Boek 1:
_
Grote natuurlijke getallen
Boek 2:
_
Bovennatuurlijke getallen ψ
Gegeven een systeem dat natuurlijke grote getallen uitdrukt, laat psi ψ het kleinste getal zijn dat groter is dan elke mogelijke expressie. Deze bovengrens ψ kan vervolgens als input dienen voor het ermee opgewaardeerde systeem en nog grotere getallen aangeven.
In het algemeen: produceert een systeem een bepaald type output, dan is ψ ook van dit type, maar kan geen output zijn, zolang ψ niet als input gegeven is.
In theorie kunnen we alle natuurlijke getallen 1.. vormen door steeds 1 op te tellen, of sneller ook door recursieve functies over deze getallen. Stel dan dat psi ψ = ω het natuurlijke oneindige is, de onderste limiet voorbij tellen dat ooit stopt.
Maar dat er een getal ω bestaat, dat het totale aantal van de natuurlijke getallen uitdrukt, is constructief niet te verantwoorden. De omega ω van de wiskunde is een axioma, een aanname van de verzamelingenleer.
Als dit ons te ver gaat, neem dan aan dat ψ een minimaal groter getal is dan we kunnen maken met ons standaard systeem. Zo'n psi ψ ligt vlak over de horizon, zoals een regenboog die ergens de grond moet raken, maar bij benadering toch verder weg ligt, buiten de getallen binnen ons blikveld. Omdat elke notatie praktisch beperkt is, bijvoorbeeld door de fysieke grenzen voor getal en functie expressie lengte die gelden in ons heelal.
Deze bovengrenzen aftellen of terugrekenen is onmogelijk of anders wel zinloos. We kunnen ψ of ψ1 weer input maken van ons systeem, zoals de constante a of een herhaalbaar item dat aanvankelijk was. Maar omdat psi ψ niet praktisch aftelbaar is, en omega ω zelfs theoretisch niet, zullen onze grotere variabelen functioneren als virtuele iteraties. Het recursief systeem neemt dan de rol aan van een structuur notatie, waarin expressies op Cantor's wijze kunnen worden opgebouwd en qua grootte worden vergeleken.
Zo bouwen we =: virtueel verder, zonder alles nog := uit te kunnen rekenen, tot aan het psi maximum van ons systeem. En nemen daar de volgende sprong, naar een nieuw groter getal ψ2 psi.
Dezelfde structuren waarin we grote getallen uitdrukken, kunnen we gebruiken als systeem om grotere psi ψ indexen te noteren. Onze arrays en Bird's zijn daar bij uitstek voor geschikt. In dit hoofdstuk zullen we die vertaalslag maken.
In $0. introduceerden we het getal psi ψ, dat een virtuele bovengrens aangeeft voor ieder eindig systeem. En dat naar keuze, ofwel groter is dan fysisch uit te drukken in de gebruikte arrays voor grote getallen, ofwel gelijk aan omega ω oneindig. We schreven dit eerste grotere getal ψ met de index ψ1 een.
Opnieuw tellen van ψ1 tot ψn en virtueel voorbij het maximum systeem getal, is als optellen ψψ van psi. En herhaald psi optellen ψ.. is vermenigvuldigen ψ*ψ met een virtueel aantal psi. Omdat psi maar moeilijk of niet kan worden afgeteld, is dit slechts een notatie voor grotere getallen. De operaties en functies zelf zijn niet langer stapsgewijs reduceerbaar tot een eenvoudiger aantal psi.
Door ψ opnieuw in te zetten als systeem constante a = ψ kunnen we meer grotere getallen uitdrukken. In de evaluatie van array systemen verhuist die a (door substitutie in y bijvoorbeeld) weer naar hogere iteratoren.
Ga zo verder met ψ.→ni.. in allerlei expanderende array systemen. Tot de grens van onze definitie met de maximale getallen structuur ψ,Z is bereikt.
Zelfs als we een groter systeem Ψ veronderstellen dan we zelf gebruiken. Zelfs als we aannemen dat er een wiskundig systeem Ψ = Ω bestaat (met een ω oneindig alfabet misschien van nestbare dimensie separator index haken). Dan nog komt er een punt, waarop we enkel verder komen door te stellen, dat er een groter getal achter onze ψ,Z horizon ligt. Dit nog grotere getal zullen we ψ2 noemen, psi index 2.
