Na de constructie van array systemen voor het maken van grote getallen, nemen we de sprong naar een grotere ψ psi. Getallen met psi zijn eindig, maar werken hetzelfde als met het oneindige ω omega, wat volgt op alle natuurlijke getallen.
Gegeven een systeem dat grote getallen uitdrukt, laat psi ψ het eerstvolgende natuurlijke getal zijn, dat bewijsbaar groter is dan we met bestaande middelen in dit systeem kunnen noteren.
Onze niet-standaard constante ψ geeft de hypothetische ondergrens aan van alle getallen, die een gegeven standaard systeem overstijgen. Het bestaan van grotere natuurlijke getallen is zeker, omdat elk eindig systeem uit te breiden is met een hogere recursie.
Als we dat doen, dan zou de psi voor dat nieuwe systeem een stuk opschuiven. Zoals een regenboog ergens de grond lijkt te raken, maar bij benadering verder weg ligt, buiten ons blikveld. Maar we houden dus een zeker standaard systeem aan, waarmee volgende getallen psi ψ duidelijk worden bepaald.
Het is voor de ordening van sprongen in het vervolg voldoende, als we dit grens element of “supremum” of deze functie successor met psi ψ kunnen benaderen. Na de aanname dat het getal psi ψ bestaat, gebruiken we die als input in ons standaard systeem om er de output mee op te waarderen. We substitueren psi per conventie in de herhalende constante a=ψ van de expressie, waarmee we naburige grotere getallen uitdrukken.
Generaliserend naar elementen van elk type: als een systeem bepaalde output produceert, kunnen we een successor ψ postuleren van hetzelfde input / output type. Maar zolang ψ niet als input gegeven is, kan dit binnen het bereik van ons systeem nooit in de output voorkomen.
In theorie bestrijken we het hele domein van de natuurlijke getallen 1.. door steeds 1 op te tellen bij elk voorgaande getal, ofwel door iteratie van de successor functie van Peano. In de praktijk is dit niet mogelijk.
Grote getallen kunnen vaak alleen geschreven worden met een expressie van een array functie. Om recursies met diep geneste subexpressies uit te werken tot unair getal, of decimale basis, of ander kleiner format is ondoenlijk. Maar als de expressie gegeven is en volledige evaluatie ervan in theorie mogelijk, dan staat dat voor een groot getal.
De aanname van een getal psi door een extra recursie bovenop het gebruikte systeem te plaatsen, is in dit licht bezien niet echt virtueler.
Onze snelle array functies zijn een soort turbo tellers. Door vermindering van de resolutie (overslaan van getallen) zijn deze systemen in staat een beperkt aantal grote getallen in het kort te noteren.
Daarmee kunnen dan weer de getaleilanden worden gevormd, die uit de ruimere zee van onbekende natuurlijke getallen oprijzen. Want de meeste “random” natuurlijke getallen daarin kunnen nooit fysiek worden genoteerd.
In een standaard systeem zijn praktisch slechts beperkte reeksen kenbare getal expressies zonder gaten mogelijk. Die gebieden worden uitgebreid door allerlei mogelijke systemen te combineren. Maar ook de wiskundige taal heeft fysieke grenzen, en al gauw bevinden de meeste getallen zich in de lacunes tussenin.
Vanwege de fysieke grenzen in elk universum, is het bewezen dat er grote en grotere “bovennatuurlijke” getallen bestaan. De “grote” bovennatuurlijke liggen tussen de fractals van mogelijke expressies verborgen, soms ver onder de virtuele waarde van de eerste “grotere” psi.
Elke constructieve notatie heeft een praktische limiet. Los van de systemen die ons ter beschikking staan, kunnen we een hoger groter getal psi ψ aannemen, dat welliswaar eindig is en kleiner dan ω omega, maar als eerste vlak boven de getallen horizon van alle fysiek mogelijke systemen in ons universum ligt.
En als “fysiek mogelijk” inhoudt, ook daadwerkelijk fysiek gerealiseerd, dan ligt die hogere psi ψ net buiten bereik van het ultieme systeem, waarmee ooit in het Transgalactische Guinness Record Boek het finale grote getal staat genoteerd.
Stel dat omega ω = 1... oneindig tellen is, de onderste limiet voorbij alle natuurlijke getallen waarvan het tellen ooit stopt.
Of dat tellen langzaam met 1 of versneld en recursief gebeurt is daarbij niet van belang. Dit eerste oneindige is niet constructief te verantwoorden. Het ligt zowel boven het tellen van enen, als boven alle mogelijke natuurlijke expressies in array systemen voor grote getallen en hun bovennatuurlijk grotere psi.
Het bestaan van omega ω als telbaar oneindig getal is Cantor's axioma, een aanname vanuit een hogere set theorie.
Vanaf 0 geteld neemt bij elk getal n de verzameling getallen met 1 element toe, zodat n1 het aantal wordt. Daarom nam Cantor aan, dat het totale aantal van de natuurlijke getallen direct volgt op de hypothetische toevoeging van het allerlaatste element. En dat er vóór deze omega geen kleiner oneindig getal ligt, dat te tellen is of redelijk voorstelbaar zou zijn.
Vanuit constructief gezichtspunt bestaat er geen laatst geteld getal. Dus gaat het oneindige een stap te ver en ligt omega buiten het boekje.
We kunnen daar wel een systeem successor ψ aannemen: een getal dat groter is dan alle getallen uit ons standaard systeem. Zoals we zagen is dat altijd wel constructief te verantwoorden: met een extra recursie in een vervolg systeem.
De constante psi ψ is groter, maar niet oneindig groter. En er bestaan altijd nog grotere natuurlijke getallen. Onze psi werkt verder hetzelfde als Cantor's omega, zodat we het vreemde axioma dat er een oneindig getal volgt op alle tellen, niet nodig hebben.
Alle type indexeringen, recursie regels en stellingen, die voor de eerstvolgende eindige ψ psi gelden, kunnen precies zo worden toegepast op oneindige ω omega, en vice versa. Wat weer begint met rekenen als op school.
Vanaf het supremum psi ψ aftellen of terugrekenen is niet bijster zinvol, hoewel vanuit een hoger systeem in principe wel mogelijk. Terwijl Cantor's omega ω fundamenteel niet aftelbaar is, omdat er geen kleiner oneindig getal onder ligt.
Maar optellen kan bij elk wiskundig getal: bij de constante psi ψ1 en per definitie ook ω1 na de verzameling omega. Hoewel psi plus een standaard getal ψn niet echt groter wordt, en eindig optellen bij oneindig ωn of ook ωψ ongeveer gelijk blijft aan omega.
