Reuzen Getallen Blogboek

door Giga Gerard

„ Er is, o jongeren, iets ongeborens, ongewordens, ongeschapens, ongevormds. Bestond er, o jongeren, dit ongeborene, ongewordene, ongeschapene, ongevormde niet, dan zou er geen uitweg zijn uit deze wereld van het geborene, gewordene, geschapene, gevormde.” 

Boeddha ♦

§1. Tellen

Wie dingen bij elkaar doet telt hun aantal op. Waarom zou dat voor getallen anders zijn? Een 1 en nog 1 is twee 11 in onze wereld. A De natuurlijke manier om twee getallen x en y op te tellen is om deze naast elkaar te xy zetten.

Natuurlijkheid is het leidmotief voor de systemen, waarmee we grote getallen gaan bouwen. Vandaag beginnen we opnieuw…

Lectori salutem Lees behoedzaam.

X

§1.0 Nul

Voordat tellen begint, is er het getal nul 0 dat voor niets   staat.
Hoeveel nullen er ook bij komen, nul verandert nooit iets.

00 ≡ 0
a0 ≡ a & 0a ≡ a

Woorden of tekens die gelijk equivalent zijn, kunnen we direkt en onvoorwaardelijk omruilen in elke expressie context. Optellen van units zoals 0 heeft, behalve het vereenvoudigen van het getal, geen neveneffect. Zulke regels zijn meteen (gelijk) overal toepasbaar.

De voorlopige regel herkent alleen nullen, zo ver was ons systeem.
De algemene regel zoekt een teken 0 naast een variabel getal a dat niet leeg is. Deze voegt niets aan het getal toe, en daarom kan onze eliminatie regel zulke nullen wissen.
Zo evalueren we 100=10=1. Dat ziet er vreemd uit, maar dat 01 de eerste aanduidt (van minuut, uur, dag) is wel gewoon.

Nul-eliminatie is duidelijk niet van toepassing op getallen in het tientallig stelsel, dat zo handig is om met grijpgrage vingers cijfers te tellen tot de menselijke maat (basis 10 die tien heet) vol is.
We kunnen decimale getallen onderscheiden met kleur 10000 of met een decimale punt erachter 4. = ,1111 en unaire tekens die optellen door een komma (die alleen 0 telt) ervoor te zetten.
Tienduizend is trouwens de myriade van de oude Grieken: een kwadraat van 100*100. Dat betekende toen zoveel als ontelbaar.

Systematiek 1.0

Hoewel een spatie toch iets betekent als separator van woorden, negeert een programma extra witruimte vaak. Onze wiskundige code vertoont gratis witruimte en kleuropmaak voor de leesbaarheid.

Een woord is een reeks tekens die syntactisch in de expressies van een systeem past. Woorden geven we kort met een hoofdletter weer. Alleen bij hoofdletters vanaf U mag de woord match ook niets of   leeg zijn.

Een kleine letter benoemt de var of variabele van een getal. Binnen een vergelijking bepaalt het domein van de onafhankelijke variabele het bereik van de afhankelijke. Maar in onze input expressies kunnen getallen arbitrair worden gekozen en zijn de vars onafhankelijk. We zoeken geen bepaalde uitkomst, maar bouwen een systeem.

  • vars van a-h zijn algemeen, eindig of oneindig.
  • vars i,j zijn indexen die optellen in een reeks.
  • vars van k-t zijn in gebruik als natuurlijk getal.
  • alleen vars u-z kunnen leeg   zijn, in context.

Variabelen zijn soms constanten, maar meestal zijn het veranderlijke waarden. Een beperkt var domein staat aangegeven.

Een iteratieve regel zal een variabele aftellen tot deze finaal op is. Maar voordat het systeem de ongeschreven nul terugvindt, krijgt een hogere regel prioriteit, die de lege positie structureel opheft of hervult met een groot getal. Er hoeft geen 0 aan te pas te komen, en toch wordt de iterator var nooit dood gevonden.

Toepassen van substitutie kan beide kanten op. Uit de equivalentie relatie PQ volgt dat QP ook waar is, en zijn getallen of woorden P en Q binnen hun systeem inwisselbaar.
We kunnen elk aantal nullen maken door de eliminatie om te keren 0=00 en zichzelf te substitueren. En daarna weer tot nul reduceren.

  • 0 = 00 = 000 == 0..
  • 00.. 0:n = 0.. :n>0 == 0

Nullen optellen schiet niet op en lijkt een doodlopende weg. Maar een lege structuur kan reduceren tot 0, en vervolgens wegvallen tegen een getal, wat belangrijk is voor de volledigheid van ons systeem. Via zulke regels zijn alle mogelijke (eindige) input expressies te evalueren tot standaard output (natuurlijk getallen).