Deze bovengrens kan ook ψ2 = ω1 het oneindigere zijn. Per definitie is ω1 in de wiskunde het ontelbare, dat volgt op alle telbaar oneindige verzamelingen, die via rekenen of recursie afgeleid kunnen worden van de ω0 natuurlijke getallen.
Koppel dit terug naar ons array systeem door a = ψ2 te substitueren voor het nieuwe maximale getal ψ2,Z en per vergelijking ψ3 het volgende grotere.
En zo, door de voorganger in het systeem te betrekken en dat te overtroeven worden alle ψn gedefinieerd, de psi index n, de grotere getallen met natuurlijke indexen. Zolang als we tellers kunnen noteren met ψa,Z en er een index maximum is bereikt, aan de laatste horizon van alle telbare horizonten.
Jumpen we vrolijk verder met “psi index psi”, het eerste grotere getal ψψ volgend op onze maximum index.
Neem aan dat, ongeacht de plaats in de expressie, elk teken ψ zeker groter is dan met maximale getallen m in maximale array structuren m,Z uitgedrukt kan worden. En ook dat, met God's hulp, psi ψ oneindig is, zodat in het hogere oneindige ωω die index op zich ω oneindig is.
Dit construct ωω wordt in de set theorie het ontoegankelijk oneindige genoemd, of de eerste Mahlo kardinaal. Nu is onze indexering juist bedoeld om aan dat ratjetoe van namen in het hoger oneindige een einde te maken. Omdat we op systematische wijze vanuit het omega axioma verder bouwen: bij ons volgt elk nieuw limiet axioma systematisch uit een eerder.
Vanaf het oneindige tellen wiskundigen verder, van limiet tot limiet, een parade langs Cantor's ordinalen, met voorbij hun verzameling de volgende index. Een steeds langere tocht, en zo lijkt het of ωω erg ver van omega ω verwijderd ligt.
Echter, vanuit omgekeerd systeem perspectief is dit maar een klein eindje. Om dit verfrissend vergezicht in te leiden, enige voorbeelden van beperkte systemen, hun bescheiden maximale getallen en de nog niet zo veel grotere psi's.
Een kind dat tot hooguit tot 10 kan tellen, wordt door zus met psi 100 overbluft. Met die ψ1 als input tellen ze samen verder tot 110 en dan ψ2 = 200 zegt zus. Na tien keer tellen ψ10 = 1000 houdt broertje het niet meer bij, maar zus roept nog na ψψ = 10000 een “myriade”, wat oud Grieks is voor ontelbaar.
Grote getallen maken begon in het oude India met a = 100000 de “lakh”. Hun systeem was om een honderdtal keer het kwadraat te nemen. Daarbij kreeg elk nieuw groot getal een veelzeggende naam, tot “asamkhyeya” of ontelbaar was bereikt en ze chapati konden gaan eten.
Dit Indiase systeem maximum is 10^(5*2^108) ongeveer. Stappen we in de tijdmachine en om de bovengrens psi behapbaar te maken, leg het zo uit dat we met een miljard 10^9 beginnen, een duizendtal kubussen uitvouwen en daar gratis wat extra chutney bij doen.
Dat is 10^(9*3^1008) en is psi ψ = 10^3^2^10 zeker een groter getal.
Herhaal het systeem opnieuw met psi en rond 10^(9*(3^1021)^2) af op ψ2 = 10^3^2^11 de volgend grotere.
Doe dit asamkhyeya keer opnieuw en rond 10^3^2^10^2^111 verder af tot een psi ψm = 25^^6 met maximale index.
Stel dan dat ψψ = 5^^7 > 10^3^2^10^3^4^5 voor hen “onbereikbaar” is en ruil deze getalsnaam voor een samosa.
Ter vergelijk: iteratie tot Asamkhyeya en verder in de Bloemslinger Soetra van de mahayana boeddhisten is groter en van later datum.