Zo rekenen we oneindig door vanaf omega, en betreden wat genoemd wordt “Cantor's universum”. De drie punten ... staan voor herhaling zonder eind, zodat de selectie links ervan omega keer wordt herhaald.
ω.1... = ωω ωω.1... = ω*3 ω... = ω*ω ω*ω.+ω... = ω*ω*2 +ω*ω... = ω*ω*ω 1.*ω... = ω^ω ω^ω.*ω... = ω^ωω ω^.ω... = ω^ω^2 ω^(.+ω*ω...) = ω^ω^3 ω^(1.*ω...) = ω^^3
Tot aan de dubbele exponent is de vorming van omega machten door oneindige herhaling van eerdere operaties nog redelijk te volgen. We nemen aan dat ook de hogere operaties terug te brengen zijn op voorafgaande.
Omdat psi ψ niet praktisch aftelbaar is en omega ω zelfs theoretisch niet, is het itereren over deze samengestelde getallen niet mogelijk. Steeds worden grotere dan natuurlijke operaties uitgedrukt, die zijn opgebouwd vanaf Cantor's ω1 bijtellen en vervolgens eindeloos worden herhaald. Zulke virtuele getallen kunnen alleen nog qua grootte onderling worden vergeleken.
We construeren virtueel verder, binnen de ruimtelijke structuren van onze array functies, zonder nog naar een uitkomst getal toe te kunnen evalueren. Dat deden we bij standaard grote getallen ook al, maar nu kan dit echt niet meer.
Cantor's bijtellen blijft ook bij hogere transfiniete recursies mogelijk. Met psi of met omega kunnen we op dezelfde manier doorrekenen in superoperaties en in willekeurig groeiende arrays.
Voor de volgende herleidingen maakt het niet uit of we a↑b1 gelijk stellen aan a^b1 of aan a*2^b aan het begin van de Conway-Knuth superpijlketens.
ω↑(...ω...) = ω↑↑ω1 ω↑{ω}(...1...) Knuth's oppijlen = ω↑{ω1}ω ω↑{...1...}ω Graham's recursie = ω→ω→ω→2 ω→ω→(...1...)→n = ω→ω→ω→n1 L→(..1..)→ω :ω: = L→ω→ω1 ω→...ω Conway's pijlketen = ω→↑ω1 ω→↑{ω}...1 CK superpijlketen = ω→↑{ω1}ω
Zo kunnen de grotere getallen ψ of ω opnieuw als input functioneren voor elke grote getallen array. Vanuit optellen of substitutie van constante a worden deze opgeladen naar afgetelde iteratoren die hogere array constructen herhalen. Dat wordt zeker groot, maar is het echt groter?
De volgende psi sprong komt na de hoogste recursie in het standaard systeem met de gegeven input psi. Bijvoorbeeld in geneste Birdy arrays door de hogere recursie over nest diepte met een teller ψ aan te geven.
Als we over Conway-Knuth superpijlketens →↑{ψ} heen springen, hoe ver ook, haalt dat nog lang niet de op niveau ψ geneste separator arrays in Birdy.
Voor oneindige recursies geldt dan ook, dat een superketen als ω→{ω}ω niet veel toevoegt aan de oorsponkelijke sprong ω na alle tellen.
We kunnen een fysisch maximaal systeem Psi Ψ postuleren dat grote getallen uitdrukt. Maar dan nog zijn deze eindig en de psi ψ sprong erover ligt nog ver onder het ω oneindige.
Cantor's omega is zelfs virtueel onconstrueerbaar. Het ligt een axioma hoger ω>>ψ dan iedere psi, ook als die een virtuele sprong uit een groter dan fysisch mogelijk systeem representeert.
Overigens is een universum niet langer optimaal te gebruiken als grote getallen array, zodra zijn supremum Psi Ψ erin ter sprake komt. Onze metafysische constante Ψ staat logischerwijs in voor een virtuele systeem structuur, die minimaal groter is -> dan de capaciteit van ons universum.
Hetzelfde geldt niet voor een oneindig recursief Ω systeem, omdat optimaal gebruik van wiskundige middelen in een oneindig universum niet zinvol lijkt. Omega Ω betekent in het algemeen: alle oneindig mogelijke getalsystemen.
Zowel psi als omega kunnen door iteratie in standaard arrays niet systemisch groter worden. Dat worden sprong getallen alleen, door een tweede type sprong te wagen voorbij ons systeem met recursies over de eerste sprong.
Wordt de eerst grotere psi en omega met index als ψ1 of ω0 geschreven, dan ligt de volgend grotere psi ψ2 of omega ω1 vlak boven de hoogste recursie in ons standaard systeem met de eerste constante als teller input.
De tweede type psi sprong is qua opzet vergelijkbaar met Cantor's aanname van het hogere oneindige ω1 dat het totale aantal geeft van de reële getallen. Dit bestaat per definitie uit alle getallen, die met de ω natuurlijke getallen en alle recursieve functies Ω en hun inversen (oneindig geschakeld) te maken zijn.
Maar omdat elke psi sprong binnen het domein van de natuurlijke getallen plaats heeft, blijft bij elke psi met index gelden dat ψi<<ω qua grootte.
Dezelfde arrays waarin we grote getallen uitdrukken, kunnen we gebruiken om type indexen voor grotere getallen ψ of voor hogere oneindigen ω te noteren. De array structuur is daar bij uitstek voor geschikt. Hier maken we die omslag.
We introduceerden de constante psi ψ of ψ1 die een successor getal aangeeft bij eindige systemen. Of psi een recursie extra toepast op een gegeven systeem voor grote getallen, of dat psi groter is dan fysisch te noteren valt, maakt voor de verdere indexering ervan niet uit. Maar elke virtuele psi blijft fundamenteel een natuurlijk getal en per axioma kleiner dan omega ω of ω0 oneindig.
Analyseer nog eens wat er gebeurt, als we met psi doorrekenen.
Tel verder van ψ1 tot ψn of met een snelle array functie tot ψ+S(m,Z) wat maximaal kan zijn. Tel dan nog een sprong voorbij dit standaard systeem, waarmee psi ψψ verdubbeld is.
Herhaal dit optellen van de systeem sprong ψ.. wat psi vermenigvuldigt ψ*n en spring boven dit standaard aantal psi uit ψ*ψ met psi in de factor.
