ: ~> ψ[ψ,(m,Z)] ψ[1,2,1] = ψ[ψ,1,1] = ψ[ψψ,0,1] = ψ[1,ψψ] = ψ[..ψ..] :ψψ: -> ψ[(m,Z),1,1]
Psi als bovengrens is niet aftelbaar, alleen de natuurlijke getallen waarmee we rekenen zijn dat, dus als we een iterator verder op de index rij met ψ opladen, moeten we deze eerst -> vergelijken met m,Z voor die iteratie op gang komt.
Ook voor het opladen kunnen we dat in de eerste index aangeven.
ψ[0,0,2X] = ψ[1,0,1X] = ψ[1,1,X] = ψ[ψ,0,X] -> ψ[(m,Z),0,X] ψ[b1,0,1X] = ψ[1,b1,X] = ψ[ψ,b,X] -> ψ[(m,Z),b,X]
Omdat natuurlijk getallen bestaan uit louter enen 1.. zijn de afgetelde index variabelen ,0 in feite leeg, zonder nul teken.
ψ[,,,2X] = ψ[1,,,1X] = ψ[1,,1,X] = ψ[1,1,,X] = ψ[ψ,,,X] -> ψ[(m,Z),,,X] ψ[b2,,,1X] = ψ[1,,b2,X] = ψ[ψ,,b1,X] -> ψ[(m,Z),,b1,X] ~ ψ[ψ,(m,Z),b,X]
Evaluatie van de eerste rij van psi indexen werkt met deze ene oplaadregel. Waarbij k>0 dus er is links tenminste een lege ,c variabele op te laden.
Ook in geval b=0 lukt het om zo tot een vergelijk -> te komen en een aftelbare hoogste iteratie.
ψ[,{k>1}1X] = ψ[1,{k}X] ψ[1,{k1}1X] = ψ[1,{k}1,X] == ψ[1,1,{k}X] = ψ[ψ,{k1}X] -> ψ[(m,Z),{k1}X] ψ[b2,{k1}1X] = ψ[1,{k}b2,X] == ψ[ψ,{k}b1,X] ≈ ψ[.ψ,..b,X] :k
Zo hebben we met een paar regels een hele rij van psi index variabelen in kaart gebracht. Het doet er niet zoveel toe, wat die regels precies zijn. We zouden onze twee systemen, die voor gewone getallen en die voor psi indexen, aan elkaar kunnen aanpassen, zodat hun iteratie tellers precies gelijk lopen.
Belangrijk is dat we hier, met primitief nesten van de index en recursief opladen van variabelen vanuit de oorsprong, door de eerste rij lengte k te variëren, in zijn geheel een dubbele recursie over die indexering uitdrukken.
In elke nieuwe dimensie of verdere uitbreiding van ons systeem reserveren we de eerste cel voor de expansie van de voorliggende structuur. Het variabele getal daarin noemen we de “meter”. De eerste variabele op de tweede rij “meet” als het ware de lengte op van de eerste rij, met daarin de ondergeschikte variabelen of “parameters”. De oude dimensie kan hetzij een aantal plaatsen met separatoren voor parameters erbij krijgen, hetzij over de volle lengte worden vernieuwd.
Rijen scheiden we met een separator met index ,[2] en de meter herschrijft de rij ervoor met een aantal komma's , zonder index.
,[0] = ,[] = 0 ,[1] = ,
Dat kunnen extra parameters zijn of een vervangend aantal. Dat kan direct voor de hele rij of stapsgewijs of druppelsgewijs.
Zo hevelen we een meter op de tweede rij druppelsgewijs over naar de lengte op de eerste rij, waarbij de hoogst geplaatste index ,bi langzaam opschuift en de waarde ervan telkens toeneemt.
ψ[b,{k},[2]n1] = ψ[1,{k},b,[2]n] == ψ[bn,{kn},[2]1] = ψ[1,{kn1}bn]
Het valt te bewijzen dat de toename in druppels van b0 naar bn in het grotere geheel insignificant blijft ten opzichte van de extra lengte n1 uit de meter.
Bij een definitie in stappen kan tijdelijk een extra teken $ nodig zijn. Welke regels we dan en dan toepassen volgt uit de expressie context rond de eerstvolgende aftelbare variabele.
ψ[b,{k1},[2]n1,X] = ψ[b,{k1}$,[2]n1,X] $ intro = ψ[b,{k}$,[2]n1,X] sep elim == ψ[b$,[2]n1,X] = ψ[b,[2]$n1,X] $ move = ψ[b,[1],[2]$n,X] sep intro = ψ[b,,[2]$n,X] array elim == ψ[b,{n},[2]$1,X] = ψ[1,{n}b,[2]$,X] b move = ψ[1,{n}b,[2],X] $ elim
Onze tussenregel voor “separator eliminatie” om lege cellen aan het einde van de rij op te ruimen ,,[2] = ,[2] kan ook eerder worden ingezet, zodra elke iteratie rechts is afgeteld. Rekenkundig paste dit mooi bij arrays voor getallen, maar qua grootte veranderde dat al weinig aan het resultaat. En nu, als psi met acccumulatie van indexen vanuit b op is geladen naar de rij meter n wordt de voorliggende lengte in de index array volkomen insignificant.