Onze Amerikaanse computer (made in China) draait een 64 bit systeem en de harddrive heeft 8 Terabyte over. We reizen naar de toekomst (alle Menschen werden Brüder) en zetten deze vol met 2^40 adressen naar vrijwel oneindige variabelen in de Zion cloud, geschikt voor alle lineaire arrays, elke 4 byte een uniek adres voor een variabele op rij.
Voeg een nieuw adres toe voor een laatste variabele en schrijf daar het getal 2 naar toe (of 1 als dit itereert). Dan drukt de nieuwe rij de bovengrens ψ psi uit.
Nemen we a = ψ als input, dan is het uitgedrukte getal niet groter, dan wanneer we als laatste 3 hadden toegevoegd, wat dus ψ2 definieert.
Gezien de functie van lineaire arrays zal het substitueren van n2 in de laatste variabele op rij a,X,n2 altijd een groter getal ψn1 geven dan de voorgaande expressie ψn,X of zelfs ψn,X,n1 van die rij.
Om een bovengrens aan te geven voor alle eerdere rij expressies ψn,X of ψn,X,n of ook a,X,ψn kunnen we met ψψ = a,X,1,2 een variabele cel ,2 toevoegen (of ,1 als dit itereert).
Hoewel dat qua getalruimte nog verspilling is (psi index psi kan kleiner in zulke arrays), neemt dit qua adres ruimte in ons geheugen luttele bytes in.
Wat deze drie voorbeelden duidelijk maken is: hoe groter de maximalen van het systeem, hoe minder de psi en psi psi daarvan van elkaar lijken te verschillen.
Voeg een variabele toe aan het begin van Conway's pijlketen en het lijkt nog wat, want na tellen tot 10 ligt ψψ = 10→4 best verder.
Vertaald naar pijlketens ziet het Indiase maximum 24→3→2 er al niet gek veel kleiner uit dan onze ruime bovengrens ψψ = 5→7→2 daarbij.
En als we in Zion de pijlketen a.→xi.. met lengte :2^40 kunnen evalueren, dan zijn die extra 2 pijlen voor ψψ vrijwel insignificant.
Alle eindigende array functies werken qua bovengrens ψ tot ψm tot sprong ψψ zoals op de eerste rij. Zowel psi ψ als index psi ψψ vergroten we met met een iterator ,1 of ,2 aan het uiteinde van de array. Bouwend aan dimensionale en geneste arrays en zo verder, wordt het onderscheid van één variabele tussen de grotere psi ψ en de onbereikbare psi ψψ steeds verwaarloosbaarder.
En oneindig ligt veel verder dan de grote getallen van deze eindige superarrays, daarom moet de hoger oneindige ωω vrijwel samenvallen met ω omega.
Toch is dit nog beperkt gedacht en mist de essentie van het oneindige. Dezelfde analogie van ψ naar ω zou ook moeten gelden in een onbeperkt array systeem, waar de hoogste structuur in de definitie vanzelf een arbitraire maat heeft. Dan moeten we de systeem structuur dus uitbreiden of een nieuw concept toevoegen aan de bestaande definitie, voor hogere iteratie de grotere psi ψ kan bereiken.
Op de lineaire array van arbitraire lengte (wel bekend als functie met vararg), volgt hogerop de tweede rij in het vlak, al dan niet als tweede dimensie van een multidimensionale array.
Nieuwe concepten zijn cyclisch, zo zullen de elkaar dieper nestende separator arrays in nog hogere systemen fungeren als een variabel aantal units; als de enen van een volgende cyclus.
Maar steeds blijft dit verre perspectief geldig: hoe groter ons getallen systeem, hoe dichter ψ bij ψψ ligt. En in het verlengde daarvan, te zien vanaf het einde, dat het altijd weer grotere ω steeds dichter bij ωω komt te liggen.
Zodat de ω1 reële getallen (rekenkundig gedefinieerd immers met systemen), een niet veel grotere verzameling vormen dan de ω natuurlijke getallen.
Hoe dieper de onderverdelingen van de getallenlijn hoe dichter beide oneindigen naderen, tot een geheel. Nieuw is 2^^(1/2) en dan met p*{q}r*{s}-*t systematisch verder. Ook al blijven de decimalen van de nieuwe reële getallen verborgen, ze spreiden zich ver onder de gewone uit als vissen in scholen.