De kwantiteit 0, die een hoeveelheid aangeeft zonder enige tel, doet in de praktijk goed dienst. Vooral in situaties met op en neer getel, waarin de waarde 0 tijdelijk en bij benadering is.
Twijfel knaagt: Is het cijfer 0 geen oneigenlijk hulpmiddel? Kunnen lege plaatsen zonder opvul 0 ook goed functioneren? Zou getal 0 principieel tot niets moeten herleiden en verdwijnen? Is een naam 0 voor niet tellen of anders geen tellen echt nodig in de taal?

Waarvan men niet spreken kan, daarover moet men zwijgen, besloot de filosoof. 0 …Slaat dit op de nul die geen zwijgers telde?

X

§1.1 Enen

Na nul komt het eerste positieve getal een 1, dat iets telt.
Tevens is 1 een unit of eenheid van getal. Door units 1 op te tellen (vingers tellen) kan ieder natuurlijk aantal worden gevat.

Deze interne telfunctie van 1, waarmee een extern object bij een verzameling objecten wordt geteld, werd door grondlegger van de moderne wiskunde David Hilbert das Ding 1 genoemd, omdat het zelfstandig ten opzichte van de logica bestaat. 1

Volgt een circulaire definitie, waarin we enen tellen, zodat het aantal 1:a identiek is met een uniek getal a.

a ≡ 1.. :a>0
ω = 1...

Introductie van units 1 is willekeurig. Het getal volgt als we stoppen met tellen. Zonder halt te houden (zonder einde aan de repetitie) kan tellen in theorie oneindig doorgaan.
Het eerste oneindige getal heet omega ω. Per definitie is omega ω de kleinste limiet, die met tellen nooit bereikt wordt.
Praktisch is de grens van elke handeling natuurkundig bepaald, dus ook van het tellen. Bijvoorbeeld: stil tellen tot duizend is mentaal al extreem, met vingers opsteken erbij wordt het dat ook fysiek!

Samen met 0 als geen een 1:0 vormen alle eindige reeksen 1:n de verzameling van de natuurlijke getallen.

1 -> 0
11 -> 1
n1 -> n

In deze ordening is elk getal n1 de opvolger -> van vorig getal n. Steeds 1 tel erbij, te beginnen bij 0, krijgt elk natuurlijk getal zijn eigen plaats in de reeks.

Systematiek 1.1

Minimaal groter pijlen passen we toe:
-> tussen getallen, met links de direkte opvolger van het getal rechts.
-> tussen expressies, waar een nieuwe index (links) de laatste overtreft en zo de maat neemt van die structuur (rechts).
-> bij vergelijking van systemen: voor de expressie die strikt volgt, of met tilde ~> voor een insignificant grotere expressie (met klein verschil).

Ook passen we minimaal kleiner <- toe, wat net zo van < kleiner dan is afgeleid. Groter dan > geeft ordening tussen getallen.

a>b <=> b<a
    <=> bc=a & c>0

De regels van ons systeem evalueren expressies in eenvoudige stappen. We reduceren expressie input door de regels in serie toe te passen, tot de output de primaire vorm heeft van een rij enen.
Om meerdere stappen tegelijk te kunnen bevatten, gebruiken we hulpmiddelen zoals repetities, subexpressies en speciale variabelen.

Index variabelen i en j veranderen in de loop van een reeks. Vanaf het begin (vaak links) neemt elke volgende index per stap met 1 toe, van index i=1 tot eind index i=r. Het aantal stappen :r staat rechts van de expressie in de rep.

Onze reductie-trein gaat van vertrek expressie (input) naar aankomst expressie (output) en arriveert = op vele tussenstations. Maar omdat equivalentie transitief is, blijft de uitkomst kloppen.

G0.=Gi.. :u =>
   G0=Gu=1.. :G0

Voorgaande expressies zijn slechts andere vormen van de output Gu die door complete evaluatie wordt bereikt.

Als iets bij 0 (in het begin) waar is, en voor ieder getal als we er 1 bij optellen (door naar de volgende gaan) logisch waar blijft, dan moet het via inductie gelden voor alle natuurlijke getallen (of geordende objecten met zo'n nummering).

Om functies vooraf te laten gaan aan het leren tellen, lijkt overdreven en onnatuurlijk. Toch definieerde Peano de natuurlijke getallen zo 2, met herhaalde substitutie in een successor functie S vanaf 0.