Omdat psi alleen kan worden afgeteld door buiten het standaard systeem te treden, is dit louter een vergelijkende notatie voor grotere getallen. Beschouw alle operaties met psi als virtueel en niet reduceerbaar tot standaard getallen of zelfs maar een standaard aantal psi.
We kunnen operaties met ψ wel ordenen en verder opbouwen, zoals in het vorige hoofdstuk met ω superrekenen.
In het algemeen, door psi opnieuw in te zetten als constante S(ψ,X) in een recursief systeem, drukken we meer van dit type grotere getallen uit. Tot de bovengrens van onze array structuur bij benadering is bereikt, en de tweede sprong naar een nog groter getal ψ2 kan volgen.
Door ons array systeem uit te breiden met een hogere recursie, kunnen we behalve ψ1 ook ψ2 herleiden tot standaard getal. Daarin blijkt dat de expressie voor ψ2 er niet veel groter uitziet dan die voor ψ1 omdat beide in de parameter na de hogere teller volgen, met waarde 2 tegen een 1 die wegvalt.
Dit extrapolerend naar omega ω1 als de axiomatische sprong uit een oneindig groot recursief systeem over ω0 oneindig, daarbij valt een extra tel in een extra parameter in het niet. Het volgende omega axioma kan niet veel “oneindiger” zijn, hoe verschillend we de onderliggende verzamelingen, die van de reële getallen in het continuüm ten opzichte van de natuurlijke, ook ervaren.
Door de voorganger psi in het systeem te betrekken en daarover te springen worden alle successor psi gedefinieerd als grotere getallen. Elke ψn een systeem sprong groter *> dan die ervoor.
Elke nieuwe sprong gebeurt relatief aan de generieke expressie a,Z waarin de array structuur volledig is benut. Met daarin eerst een vrij maximaal getal m als constante en vervolgens de steeds grotere psi.
Sprong type indexen van psi ψn noteren we hier als eerste parameter ψ[n] binnen index array haakjes.
ψ[0] = 1 -> 0 ψ[1] = ψ *> m,Z ψ[2] = ψ2 *> ψ,Z ψ[n1] = ψn1 *> ψ[n],Z .ψ[i] *> (..m..),Z :n1:1
De oersprong ψ0 uit het niets naar 1 is natuurlijk essentieel.
In de laatste zin werd de vergelijkende indexering van psi sprongen in geneste vorm weergegeven; zie het als leesoefening.
Door het systeem uit te breiden kunnen we precieser krijgen, hoeveel groter deze psi sprong types zijn. Dan is elke psi ψn met een virtuele separator ; voor de hogere recursie met de extra expressie a,b;m,n weer te geven.
Maar zoiets sluit misschien niet aan bij de axioma sprongen ωn over oneindig recursieve systemen en is ook niet essentieel.
Ook als we een groter systeem Ψ postuleren dan we fysisch kunnen gebruiken, zelfs als we een oneindig systeem Ω aannemen (met een oneindig alfabet van nestbare separator index haakjes), dan nog kunnen we daar bovenuit springen en virtueel verder rekenen.
We stellen dan, dat er een groter getal achter de horizon van Ψ(ψn,Z) ligt, of een hoger oneindige op Ω(ωn,Z) volgt. Deze nieuwe sprong na alle mogelijke eerdere sprongen telt eenvoudig op ψn1 of ωn1 tot de volgende index.
Over psi ψn1 en over *> recursieve psi ψn,Z maken we grote sprongen, door de waarde van de eerste psi index uit te drukken ψ(a,X) met dezelfde grote getallen functie. Tot ook deze grote indexen maximaal worden.
Door de index zelf verder te laten springen naar “psi's psi” worden al de vorige psi met index overtroffen. Omdat een index ook maar een getal is, volgt de index sprong psi in ψψ logisch uit het bestaan van grotere getallen. En die kunnen boven ons standaard systeem liggen of boven elk fysisch mogelijk systeem.
Zo is door Cantor's axioma van oneindig ω eveneens logisch gegeven, dat op opeenvolgende type oneindigen ωn1 allen groter dan >> voorgaande typen oneindigen ωn,Ω recursief vermeerderd in een oneindig systeem, een hogere ωω met oneindige index volgt.
Dit dubbel axiomatische construct ωω wordt in de set theorie het ontoegankelijk oneindige genoemd, of de eerste Mahlo kardinaal. Maar onze indexering is juist bedoeld om voor dat ratjetoe van namen van de wiskundigen een oplossing te bedenken. Door op systematische leest vanuit omega verder bouwen, kunnen alle hoger oneindigen logisch uit de vorige volgen.
Vanuit het totaal van de natuurlijke getallen ω0 tellen set theoretici verder, langs Cantor's ordinalen, voorbij de verzameling ω1 van alle oneindig construeerbare getallen, een lang verhaal.
Zo lijkt het of omega's omega ωω ver van omega ω verwijderd ligt. Maar vanuit het perspectief dat een sprong uit ons standaard systeem equivalent is aan wat extra structuur erbovenop, is dit een kleine afstand.
Van psi ψ met de extra expressie a,m;1,2 naar psi's psi ψψ als extravagantie a,m;1,2,2 scheelt maar een parameter. Relatief insignificant ten opzichte van de oneindige arrays, waar iedere omega index >> overheen zou springen.
Op een maximale array m,Z volgt de psi ψ sprong. Alsof in a,b;m een extra teller m is aangeplakt, om het hoogste array construct zeker voorbij die in de maximale structuur Z op te blazen.
De psi index getallen, waarmee we recursief uit het systeem springen, kunnen we rechts na de teller m in de eerste extravagante iterator aangeven. En zo is de tweede sprong ψ2 equivalent aan a,b;m,2 wat de systeem recursie over de eerste sprong oplaadt a,X;ψ naar de teller.
Hoewel de structuur X groter is dan de maximale standaard Z en vervolgens cumulatief groeit, zijn deze Xi insignificant onder de opgeladen psi ψi waarden.
We mogen het deel links in de evaluatie vergeten en met a,b afronden.
ψn1 ≈ a,b;m,n1 ≈ a,b;ψ1,n ≈ a,b;ψn ψ[1,1] = ψψ ≈ a,b;m,1,2
Nu geldt ψψ1 *> ψψ,Z voor de volgende psi sprong over het systeem.
De psi index groeit op zich, terwijl systeem sprongen aan betekenis verliezen.
Na de maximale index ψ(ψ,Z) met psi, springt ψψ2 naar volgend groter.
Onder de dubbele index van psi's psi nesten we de grotere psi indexen.