Niettemin hoeven we verder niet te refereren aan ω terwijl we over ψ verder bomen, en de psi indexering uitbreiden in dezelfde array structuur als van het systeem dat die psi's overtreffen. In de “tweede ronde” van het systeem.
In de voorbeelden werden nieuwe psi gedefinieerd als -> minimaal groter getal, relatief aan ons array systeem a,Z met daarin eerst een maximaal getal m en vervolgens de steeds grotere psi getallen als som constante.
Indexen bij psi ψb noteren we vanaf nu als ψ[b] variabele in haakjes.
ψ[0] = 1 -> 0 ψ[1] = ψ -> m,Z ψ[2] -> ψ,Z ψ[b1] -> ψ[b],Z ->> (..m..),Z :b1:
We stellen psi vanaf ψ1 -> m,Z en index nul ψ0,Z is een vreemde n eend.
Een grotere index teller kan nu pas worden uitgedrukt, als we ook daarmee ons getallen systeem voorbij springen.
Een maximale expressie m,Z is al een vaag begrip, het optellen van een klein getal 1 daarbij is ook in index context onbetekenend.
Het heeft weinig zin om de getallen ψψ zelf te vergelijken met of opnieuw in te voeren in het systeem. Enkel de psi index kan hier een groter getal aangeven.
ψ[ψ] ~> ψ[(m,Z)],Z <- ψ[(m,Z)+1] -> ψ[(m,Z)] > ψ[n]
Naast gewoon > groter dan en -> minimaal groter dan de expressie rechts, gebruiken we >> voor een serie van zulke groteren. Of een psi expressie is praktisch ongeveer ~> minimaal groter.
Ook < kleiner dan, herhaald << en met limiet <- of ongeveer limiet <~ kleiner.
Bij benadering ~ volgt een vrijwel gelijk getal of ook ≈ vrijere expressie.
Merk op dat equivalentie = een expressie in de reducerende evaluatie richting := uitwerkt, dat is naar een getal zonder systeem structuur. Maar dat een regel ook even andersom =: in construerende richting kan worden toegepast.
In de tweede systeem ronde met index arrays ψ[X] werkt het psi teken ervoor als de constante a in de eerste ronde. Maar we substitueren een kopie ψ[] inclusief haakjes. Wat vroeger optellen ab was, is nu het nesten van de indexering of het omvatten ψ[b] van de begin variabele, wat het “omtellen” van psi heet.
ψ[0,1] = ψ[ψ[0]] = ψ[1] = ψ ψ[1,1] = ψ[ψ[1]] = ψ[ψ] = ψψ ψ[2,1] = ψ[ψ[2]] = ψ[ψ2] = ψψ2 ψ[b1,1] = ψ[ψ[b1]] -> ψ[(ψ[b],Z)] > ψ[ψ[b]+1] -> ψ[ψ[b]],Z ~ ψψb
De tweede index variabele telt de psi, om of boven de eerste.
ψ[0,2] = ψ[ψ[0],1] = ψ[1,1] = ψψ ψ[1,2] = ψ[ψ,1] = ψ[ψ[ψ]] = ψψψ -> ψ[ψ[(m,Z)]] > ψ[ψ[n1]] -> ψ[(ψ[n],Z)] > ψ[n,1]
Nu verloopt de constructie in het oneindige door Cantor zeer precies:
Tel getal ωωω+n dan index ω[ωω+n],X en dan ω[ω[ω+n],X],X diep, verder ω[ω[ω,X],X],X en schrijf de volgende ωωω2 omega index als ω[2,2].
In array systemen als de onze is het maximum nogal fuzzy, de psi grens hangt af van een nieuwe variabele binnen een (nog te ontwerpen) extensie. De bovenste stappen in Cantor's opbouw vallen dan vanzelf weg tegen die eronder; we halen er het maximum niet mee. De hoger oneindige Mahlo sprong kan alleen vanuit de diepste index worden gemaakt, maar voor elke index de constructie van boven naar beneden herhalen is niet erg zinvol. Als geschiedenis van alle geneste psi maar valide is, dit hele verhaal dus.