01 = S(0)
11 = S(1) = S(S(0))
n1 = S(n) == S(..0..) :n1:

Vervangen we de omschriften S() rechts door units 1, dan telt dat op tot hetzelfde getal. Successors verschillen niet echt van enen. En hun definitie blijft circulair, want het aantal geneste functies S drukt het getal uit. Enen tellen is simpeler en fundamenteel.

Nieuwe tekens en regels comprimeren getallen, zodat kortere input significant grotere output kan produceren. Iteraties tellen hun indexen af, en de expressie als geheel groeit.
Zonder modulaire reductie van getallen, per m0 regel, is er geen simpele eliminatie van enen. Zo wordt de output van expressies al gauw erg groot, en praktisch niet meer te tellen.
Is het indelen van expressies in types eigenlijk vereenvoudiging van getallen: extreme eliminatie van enen, wel beschouwd? …Ook een extremere vorm van comprimering, voorbij regels of kan dat niet?

X

§1.2 Optellen

Nemen we de units 1 van de getallen a en b samen, dan tellen deze direkt tot een getal ab op. In ons systeem zullen we variabelen zonder teken ertussen optellen, niet vermenigvuldigen.
We gebruiken juist een plus teken + om optellen a+b uit te stellen.

Negatieve getallen zijn series minnen -.. :m en de unit min - zal door 1 bij te tellen 1-=0 verdwijnen, zodat n- een getal aftelt.
Een som mn van gehele getallen is gewoon een serie units zonder scheiding, en direkt reduceerbaar. Sommen van gelijke waarde zijn gelijk equivalent: overal uitwisselbaar.
In unit notatie zullen we de enen 1 en minnen - binnen gehele getallen meteen reduceren tot een minimale lengte: hetzij tot een positief aantal enen, hetzij negatief met minnen.

Optellen van positieve gehele getallen is commutatief.

  • 1n ≡ n1 =>
  • mn = 1..n :m = 1..n1 :m- == n1.. :m = nm

Bij eindige getallen blijft het gelijk of een tel er rechts of links bij komt (of af gaat). Zo geeft verwisseling van m+n dezelfde som.
De == herhaalt de evaluatie volgens eerdere regel(s).

Systematiek 1.2

Een systeem of algoritme is een lijst van regels voor het evalueren van tekst. We scannen of doorzoeken een expressie l-r (van links tot rechts) tot we een overeenkomst vinden, een match voor een toe te passen regel. Vervolgens herschrijft deze de matchende tekst.

Herschrijfregel P:=Q stelt dat we in alle onderhavige expressies het woord P door Q mogen vervangen, indien P de eerste match is, die we vanuit een lijst regels kunnen maken in de tekst.

P:=Q <=> Q:=P
P:=Q <=> PZ:=QZ
P:=Q => P=Q

Als de expressie zelf de match is, is P=Q equivalent.
Gelijk := herschrijven zegt meer dan equivalentie = van expressies, de regelvormen hierboven impliceren => dit.

Een functie kan een subexpressie nesten (substitueren, plaatsen) binnen de expressie. Recursieve functie regels nesten een mindere versie van zichzelf herhaaldelijk intern, in plaats van een variabele. Vanaf de binnenste waarde reduceert men de subexpressies daarna (tussen haakjes) tot getal. De variabele wordt zodoende erg groot.

Onze regels nemen de zuinigst effectieve stappen. Haakjes tekens () sparen we liever uit, door subexpressies niet direkt te nesten.
Wel verplaatsen we sterk gegroeide getallen naar eerdere structuren. Ons grote getallensysteem komt langzaam op gang, maar de later dominantere structuren halen dat weer in.
Bij het uitwerken van series evaluaties en in vergelijking met andere systemen keren subexpressies (en haakjes) wel terug.

Cijfers zijn in onze notatie afkortingen van unaire constanten. Zodat bijvoorbeeld 12=3 de units van 1+2 simpel telt.

2 ≡ 11    9 ≡ 111111111
3 ≡ 111    8 ≡ 11111111
4 ≡ 1111    7 ≡ 1111111
5 ≡ 11111    6 ≡ 111111

Ronde haakjes omgeven expressies die buiten ons systeem vallen. Bijv. in Funix(101010,11) = 42. kan de prefix of functie naam aangeven welk ander systeem bedoeld wordt… Wat is Funix?

Onze regels werken zonder subexpressies, dus zonder de klassieke recursie. Maar door herhaling van structuren groeien onze getallen minstens even snel als die van andere grote array functies.
Het ontwerpen van simpele doch sterke regels voor de constructie van steeds grotere getallen, is het thema van mijn
„Reuzen Getallen Blogboek”.
Ik ben Giga Gerard en ik nodig andere amateurs en avonturiers uit om de allergrootste getallen te ontdekken in een wiskundig landschap dat gaandeweg ruimer en exotischer zal worden…!