Stel dat we het aantal index etages van psi onder psi noteren in een rep :n en dat getal wordt :m,Z groot, dan gaan we ook daar weer :ψ overheen.
ψ[n,1] = ψψn ≈ a,b;m,n,2 ψ[1,2] = ψψψ ≈ a,b;m,1,3 ψ[1,n] = ψ.. :n ≈ a,b;m,1,n ψ[1,1,1] = ψ.. :ψ ≈ a,b;m,1,1,2
Hoe groter de systemen, hoe minder significant het verschil van een paar extra parameters. Hoewel niet constructief maar transfiniet, zal de nabijheid van dergelijke hogere oneindigen tot omega ω nog sterker gelden.
De vraag wordt dan eigenlijk, hoe kan de relatieve afstand in het oneindige nog groeien..?
Hier twee voorbeelden van systemen met simpel tellen en met kwadrateren, waar niet zo grote “psi” getallen duidelijk het systeem overtreffen.
Een kleuter die hooguit tot 10 kan tellen, wordt door zus met psi 100 overbluft. Die ψ1 input doet haar broertje verder tellen tot 110 en spring naar ψ2 = 200 zegt zus. Na tien psi sprongen ψ10 = 1000 kan broertje niet meer, maar zus roept ψψ = 10000 de “myriade” uit, oud Grieks voor ontelbaar.
Het maken van grote getallen nam een vlucht in het oude India. Vanaf de “lakh” 10^5 vormt hun algoritme bij herhaling kwadraten. Waar elke stap een nieuw getal benoemd, tot men rond de 100 stappen het Indiase ontelbaar bereikte, een getal dat asamkhyeya heet.
De Bloemenkrans Soetra plaatst erboven nog negen dubbele kwadraten, maar de proza vertelling erin stopt na “onverteld kwadraat”.
Beschikbare vertalingen van deze soetra verschillen wat betreft het eerste getal en het aantal stappen, dus dit is een reconstructie.
10^(5*2^104) asamkhyeya 10^(5*2^123) onverteld kwadraat 10^^(10^(5*2^120)) onuitsprekelijke tetratie
Met het gedicht dat in de Bloemenkrans Soetra op de genoemde kwadraten volgt, drukten boeddhisten het grootste getal van de antieke wereld uit.
Waarschijnlijk is 10^^(10^(5*2^120)) die “onuitsprekelijke tetratie”, maar taalgeleerden moeten dit nog precies uitpluizen.
Neem het volgende dubbele kwadraat 10^(5*2^125) als maximale output van ons Indiase grote getallen systeem. Dit ronden we tot m = 3^3^3^4 af.
We stappen in de tijdreis machine en om met onze psi sprong de monniken te overbluffen, beginnen we met 10^9 miljard en maken elke stap een grotere kubus die we uitvouwen, in totaal zo'n 1000 keer.
Stel dat de laatste kubus 10^3^2^10 telt, dan is onze ψ ongeveer 4^4^4^5 en in elk opzicht “groter”.
De volgende duizend kubussen springen met 10^3^2^11 naar ψ2 en daarbij geeft ψ3 is 4^4^4^6 een dubbele sprong.
Herhaal die routine tot maximaal ongeveer 3^^6^+4 of ψm = 4^^7 met een standaard psi index.
Of spring naar het grotere getal 4^^6^+5 of ongeveer ψψ = 5^^7 met een virtuele index psi.
Wat in deze simpele voorbeelden duidelijk wordt: hoe uitgebreider het systeem, hoe minder het maximum getal m van ψ en zelfs van ψψ verschilt.
Broertje telt tot 10 en de myriade ψψ = 10^4 van zus is een exponent hoger. Maar in Conway's pijlketen ziet ψψ = 5→7→2 er na ons maximum m als de tetratie 4→4→2 of precieser als 27→3→2 op het oog niet veel groter uit.
In array functies volgt op elke rij een teller, die een aantal parameters aan de voorgaande rij toevoegt. Met rechts ervan ruimte voor een nieuwe rij van parameters, recursief over die teller.
Op de eerste rij volgt dus de tweede en meerdere rijen vormen een vlak. Daarvan worden de rijen weer vermeerderd door de eerste teller van het volgende vlak, beide in de derde dimensie.
En zo volgen de dimensies elkaar op in een multidimensionale array. Te scheiden door separatoren met een index waarde die de dimensie aangeeft.
Nieuwe concepten zijn cyclisch. De dimensie index is ook de eerste parameter van de geneste rij. Separator index rijen zijn arbitrair diep te nesten, wat “een” geheel maakt. Elkaar dieper nestende arrays staan in serie en vormen het “getal” concept voor de tweede cyclus.
Een operator * ertussen vermenigvuldigt series separator arrays uit cyclus 1. Een operator die zelf weer telbaar *{k} is en indexeerbaar *[T] wordt met cyclus 2 diep geneste ster array series.
Van getal naar array volgen de cycli elkaar op. Ook die cycli zijn telbaar en indexeerbaar met eigen arrays en noteren zeer grote getallen.
Toch ligt het telbaar oneindige ω verder dan de grote natuurlijke getallen uit onze eindige superarrays. Als we de psi index array van sprongen over het systeem aan het systeem toevoegen, dan volgt de index in ψn meteen na de teller voor ψ psi. Hoe groter het systeem hoe insignificanter dat verschil.
Daaruit concludeerden we dat het hoger oneindige ωω vrijwel samenvalt met omega ω als axiomatisch concept. En dat de reële getallen ω1 uit alle telbaar oneindige recursieve systemen, een niet veel grotere verzameling vormen dan de ω0 natuurlijke getallen.
Vanaf de tetratie wortel 2^^0.5 via de superinversen p*{q}r*{s}-*t en hun eindeloos geneste reeksen komen er steeds meer getallen bij. Hoe groter de mogelijkheden om reële getallen te maken, hoe dieper de onderverdeling van de getallenlijn. De paradox, die blijkt uit het verder tellen van omega indexen in een extra cel bovenop een oneindig systeem, is dat het natuurlijk en reëel oneindige elkaar in de diepte juist dichter naderen.
Wat als de preciese waarden van deze superreële expressies onvindbaar zijn? Dan spreiden ze zich diep onder de getallenzee van convergerende reeksen uit, verborgen als vissen in scholen. Wat is dan nog een getal?
We refereren verder niet aan omega ω als we onze psi ψ systemen verder uitbouwen. Of psi nu groter is dan ons standaard systeem, of groter dan elk mogelijk maximaal systeem, of groter dan alle eindige getallen (als we psi in naam van omega gebruiken).