ψ[b1,2] = ψ[ψ[ψ[b1]]] =: ψ[ψ[b1,1]] ~> ψ[(ψ[(ψ[b],Z)],Z)],Z Cantor -> ψ[ψ[(ψ[b],Z)]] = ψ[(ψ[b],Z),1] > ψ[(ψ[b,1],Z)] ~ ψ[b,2],Z ~ ψψψb
De functie van de tweede index variabele c is het “veromvuldigen” van de eerste. Zoals vermenigvuldiging a*c een reeks a.. optelt, ontstaat hier na aftellen een trap van c1 psi indexen, met de eerste index variabele b op de begane grond.
ψ[b,c1] = ψ[ψ[b],c] == ψ[..b..] :c2:
Van al die index treden is de onderste ook de dominante. Er vlak boven de ψ om de minimaal grotere -> psi array in kwestie mee te vergelijken.
ψ[b1,cd1] = ψ[ψ[b1],cd] == ψ[..ψ[b1]..] :cd1: = ψ[..ψ[..b1..]..] :d1: :c1: = ψ[..ψ[b1,c]..] :d1: = ψ[ψ[b1,c],d] = ψ[ψ[b1,cd]] ~> ψ[(..b..)],Z :cd2: Cantor -> ψ[..(ψ[b],Z)..] :cd1: = ψ[(ψ[b],Z),cd] > ψ[..(ψ[b,1],Z)..] :cd: ~>> ψ[..(ψ[b,c],Z)..] :d1: = ψ[(ψ[b,c],Z),d] ~>> ψ[(ψ[b,cd],Z)] ~ ψ[b,cd1],Z ~ ψ[b,cd1]
In elke opvolger definitie kan de diepst geneste ψ[b1] vergeleken worden -> met een maximale subexpressie ψ[b],Z op dat niveau. De psi met index ψb domineert daarin en systeem structuur Z speelt een ondergeschikte rol.
Gelukkig hoeft de introductie van eerdere psi functie maxima niet helemaal op het diepst geneste niveau plaats te vinden en kunnen we dit, na aftel van de tweede, in de eerste index variabele aangeven.
Met indexen b>0 en c>0 geldt dit voor alle psi index arrays.
Door psi expressie substitutie ψ[b1,1X] = ψ[ψ[b,1X],X] zou de index functie veel sneller kunnen groeien, meteen al dubbel recursief zoals bij supermachten. Maar we hebben geen haast, elementaire psi index substitutie is genoeg. Onze oplaadregel zal het algoritmische verschil weer inhalen op de tweede index rij, waar we met de eerste variabele de rij ervoor “opmeten”.
ψ[1,1,1] = ψ[ψ,0,1] = ψ[1,ψ] = ψ[..ψ..] :ψ: ~> ψ[ψ,(m,Z)] ψ[1,2,1] = ψ[ψ,1,1] = ψ[ψψ,0,1] = ψ[1,ψψ] = ψ[..ψ..] :ψψ: -> ψ[(m,Z),1,1]
Psi als bovengrens is niet aftelbaar, alleen de natuurlijke getallen waarmee we rekenen zijn dat, dus als we een iterator verder op de index rij met ψ opladen, moeten we deze eerst -> vergelijken met m,Z voor die iteratie op gang komt.
Ook voor het opladen kunnen we dat in de eerste index aangeven.
ψ[0,0,2X] = ψ[1,0,1X] = ψ[1,1,X] = ψ[ψ,0,X] -> ψ[(m,Z),0,X] ψ[b1,0,1X] = ψ[1,b1,X] = ψ[ψ,b,X] -> ψ[(m,Z),b,X]
Omdat natuurlijk getallen bestaan uit louter enen 1.. zijn de afgetelde index variabelen ,0 in feite leeg, zonder nul teken.
ψ[,,,2X] = ψ[1,,,1X] = ψ[1,,1,X] = ψ[1,1,,X] = ψ[ψ,,,X] -> ψ[(m,Z),,,X] ψ[b2,,,1X] = ψ[1,,b2,X] = ψ[ψ,,b1,X] -> ψ[(m,Z),,b1,X] ~ ψ[ψ,(m,Z),b,X]
Evaluatie van de eerste rij van psi indexen werkt met deze ene oplaadregel. Waarbij k>0 dus er is links tenminste een lege ,c variabele op te laden.