We kunnen dit principe, om de kleinere ondergeschikte ruimtes leeg te tellen, en gelijke of grotere ruimtes of bovengeschikte variabelen te bewaren, nou wel bij alle mogelijke separatoren willen doorvoeren, maar het bepalen van de relatieve separator array grootte wordt almaar moeizamer. Zie bij Bird, hoe hij dit rigoreus tracht vol te houden: bij geneste arrays en zijn voorbij en verder.
Regels om afgetelde meters ,[R],[S] = ,[S] te verwijderen mits die aan de vergelijking R<S voldoen, zijn voor een groeiende structuur veel te complex en dragen niets bij. We zien daarom maar af van separator eliminatie, en ook van de tijdelijke tekens $ die een stapsgewijze uitbreiding van de ruimte mogelijk maken. Elke nieuwe lengte voegen we meteen toe aan de bestaande.
De regel voor “opladen”, die direct op de hele rij of voorliggende ruimte uitwerkt. Scan de expressie van links naar rechts `= tot de eerste aftelbare variabele gevonden is.
Elke variabele is “gretig”, dus hier stelt n een heel getal voor, dat meteen tot 0 reduceert en even zoveel mindere separatoren in de ruimte ervoor aanlegt.
Merk op dat de eerste aftelbare variabele van links ook een index kan zijn in een geneste separator array. En ook dat na aanvang elke b een getal psi voorstelt, dat niet wezenlijk van b- te onderscheiden is.
We kunnen de tussenzetten voor psi per vergelijking -> gevoegelijk overslaan en ons richten op de structuur, die tenslotte dominant is.
Definieer de verschillende ruimtes binnen de psi array met separator indexen.
Rijen variabelen ,ni.. met separatoren ,[2] ertussen vormen een vlak. Een aantal vlakken gescheiden door komma ,[3] vormt de derde dimensie. Ruimtes met separator indexen ,[p] vormen een p-dimensionale array.
Na de multidimensionale volgen de hyperdimensionale arrays, waar bij de komma ,[p0.,pi..] een hele rij van indexen hoort. En zo nesten we separator array ,[T] in separator array, op dezelfde manier bij deze psi functies als in de definitie van grote getallen.
Met de directe oplaadregel hierboven evalueert elke geneste arrayruimte uiteindelijk tot een hogere psi.
Eigenlijk is alleen de definitie van hogere overgangen nog interessant in de expansie van deze structuur. Voor aftelbare variabelen blijven op elk niveau dezelfde oplaadregels gelden, van links naar rechts.
ψ[0, 1n `= ψ[1, n ψ[b, ,1 `= ψ[1, b,
Gegeven een psi index functie met beginwaarde b>0 zal de lege structuur links van de eerst gescande aftelbare variabele opnieuw worden opgeladen. Zo geven de verschillende oplaadregels voor hogere meters uitdrukking aan de expansie van dimensies, nestdiepte, haakjesparen, etcetera. En geeft de structuur zelf een ordening aan van systemisch grotere index getallen psi.
Terug naar onze druppelsgewijze methode, waar het opladen van gewone parameters onder dezelfde definitie blijkt te vallen als de hogere meters binnen geneste arrays.
Omdat we het zo hebben geregeld dat ,[0] wegvalt, volgt uit T=0 in de formule het simpele opladen van variabelen als c=0 tot c=b op de eerste rij. Waarna het omtellen van psi indexen b tot ψ[b] weer kan beginnen.
Omdat dit qua definitie het meest economisch is, lijkt onze methode van het bijdruppelen van cellen en dimensies en hypergeneste separatoren de beste.
Waar het om gaat is, dat index array functies zoals die voor psi, dezelfde structuur en regels voor het reduceren of evalueren van elementen van die structuur kunnen hebben als natuurlijke grote getallen functies. Naar keuze.
Onze systemen voor grote natuurlijke getallen expandeerden de structuur van geneste separator arrays ,[X] door deze na elkaar ,.[Xi].. te plaatsen. Daarbij kwam de regel dat de nestdiepte van een array links wordt vergroot door de meter in het begin van de spade array rechts ervan af te tellen. Onze scanner zoekt namelijk steeds de eerste aftelbare variabele vanaf links en er komt een moment dat een array leeg geteld is, al dan niet ontdaan van zijn skelet van lege nesten en holle dimensies. We noemen een opeenvolgende verdiepende array reeks “spades”.