Psi index arrays worden op dezelfde manier uitgebreid als standaard arrays, inclusief al de getal-cycli en haakjes-types. Maar boven onze array structuur kunnen we een uitgebreidere volgende structuur Ψ aannemen, die groter is dan wat wiskundigen (hier en nu, of ooit door de mens, of in het universum) kunnen realiseren of simuleren.
Deze virtuele grootste psi ψ[Ψ] valt qua index en getal toch binnen het eindige.
Hierbij geldt dat het in het hoger oneindige hetzelfde verloopt met omega index arrays, als deze zijn uitgebreid ω[Ω] met oneindige structuur. Motto is dat we hoger kunnen springen, zolang we dat “psilosofisch” kunnen verantwoorden.
Gewone psi indexen kunnen we relateren aan de extra structuur, waar we onze standaard index arrays mee uit kunnen breiden. Maar de structuur van de Psi array [Ψ] is altijd groter dan dat.
Psi Ψ is een virtueel eindig systeem, kleiner dus dan de oneindige Ω array en de output ervan is kleiner dan ω oneindig. Als we Psi Ψ groter stellen dan de capaciteit aan tekens in ons universum, kunnen we aannemen dat daarboven toch Psi sprongen bestaan en de zogenaamde “grootste” getallen.
Indexering van deze hoogste sprongen kunnen we met alfa α tekens aangeven, en steeds vergelijken met het Psi ψ[Ψ] index array maximum.
Een alfabet index array die “grootste” getallen tekent, boven ^> alle mogelijke eindige sprong ψ[X] index arrays, of analoog eraan de “hoogst” oneindige.
α[0] = ψ *> X α[1]ψ = ψ[Ψ] ^> ψ[X] α[2]ψ = α[1]ψ[Ψ] α[n1]ψ = α[n]ψ[Ψ]
Dit alfabet is links associatief, dus α[n]ψ[Ψ] betekent de bovennatuurlijk grote index array [Ψ] bij het huidige α[n]ψ grootste Psi type.
Na α[ψ]ψ bouwen we ook die index weer uit tot array α[a,Z]ψ overtroffen door α[Ψ]ψ wat α[1]α[1]ψ is, ofwel αα wat alfa overtreffing telbaar maakt en vermeerdert tot α*[Ψ]ψ arrays, tot er een grootster alfabet β over springt.
De zinloosheid van dit alles wordt inmiddels zichtbaar. Zo maakt het voor de ontwikkeling van deze alfabetten niet uit, of we α[n1]ψ als gelijk aan = of nogmaals boven ^> de Psi sprong α[n]ψ[Ψ] stellen, die ver boven ^> de standaard psi array in α[n]ψ[m,Z] gaat.
In wezen eindigt de definitie van grote getallen en grotere sprongen daarover, of hoger oneindige, wanneer we geen zin meer hebben, net als bij de oude Indiërs.
Hieronder doen we rigoreus verslag van de reis naar het allergrootste.
De psi sprongen over ons standaard systeem, waarin voorgaande psi als input worden genomen, zijn te noteren in index arrays met dezelfde vorm als onze standaard arrays, die er dus ook op aan zouden sluiten.
De eerste psi sprong over een standaard systeem relateert aan grotere getallen, die naar keuze op verschillende parameter posities boven het ermee uitgebreide systeem kunnen beginnen. Wat we als “groter” verstaan, kan zodoende meer of minder krap worden genomen.
Dit leggen we uit aan de hand van een voorbeeld met supermachten.
In 1928 bewees Wilhelm Ackermann waar de hoger recursieve functies, die David Hilbert had gepostuleerd, precies beginnen.
De naar Ackermann genoemde functie a↑{a}a is als eerste niet primitief recursief, daar deze sneller stijgt dan de supermachten a↑{c}b waarin enkel de waarde van b of van c variabel is gesteld.
Zo kan ook a→2→2→2 via a→2→a*a of anders a↑{a*2}2 een supremum zijn van de supermachten, hoewel de uitkomst praktisch niet groter is.
De drie parameter keten a→b→c in zijn geheel is “dubbel recursief”. Stel nu, dat ψ aan de daarop volgende enkele recursie over superexponent c relateert. Dit zijn de getallen van Graham, die zeker significant groter worden.
a→b→c1→2 = a→b→(a→b→c→2) == a→b→(..a→b..) :c: = a↑{..1..}b :c1:
Dan zou de vierde parameter a→b→c→d1 de eerste psi index ψd weergeven. En springt de keten a→2→2→2→2 met ψψ boven alle recursieve psi uit.
Of anders kunnen we een sprong maken door een hele dubbele recursie op de supermachten te plakken. De hele keten van vier geeft dan de systemisch *> grotere psi ψ1 aan. En volgt uit de keten van vijf a→b→c→d→e de index ψe van recursieve psi sprongen. En uit a→2→2→2→2→2 weer de ψψ van de eerste sprong boven de index psi.
Vervolgens drukt elke dubbele recursieve schakel in Conway's keten een index in de psi index rij van hogere sprongen uit over het supermacht systeem.
Of we de eerste psi index relateren aan de vierde d of aan de vijfde e schakel, doet er bij deze groter groeiende rij allengs niet meer toe.
De eerste psi ψ1 is recursief groter *> dan alle getallen a,Z die we gegeven onze fysische beperkingen uit kunnen drukken met ons grote getallen systeem.
Elke volgende psi sprong ψn1 vormt een virtueel getal, dat op dezelfde manier zeker recursief *> groter is, dan alle getallen die we met vorige psi ψn in ons standaard systeem uit konden drukken.
Dit definieert de eerste index in de psi array.
ψ = ψ[1] *> m,Z ψ[n1] *> ψ[n],Z
Nu springen we ook in de psi index de standaard systeem getallen a,Z voorbij met een grotere ψψ index.
En het heeft meteen geen zin meer om het virtuele getal ψψ in te voeren als systeem input en dit te vergelijken. Het getal “psi's psi” blijft gewoon groter.
ψ[ψ] *> ψ[(m,Z)1] *> ψ[(m,Z)],Z +> ψ[(m,Z)] *> ψ[m]
De index psi geeft direct de grotere psi aan, boven alle sprongen psi met een grote index, die we nog aanduiden met een getalwaarde uit ons standaard systeem.
Merk op dat array systemen voor grote getallen ook grote gaten ertussen laten vallen. Daarom is de definitie van alle mogelijke psi indices ψ[(a,X)] door middel van opeenvolging, fysisch genomen al onmogelijk. Maar nog steeds is elke uitgedrukte index a,X qua grootte *> vergelijkbaar met elke andere index in het standaard domein.