Ook in geval b=0 lukt het om zo tot een vergelijk -> te komen en een aftelbare hoogste iteratie.
ψ[,{k>1}1X] = ψ[1,{k}X] ψ[1,{k1}1X] = ψ[1,{k}1,X] == ψ[1,1,{k}X] = ψ[ψ,{k1}X] -> ψ[(m,Z),{k1}X] ψ[b2,{k1}1X] = ψ[1,{k}b2,X] == ψ[ψ,{k}b1,X] ≈ ψ[.ψ,..b,X] :k
Zo hebben we met een paar regels een hele rij van psi index variabelen in kaart gebracht. Het doet er niet zoveel toe, wat die regels precies zijn. We zouden onze twee systemen, die voor gewone getallen en die voor psi indexen, aan elkaar kunnen aanpassen, zodat hun iteratie tellers precies gelijk lopen.
Belangrijk is dat we hier, met primitief nesten van de index en recursief opladen van variabelen vanuit de oorsprong, door de eerste rij lengte k te variëren, in zijn geheel een dubbele recursie over die indexering uitdrukken.
In elke nieuwe dimensie of verdere uitbreiding van ons systeem reserveren we de eerste cel voor de expansie van de voorliggende structuur. Het variabele getal daarin noemen we de “meter”. De eerste variabele op de tweede rij “meet” als het ware de lengte op van de eerste rij, met daarin de ondergeschikte variabelen of “parameters”. De oude dimensie kan hetzij een aantal plaatsen met separatoren voor parameters erbij krijgen, hetzij over de volle lengte worden vernieuwd.
Rijen scheiden we met een separator met index ,[2] en de meter herschrijft de rij ervoor met een aantal komma separatoren , zonder index.
,[0] = ,[] = 0 ,[1] = ,
Dat kunnen extra parameters zijn of een vervangend aantal. Dat kan direct voor de hele rij of stapsgewijs of druppelsgewijs.
Zo hevelen we een meter op de tweede rij druppelsgewijs over naar de lengte op de eerste rij, waarbij de hoogst geplaatste index ,bi langzaam opschuift en de waarde ervan telkens toeneemt.
ψ[b,{k},[2]n1] = ψ[1,{k},b,[2]n] == ψ[bn,{kn},[2]1] = ψ[1,{kn1}bn]
Het valt te bewijzen dat de toename in druppels van b0 naar bn in het grotere geheel insignificant blijft ten opzichte van de extra lengte n1 uit de meter.
Bij een definitie in stappen kan tijdelijk een extra teken $ nodig zijn. Welke regels we dan en dan toepassen volgt uit de expressie context rond de eerstvolgende aftelbare variabele.
ψ[b,{k1},[2]n1,X] = ψ[b,{k1}$,[2]n1,X] $ intro = ψ[b,{k}$,[2]n1,X] sep elim == ψ[b$,[2]n1,X] = ψ[b,[2]$n1,X] $ move = ψ[b,[1],[2]$n,X] sep intro = ψ[b,,[2]$n,X] array elim == ψ[b,{n},[2]$1,X] = ψ[1,{n}b,[2]$,X] b move = ψ[1,{n}b,[2],X] $ elim
Onze tussenregel voor “separator eliminatie” om lege cellen aan het einde van de rij op te ruimen ,,[2] = ,[2] kan ook eerder worden ingezet, zodra elke iteratie rechts is afgeteld. Rekenkundig paste dit mooi bij arrays voor getallen, maar qua grootte veranderde dat al weinig aan het resultaat. En nu, als psi met acccumulatie van indexen vanuit b op is geladen naar de rij meter n wordt de voorliggende lengte in de index array volkomen insignificant.