Binnen onze psi arrays kunnen we de separator index arrays op dezelfde wijze stapelen, als spades met dezelfde evaluatie regels. En tussen die spades komt dan weer de ; operator separator, die vanuit de spades rechts array na array toevoegt aan de reeks links. Verder kunnen we elk nieuw structuur element volgens dezelfde regels in psi arrays uitwerken, als in de getalsystemen waar psi ψ oorspronkelijk de bovengrens van is. Zie aldaar, de structuren en algoritmes om ook psi index arrays maximaal te expanderen.
Nu gaan we de psi index arrays ook in reeksen schrijven. Maar de regel voor de overgang in deze opeenvolging moet wel anders uitwerken. Anders zouden we enkel een nestlaag met spades toevoegen aan de array, wat bij deze maximale systeem expansie niet veel opschiet. We kunnen beter overgaan naar de volgende systeem ronde van psi sprongen.
Noteer in de psi index array Y als maximale structuur, zoals Z dat bij gewone functies was. Hier voegt ψ[Y],Z niets meer toe aan ψ[Y] en ook een extra variabele op de eerste rij ψ[ψ,Y] breidt de structuur Y niet echt uit.
Alleen door over de hele psi index array heen te springen, zoals psi over al onze grote getallen sprong, krijgen we nog grotere psi of ook oneindigere omega.
ψ[0][1] = ψ[1] = ψ ψ[1][1] -> ψ[ψ,Y] ψ[b1][1] -> ψ[ψ[b][1],Y] ->> ψ[..ψ..,Y] :b1: ψ[ψ][1] -> ψ[ψ[(m,Z)][1],Y]
De eerste index wordt in deze context weer als bovengrens gedefinieerd. Met de vergelijking -> verklaren we dat geen enkele standaard psi index array groot genoeg is om met de voorganger psi daarin de volgende psi uit te drukken.
Na deze vergelijkende sprongen gaan we opnieuw over tot de expansie van het index array gedeelte. Het lijkt of we eigenlijk niet verder komen zo.
ψ[0,1][1] = ψ[1][1] ψ[1,1][1] = ψ[ψ[1][1]][1] ψ[b1,1][1] = ψ[ψ[b,1][1]][1] == ψ[..1..][1] :b2:
Dit algoritme is dubbel recursief en meteen al maximaal, omdat we de hele expressie in b substitueren, terwijl deze minimaal is afgeteld.
ψ[0,c1][1] = ψ[1,c][1] ψ[b1,c1][1] = ψ[ψ[b,c1][1],c][1] == ψ[..1..,c][1] :b2:
Opladen van subtotaal b naar lege variabelen rechts in de index array werkt weer als voorheen. Expansie van structuren idem dito.
Dan komen we weer uit bij de volgende vergelijkende sprongen over de maximale index array. En in het algemeen dus ook:
ψ[0][1W] = ψ[1][W] ψ[1][1W] -> ψ[ψ,Y][W] ψ[2][1W] -> ψ[ψ[1][1W],Y][W] ψ[b1][1W] -> ψ[ψ[b][1W],Y][W] ->> ψ[..ψ..,Y][W] :b1:
Waar de constante b uit de oorsprong van de psi index array ook zal overladen naar afgetelde variabelen in de tweede psi array W en de volgende psi spade arrays. Alsmede naar het vervolg apparaat van psi array separator operatoren, die hun eigen index arrays weer met zich meebrengen, enz.
ψ[b1,1V][W] = ψ[ψ[b,1V][W],V][W] == ψ[..1..,V][W] :b2:
Deze [W] spades kunnen dus een reeks [Wi].. psi arrays omvatten en alle verdere poespas die het systeem expandeert. De regels voor herhaling van psi spades werken weer hetzelfde als voor de herhaling van separator spades.
Alleen de definitie van psi ψ[b][W] expressies, waar de index enkel de constante b bevat, werkt via -> vergelijking met de voorganger expressie.
Zo komen we uit op een systeem van psi sprongen dat in zijn geheel de tweede ronde van het systeem vormt. De volgende rondes zullen wel hetzelfde gaan.
| Wiskundige symbolen | |
|---|---|
| = | gelijke gehele expressies |
| ≡ | substitueer overal in de expressie |
| == | herhaalde evaluatie |
| := | gelijk, buiten de regels om |
| =: | gelijk, evalueer andersom |
| `= | eerste evaluatie(s) vanaf links |
| =` | eerste evaluatie vanaf rechts |
| =? | evalueer na de andere regels |
| ~ | bijna gelijk, maar niet exact |
| ≈ | ongeveer gelijk of gelijk |
| ≠ | zeker niet gelijk |
| < | significant kleiner |
| > | significant groter |
| <- | minimaal kleiner |
| -> | minimaal groter |
| <~ | bijna zo groot |
| ~> | iets groter |
| *> | systeem recursief groter |
| >> | van hogere orde |
| ψ | eerstvolgend groter getal psi |
| ω | het kleinste oneindige omega |
| & | en daarbij |
| :k | herhaalt de selectie T.. |
| v! | groot getal met deze variabele |