In het sprong systeem met index arrays ψ[X] lijkt het psi teken ervoor op de constante a in de functie array. In plaats van ab op te tellen, substitueren we nu de kopie psi ψ[] met haakjes. We nesten de indexering, wat psi “omtelt”, zodat de eerste index is omvat door de meerdere psi erboven.
ψ[0,1] = ψ[ψ[0]] = ψ[1] = ψ ψ[1,1] = ψ[ψ[1]] = ψ[ψ] = ψψ ψ[2,1] = ψ[ψ[2]] = ψ[ψ2] = ψψ2 ψ[n1,1] = ψ[ψ[n1]] *> ψ[(ψ[n],Z)] *> ψ[ψ[n]],Z +> ψ[ψn] = ψψn
De tweede index variabele telt de psi, om of boven de eerste.
Waar de nieuwe index waarde begint te werken, bij 1 of bij 2 pas, maakt voor de sprongen die we ermee kunnen uitdrukken niet echt iets uit.
ψ[0,2] = ψ[ψ[0],1] = ψ[1,1] = ψψ ψ[1,2] = ψ[ψ,1] = ψ[ψ[ψ]] = ψψψ *> ψ[ψ[(n,Z)]] *> ψ[ψ[n1]] *> ψ[(ψ[n],Z)] *> ψ[n,1]
Nu verloopt de constructie in het oneindige door Cantor zeer precies:
Tel getal ωωω+n dan index ω[ωω+n],X en dan ω[ω[ω+n],X],X diep, verder ω[ω[ω,X],X],X en schrijf de volgende ωωω2 omega index als ω[2,2].
In array systemen als de onze is het maximum nogal fuzzy, de psi grens hangt af van een nieuwe variabele binnen een (nog te ontwerpen) extensie. De bovenste stappen in Cantor's opbouw vallen dan vanzelf weg tegen die eronder; we halen er het maximum niet mee. De hoger oneindige Mahlo sprong kan alleen vanuit de diepste index worden gemaakt, maar voor elke index de constructie van boven naar beneden herhalen is niet erg zinvol. Als geschiedenis van alle geneste psi maar valide is, dit hele verhaal dus.
ψ[b1,2] = ψ[ψ[ψ[b1]]] =: ψ[ψ[b1,1]] ~> ψ[(ψ[(ψ[b],Z)],Z)],Z Cantor -> ψ[ψ[(ψ[b],Z)]] = ψ[(ψ[b],Z),1] > ψ[(ψ[b,1],Z)] ~ ψ[b,2],Z ~ ψψψb
De functie van de tweede index variabele c is het “veromvuldigen” van de eerste. Zoals vermenigvuldiging a*c een reeks a.. optelt, ontstaat hier na aftellen een trap van c1 psi indexen, met de eerste index variabele b op de begane grond.
ψ[b,c1] = ψ[ψ[b],c] == ψ[..b..] :c2:
Van al die index treden is de onderste ook de dominante. Er vlak boven de ψ om de minimaal grotere -> psi array in kwestie mee te vergelijken.
ψ[b1,cd1] = ψ[ψ[b1],cd] == ψ[..ψ[b1]..] :cd1: = ψ[..ψ[..b1..]..] :d1: :c1: = ψ[..ψ[b1,c]..] :d1: = ψ[ψ[b1,c],d] = ψ[ψ[b1,cd]] ~> ψ[(..b..)],Z :cd2: Cantor -> ψ[..(ψ[b],Z)..] :cd1: = ψ[(ψ[b],Z),cd] > ψ[..(ψ[b,1],Z)..] :cd: ~>> ψ[..(ψ[b,c],Z)..] :d1: = ψ[(ψ[b,c],Z),d] ~>> ψ[(ψ[b,cd],Z)] ~ ψ[b,cd1],Z ~ ψ[b,cd1]
In elke opvolger definitie kan de diepst geneste ψ[b1] vergeleken worden -> met een maximale subexpressie ψ[b],Z op dat niveau. De psi met index ψb domineert daarin en systeem structuur Z speelt een ondergeschikte rol.
Gelukkig hoeft de introductie van eerdere psi functie maxima niet helemaal op het diepst geneste niveau plaats te vinden en kunnen we dit, na aftel van de tweede, in de eerste index variabele aangeven.
Met indexen b>0 en c>0 geldt dit voor alle psi index arrays.
Door psi expressie substitutie ψ[b1,1X] = ψ[ψ[b,1X],X] zou de index functie veel sneller kunnen groeien, meteen al dubbel recursief zoals bij supermachten. Maar we hebben geen haast, elementaire psi index substitutie is genoeg. Onze oplaadregel zal het algoritmische verschil weer inhalen op de tweede index rij, waar we met de eerste variabele de rij ervoor “opmeten”.
ψ[1,1,1] = ψ[ψ,0,1] = ψ[1,ψ] = ψ[..ψ..] :ψ: ~> ψ[ψ,(m,Z)] ψ[1,2,1] = ψ[ψ,1,1] = ψ[ψψ,0,1] = ψ[1,ψψ] = ψ[..ψ..] :ψψ: -> ψ[(m,Z),1,1]
Psi als bovengrens is niet aftelbaar, alleen de natuurlijke getallen waarmee we rekenen zijn dat, dus als we een iterator verder op de index rij met ψ opladen, moeten we deze eerst -> vergelijken met m,Z voor die iteratie op gang komt.
Ook voor het opladen kunnen we dat in de eerste index aangeven.
ψ[0,0,2X] = ψ[1,0,1X] = ψ[1,1,X] = ψ[ψ,0,X] -> ψ[(m,Z),0,X] ψ[b1,0,1X] = ψ[1,b1,X] = ψ[ψ,b,X] -> ψ[(m,Z),b,X]
Omdat natuurlijk getallen bestaan uit louter enen 1.. zijn de afgetelde index variabelen ,0 in feite leeg, zonder nul teken.
ψ[,,,2X] = ψ[1,,,1X] = ψ[1,,1,X] = ψ[1,1,,X] = ψ[ψ,,,X] -> ψ[(m,Z),,,X] ψ[b2,,,1X] = ψ[1,,b2,X] = ψ[ψ,,b1,X] -> ψ[(m,Z),,b1,X] ~ ψ[ψ,(m,Z),b,X]
Evaluatie van de eerste rij van psi indexen werkt met deze ene oplaadregel. Waarbij k>0 dus er is links tenminste een lege ,c variabele op te laden.