We kunnen dit principe, om de kleinere ondergeschikte ruimtes leeg te tellen, en gelijke of grotere ruimtes of bovengeschikte variabelen te bewaren, nou wel bij alle mogelijke separatoren willen doorvoeren, maar het bepalen van de relatieve separator array grootte wordt almaar moeizamer. Zie bij Bird, hoe hij dit rigoreus tracht vol te houden: bij geneste arrays en zijn voorbij en verder.
Regels om afgetelde meters ,[R],[S] = ,[S] te verwijderen mits die aan de vergelijking R<S voldoen, zijn voor een groeiende structuur veel te complex en dragen niets bij. We zien daarom maar af van separator eliminatie, en ook van de tijdelijke tekens $ die een stapsgewijze uitbreiding van de ruimte mogelijk maken. Elke nieuwe lengte voegen we meteen toe aan de bestaande.
De regel voor “opladen”, die direct op de hele rij of voorliggende ruimte uitwerkt. Scan de expressie van links naar rechts `= tot de eerste aftelbare variabele gevonden is.
Elke variabele is “gretig”, dus hier stelt n een heel getal voor, dat meteen tot 0 reduceert en even zoveel mindere separatoren in de ruimte ervoor aanlegt.
Merk op dat de eerste aftelbare variabele van links ook een index kan zijn in een geneste separator array. En ook dat na aanvang elke b een getal psi voorstelt, dat niet wezenlijk van b- te onderscheiden is.
We kunnen de tussenzetten voor psi per vergelijking -> gevoegelijk overslaan en ons richten op de structuur, die tenslotte dominant is.
Definieer de verschillende ruimtes binnen de psi array met separator indexen.
Rijen variabelen ,ni.. met separatoren ,[2] ertussen vormen een vlak. Een aantal vlakken gescheiden door komma ,[3] vormt de derde dimensie. Ruimtes met separator indexen ,[p] vormen een p-dimensionale array.
Na de multidimensionale volgen de hyperdimensionale arrays, waar bij de komma ,[p0.,pi..] een hele rij van indexen hoort. En zo nesten we separator array ,[T] in separator array, op dezelfde manier bij deze psi functies als in de definitie van grote getallen.
Met de directe oplaadregel hierboven evalueert elke geneste array ruimte uiteindelijk tot een hogere psi.
Eigenlijk is alleen de definitie van hogere overgangen nog interessant in de expansie van deze structuur. Voor aftelbare variabelen blijven op elk niveau dezelfde oplaadregels gelden, van links naar rechts.
ψ[0, 1n `= ψ[1, n ψ[b, ,1 `= ψ[1, b,
Gegeven een psi index functie met beginwaarde b>0 zal de lege structuur links van de eerst gescande aftelbare variabele opnieuw worden opgeladen. Zo geven de verschillende oplaadregels voor hogere meters uitdrukking aan de expansie van dimensies, nestdiepte, haakjesparen, etcetera. En geeft de structuur zelf een ordening aan van systemisch grotere index getallen psi.
Terug naar onze druppelsgewijze methode, waar het opladen van gewone parameters onder dezelfde definitie blijkt te vallen als de hogere meters binnen geneste arrays.
Omdat we het zo hebben geregeld dat ,[0] wegvalt, volgt uit T=0 in de formule het simpele opladen van variabelen als c=0 tot c=b op de eerste rij. Waarna het omtellen van psi indexen b tot ψ[b] weer kan beginnen.
Omdat dit qua definitie het meest economisch is, lijkt onze methode van het bijdruppelen van cellen en dimensies en hypergeneste separatoren de beste.
Waar het ons om gaat is, dat index array functies zoals die voor psi, dezelfde structuur en regels voor het reduceren of evalueren van elementen van die structuur kunnen hebben als natuurlijke grote getallen functies. Naar keuze.
Onze systemen voor grote natuurlijke getallen expandeerden de structuur van geneste separator arrays ,[X] door deze na elkaar ,.[Xi].. te plaatsen. Daarbij kwam de regel dat de nestdiepte van een array links wordt vergroot door de meter in het begin van de array rechts ervan af te tellen. Onze scanner zoekt namelijk steeds de eerste aftelbare variabele vanaf links en er komt een moment dat een array leeg geteld is, al dan niet ontdaan van zijn skelet van lege nesten en holle dimensies. We noemden de opeenvolgende array reeksen “diepen”.