Ook in geval b=0 lukt het om zo tot een vergelijk -> te komen en een aftelbare hoogste iteratie.
ψ[,{k>1}1X] = ψ[1,{k}X] ψ[1,{k1}1X] = ψ[1,{k}1,X] == ψ[1,1,{k}X] = ψ[ψ,{k1}X] -> ψ[(m,Z),{k1}X] ψ[b2,{k1}1X] = ψ[1,{k}b2,X] == ψ[ψ,{k}b1,X] ≈ ψ[.ψ,..b,X] :k
Zo hebben we met een paar regels een hele rij van psi index variabelen in kaart gebracht. Het doet er niet zoveel toe, wat die regels precies zijn. We zouden onze twee systemen, die voor gewone getallen en die voor psi indexen, aan elkaar kunnen aanpassen, zodat hun iteratie tellers precies gelijk lopen.
Belangrijk is dat we hier, met primitief nesten van de index en recursief opladen van variabelen vanuit de oorsprong, door de eerste rij lengte k te variëren, in zijn geheel een dubbele recursie over die indexering uitdrukken.
In elke nieuwe dimensie of verdere uitbreiding van ons systeem reserveren we de eerste cel voor de expansie van de voorliggende structuur. Het variabele getal daarin noemen we de “meter”. De eerste variabele op de tweede rij “meet” als het ware de lengte op van de eerste rij, met daarin de ondergeschikte variabelen of “parameters”. De oude dimensie kan hetzij een aantal plaatsen met separatoren voor parameters erbij krijgen, hetzij over de volle lengte worden vernieuwd.
Rijen scheiden we met een separator met index ,[2] en de meter herschrijft de rij ervoor met een aantal komma's , zonder index.
,[0] = ,[] = 0 ,[1] = ,
Dat kunnen extra parameters zijn of een vervangend aantal. Dat kan direct voor de hele rij of stapsgewijs of druppelsgewijs.
Zo hevelen we een meter op de tweede rij druppelsgewijs over naar de lengte op de eerste rij, waarbij de hoogst geplaatste index ,bi langzaam opschuift en de waarde ervan telkens toeneemt.
ψ[b,{k},[2]n1] = ψ[1,{k},b,[2]n] == ψ[bn,{kn},[2]1] = ψ[1,{kn1}bn]
Het valt te bewijzen dat de toename in druppels van b0 naar bn in het grotere geheel insignificant blijft ten opzichte van de extra lengte n1 uit de meter.
Bij een definitie in stappen kan tijdelijk een extra teken $ nodig zijn. Welke regels we dan en dan toepassen volgt uit de expressie context rond de eerstvolgende aftelbare variabele.
ψ[b,{k1},[2]n1,X] = ψ[b,{k1}$,[2]n1,X] $ intro = ψ[b,{k}$,[2]n1,X] sep elim == ψ[b$,[2]n1,X] = ψ[b,[2]$n1,X] $ move = ψ[b,[1],[2]$n,X] sep intro = ψ[b,,[2]$n,X] array elim == ψ[b,{n},[2]$1,X] = ψ[1,{n}b,[2]$,X] b move = ψ[1,{n}b,[2],X] $ elim
Onze tussenregel voor “separator eliminatie” om lege cellen aan het einde van de rij op te ruimen ,,[2] = ,[2] kan ook eerder worden ingezet, zodra elke iteratie rechts is afgeteld. Rekenkundig paste dit mooi bij arrays voor getallen, maar qua grootte veranderde dat al weinig aan het resultaat. En nu, als psi met acccumulatie van indexen vanuit b op is geladen naar de rij meter n wordt de voorliggende lengte in de index array volkomen insignificant.
We kunnen dit principe, om de kleinere ondergeschikte ruimtes leeg te tellen, en gelijke of grotere ruimtes of bovengeschikte variabelen te bewaren, nou wel bij alle mogelijke separatoren willen doorvoeren, maar het bepalen van de relatieve separator array grootte wordt almaar moeizamer. Zie bij Bird, hoe hij dit rigoreus tracht vol te houden: bij geneste arrays en zijn voorbij en verder.
Regels om afgetelde meters ,[R],[S] = ,[S] te verwijderen mits die aan de vergelijking R<S voldoen, zijn voor een groeiende structuur veel te complex en dragen niets bij. We zien daarom maar af van separator eliminatie, en ook van de tijdelijke tekens $ die een stapsgewijze uitbreiding van de ruimte mogelijk maken. Elke nieuwe lengte voegen we meteen toe aan de bestaande.
De regel voor “opladen”, die direct op de hele rij of voorliggende ruimte uitwerkt. Scan de expressie van links naar rechts `= tot de eerste aftelbare variabele gevonden is.
Elke variabele is “gretig”, dus hier stelt n een heel getal voor, dat meteen tot 0 reduceert en even zoveel mindere separatoren in de ruimte ervoor aanlegt.
Merk op dat de eerste aftelbare variabele van links ook een index kan zijn in een geneste separator array. En ook dat na aanvang elke b een getal psi voorstelt, dat niet wezenlijk van b- te onderscheiden is.
We kunnen de tussenzetten voor psi per vergelijking -> gevoegelijk overslaan en ons richten op de structuur, die tenslotte dominant is.
Definieer de verschillende ruimtes binnen de psi array met separator indexen.
Rijen variabelen ,ni.. met separatoren ,[2] ertussen vormen een vlak. Een aantal vlakken gescheiden door komma ,[3] vormt de derde dimensie. Ruimtes met separator indexen ,[p] vormen een p-dimensionale array.
Na de multidimensionale volgen de hyperdimensionale arrays, waar bij de komma ,[p0.,pi..] een hele rij van indexen hoort. En zo nesten we separator array ,[T] in separator array, op dezelfde manier bij deze psi functies als in de definitie van grote getallen.
Met de directe oplaadregel hierboven evalueert elke geneste arrayruimte uiteindelijk tot een hogere psi.
Eigenlijk is alleen de definitie van hogere overgangen nog interessant in de expansie van deze structuur. Voor aftelbare variabelen blijven op elk niveau dezelfde oplaadregels gelden, van links naar rechts.
ψ[0, 1n `= ψ[1, n ψ[b, ,1 `= ψ[1, b,
Gegeven een psi index functie met beginwaarde b>0 zal de lege structuur links van de eerst gescande aftelbare variabele opnieuw worden opgeladen. Zo geven de verschillende oplaadregels voor hogere meters uitdrukking aan de expansie van dimensies, nestdiepte, haakjesparen, etcetera. En geeft de structuur zelf een ordening aan van systemisch grotere index getallen psi.