Binnen onze psi arrays kunnen we de separator index arrays op dezelfde wijze stapelen, als diepen met dezelfde evaluatie regels. En tussen die diepen komt dan weer de ; operator separator, die vanuit de diepen rechts diep na diep optelt bij de reeks links. Verder kunnen we elk nieuw structuur element volgens dezelfde regels in psi arrays uitwerken, als in de getalsystemen waar psi ψ oorspronkelijk de bovengrens van is. Zie aldaar, de structuren en algoritmes om ook psi index arrays maximaal te expanderen.
Nu gaan we de psi index arrays ook in reeksen schrijven. Maar de regel voor de overgang in deze opeenvolging moet wel anders uitwerken. Anders zouden we enkel een nestlaag met diepen toevoegen aan de array, wat bij deze maximale systeem expansie niet veel opschiet. We kunnen beter overgaan naar de volgende systeem ronde van psi sprongen.
Noteer in de psi index array Y als maximale structuur, zoals Z dat bij gewone functies was. Hier voegt ψ[Y],Z niets meer toe aan ψ[Y] en ook een extra variabele op de eerste rij ψ[ψ,Y] breidt de structuur Y niet echt uit.
Alleen door over de hele psi index array heen te springen, zoals psi over al onze grote getallen sprong, krijgen we nog grotere psi of ook oneindigere omega.
ψ[0][1] = ψ[1] = ψ ψ[1][1] -> ψ[ψ,Y] ψ[b1][1] -> ψ[ψ[b][1],Y] ->> ψ[..ψ..,Y] :b1: ψ[ψ][1] -> ψ[ψ[(m,Z)][1],Y]
De eerste index wordt in deze context weer als bovengrens gedefinieerd. Met de vergelijking -> verklaren we dat geen enkele standaard psi index array groot genoeg is om met de voorganger psi daarin de volgende psi uit te drukken.
Na deze vergelijkende sprongen gaan we opnieuw over tot de expansie van het index array gedeelte. Het lijkt of we eigenlijk niet verder komen zo.
ψ[0,1][1] = ψ[1][1] ψ[1,1][1] = ψ[ψ[1][1]][1] ψ[b1,1][1] = ψ[ψ[b,1][1]][1] == ψ[..1..][1] :b2:
Dit algoritme is dubbel recursief en meteen al maximaal, omdat we de hele expressie in b substitueren, terwijl deze minimaal is afgeteld.
ψ[0,c1][1] = ψ[1,c][1] ψ[b1,c1][1] = ψ[ψ[b,c1][1],c][1] == ψ[..1..,c][1] :b2:
Opladen van subtotaal b naar lege variabelen rechts in de index array werkt weer als voorheen. Expansie van structuren idem dito.
Dan komen we weer uit bij de volgende vergelijkende sprongen over de maximale index array. En in het algemeen dus ook:
ψ[0][1W] = ψ[1][W] ψ[1][1W] -> ψ[ψ,Y][W] ψ[2][1W] -> ψ[ψ[1][1W],Y][W] ψ[b1][1W] -> ψ[ψ[b][1W],Y][W] ->> ψ[..ψ..,Y][W] :b1:
Waar de constante b uit de oorsprong van het psi index diep ook zal overladen naar afgetelde variabelen in het tweede psi diep W en de volgende psi array diepen. Alsmede naar het vervolg apparaat van psi array separator operatoren, die hun eigen index arrays weer met zich meebrengen, enz.
ψ[b1,1V][W] = ψ[ψ[b,1V][W],V][W] == ψ[..1..,V][W] :b2:
Deze [W] diepen kunnen dus een reeks [Wi].. psi arrays omvatten en alle verdere poespas die het systeem expandeert. De regels voor herhaling van psi diepen werken weer hetzelfde als voor de herhaling van separator diepen.
Alleen de definitie van psi ψ[b][W] expressies, waar de index enkel de constante b bevat, werkt via -> vergelijking met de voorganger expressie.
Zo komen we uit op een systeem van psi sprongen dat in zijn geheel de tweede ronde van het systeem vormt. De volgende rondes zullen wel hetzelfde gaan.