Terug naar onze druppelsgewijze methode, waar het opladen van gewone parameters onder dezelfde definitie blijkt te vallen als de hogere meters binnen geneste arrays.
Omdat we het zo hebben geregeld dat ,[0] wegvalt, volgt uit T=0 in de formule het simpele opladen van variabelen als c=0 tot c=b op de eerste rij. Waarna het omtellen van psi indexen b tot ψ[b] weer kan beginnen.
Omdat dit qua definitie het meest economisch is, lijkt onze methode van het bijdruppelen van cellen en dimensies en hypergeneste separatoren de beste.
Waar het om gaat is, dat index array functies zoals die voor psi, dezelfde structuur en regels voor het reduceren of evalueren van elementen van die structuur kunnen hebben als natuurlijke grote getallen functies. Naar keuze.
Onze systemen voor grote natuurlijke getallen expandeerden de structuur van geneste separator arrays ,[X] door deze na elkaar ,.[Xi].. te plaatsen. Daarbij kwam de regel dat de nestdiepte van een array links wordt vergroot door de meter in het begin van de spade array rechts ervan af te tellen. Onze scanner zoekt namelijk steeds de eerste aftelbare variabele vanaf links en er komt een moment dat een array leeg geteld is, al dan niet ontdaan van zijn skelet van lege nesten en holle dimensies. We noemen een opeenvolgende verdiepende array reeks “spades”.
Binnen onze psi arrays kunnen we de separator index arrays op dezelfde wijze stapelen, als spades met dezelfde evaluatie regels. En tussen die spades komt dan weer de ; operator separator, die vanuit de spades rechts array na array toevoegt aan de reeks links. Verder kunnen we elk nieuw structuur element volgens dezelfde regels in psi arrays uitwerken, als in de getalsystemen waar psi ψ oorspronkelijk de bovengrens van is. Zie aldaar, de structuren en algoritmes om ook psi index arrays maximaal te expanderen.
Nu gaan we de psi index arrays ook in reeksen schrijven. Maar de regel voor de overgang in deze opeenvolging moet wel anders uitwerken. Anders zouden we enkel een nestlaag met spades toevoegen aan de array, wat bij deze maximale systeem expansie niet veel opschiet. We kunnen beter overgaan naar de volgende systeem ronde van psi sprongen.
Noteer in de psi index array Y als maximale structuur, zoals Z dat bij gewone functies was. Hier voegt ψ[Y],Z niets meer toe aan ψ[Y] en ook een extra variabele op de eerste rij ψ[ψ,Y] breidt de structuur Y niet echt uit.
Alleen door over de hele psi index array heen te springen, zoals psi over al onze grote getallen sprong, krijgen we nog grotere psi of ook oneindigere omega.
ψ[0][1] = ψ[1] = ψ ψ[1][1] -> ψ[ψ,Y] ψ[b1][1] -> ψ[ψ[b][1],Y] ->> ψ[..ψ..,Y] :b1: ψ[ψ][1] -> ψ[ψ[(m,Z)][1],Y]
De eerste index wordt in deze context weer als bovengrens gedefinieerd. Met de vergelijking -> verklaren we dat geen enkele standaard psi index array groot genoeg is om met de voorganger psi daarin de volgende psi uit te drukken.
Na deze vergelijkende sprongen gaan we opnieuw over tot de expansie van het index array gedeelte. Het lijkt of we eigenlijk niet verder komen zo.
ψ[0,1][1] = ψ[1][1] ψ[1,1][1] = ψ[ψ[1][1]][1] ψ[b1,1][1] = ψ[ψ[b,1][1]][1] == ψ[..1..][1] :b2:
Dit algoritme is dubbel recursief en meteen al maximaal, omdat we de hele expressie in b substitueren, terwijl deze minimaal is afgeteld.
ψ[0,c1][1] = ψ[1,c][1] ψ[b1,c1][1] = ψ[ψ[b,c1][1],c][1] == ψ[..1..,c][1] :b2:
Opladen van subtotaal b naar lege variabelen rechts in de index array werkt weer als voorheen. Expansie van structuren idem dito.
Dan komen we weer uit bij de volgende vergelijkende sprongen over de maximale index array. En in het algemeen dus ook:
ψ[0][1W] = ψ[1][W] ψ[1][1W] -> ψ[ψ,Y][W] ψ[2][1W] -> ψ[ψ[1][1W],Y][W] ψ[b1][1W] -> ψ[ψ[b][1W],Y][W] ->> ψ[..ψ..,Y][W] :b1:
Waar de constante b uit de oorsprong van de psi index array ook zal overladen naar afgetelde variabelen in de tweede psi array W en de volgende psi spade arrays. Alsmede naar het vervolg apparaat van psi array separator operatoren, die hun eigen index arrays weer met zich meebrengen, enz.
ψ[b1,1V][W] = ψ[ψ[b,1V][W],V][W] == ψ[..1..,V][W] :b2:
Deze [W] spades kunnen dus een reeks [Wi].. psi arrays omvatten en alle verdere poespas die het systeem expandeert. De regels voor herhaling van psi spades werken weer hetzelfde als voor de herhaling van separator spades.
Alleen de definitie van psi ψ[b][W] expressies, waar de index enkel de constante b bevat, werkt via -> vergelijking met de voorganger expressie.
Zo komen we uit op een systeem van psi sprongen dat in zijn geheel de tweede ronde van het systeem vormt. De volgende rondes zullen wel hetzelfde gaan.
| Wiskundige symbolen | |
|---|---|
= | is gelijke gehele expressies |
≡ | substitueer overal in de expressie |
== | na herhaalde evaluatie |
:= | gelijk, maar buiten de regels |
=: | gelijk, evalueer andersom |
`= | evalueer vanaf links |
=` | evalueer vanaf rechts |
=? | geeft andere regels voorrang |
~ | is bijna gelijk, niet exact |
≈ | is ongeveer gelijk of gelijk |
≠ | is zeker niet gelijk |
< | is kleiner dan |
> | is groter dan |
<- | is minimaal kleiner |
-> | is opvolgend of minimaal groter |
<~ | is bijna zo groot |
~> | is iets groter |
+> | maximaal groter in systeem |
*> | recursief groter dan ons systeem |
^> | boven ieder eindig systeem |
>> | hoger oneindige sprong |
| ψ | groter getal psi |
| ω | kleinst oneindige omega |
& | en daarbij |
:k | herhaalt de selectie T.. |
v! | groot getal met deze variabele |