X

§1.3 Sets

Getallen zijn wiskundige objecten die eigenschappen dragen. Voor iedere eigenschap bestaat er een set {e0.,ei..} waarvan de elementen alle verzamelbare objecten met die eigenschap zijn.
Vanuit de logica dat het bestaat om alle voorkomende gevallen te bevatten, is een uitgebreide set theorie ontwikkeld, die allerlei wiskundige objecten ordent 3 en oneindige sets verklaart. 4

Twee belangrijke operaties met sets, waarmee we elementen kunnen introduceren of elimineren:
De vereniging van twee sets AB vormt een set, waarin alle elementen uit A en B voorkomen, maar elk eenmalig. Dit selecteert een groter (plus) of gelijk aantal elementen.
De doorsnede van de sets AB is de set van alle elementen, die zowel in A als in B voorkomen. Dit selecteert een kleiner (geen) of gelijk aantal elementen.

Verzamelingen van getallen zijn praktisch bruikbaar, maar set theorie is te vergevorderd en gekunsteld om de eenvoudige aritmetica op te baseren. Tellen en herhalen, de constructie van getallen, gaat aan hun vertaling naar sets vooraf, niet andersom. 5
Hoewel we objecten kunnen verzamelen in een set en de elementen dan nummeren 6, kunnen we ook simpel tellen tot een getal, zoals in §1.1, los van verzameling en objecten. Dubbel of verkeerd geteld blijft geteld, items die we overslaan komen niet terug in het totaal, maar met het getal is verder prima te rekenen.

De correspondentie tussen set en aantal blijft problematisch. 7 Een set dient uit unieke elementen te bestaan en is vaak onbeperkt, maar natuurlijke getallen zijn eindige series van eenzelfde tel.
En tussen sets onderling is er niet vanzelf zo een ordening, die er met de kleiner dan < relatie tussen getallen wel is. 8
Dus hoe kunnen we sets tellen, en sets gebruiken om te tellen, en zijn er ook sets die getallen zijn? 9

Een set tellen is het tellen van zijn elementen. Het aantal elementen van een set heet met een deftig woord zijn kardinaal getal. Wij noemen dit de rij lengte, omdat we geordende sets gaan gebruiken als index arrays, waar elementen hun eigen plaats krijgen in de rij.

Om getallen uit te drukken kunnen sets dienst doen als een lijst namen. We kunnen ieder natuurlijk getal laten corresponderen met een unieke set in onze lijst namen en iedere set naam met een getal. Zo'n = register heet een bijectie.

Verzamelde elementen hoeven geen externe objecten te zijn, zoals getallen. Een hele set structuur kan alleen bestaan uit sets.
Zulke holle structuren hebben als bouwsteen de lege set, die niets bevat (ook 0 niet) en die we origineel als {} schrijven. De lege set benoemt per definitie het getal {}=0 nul, in wat volgt. Of was het natuurlijker om een lege set die toch iets is …de 1 toe te kennen?

X

§1.4 Nesten

Te beginnen met de lege set omvatten we deze verder (stap na stap) met de element relatie. Zo'n set als element nesten in een set telt 1 op bij het getal voor de gehele set. Uit het aantal paren haakjes is de geneste diepte af te lezen die een natuurlijk getal geeft. Onze settige namen voor getallen stoppen we dan in een verzameling van eenvoudige nestgetallen, bijvoorbeeld.

Eenvoudige nestgetallen hebben in iedere set steeds 1 element, behalve de binnenste {} die 0 elementen telt.
0-eenvoudige nestgetallen bestaan uit lege sets naast sets met 2 elementen, behalve voor 1 omdat {{},{}} tot {{}} reduceert.

  • {..} :n1: = {.{..}.} :n:
  • {.{},{..}.} :n: = {{},{.{},{..}.}} :n-:

Duo reps herhalen de met stippen geselecteerde woorden tegelijk aan beide zijden, hier van buiten naar binnen. Het aantal herhalingen staat apart van de expressie in de :n: rep.

In beide systemen kunnen we haakjes tellen waar het aantal geneste sets maximaal is, om het uitgedrukte getal n af te lezen. We scannen expressies l-r (van links naar rechts) en tellen sluithaakjes }.. tot we hun maximum aantal gevonden hebben: hier is dat op het eind van de expressie. We tellen vanaf de diepste 0 set {} van binnen naar buiten, wat een vereiste is voor regulariteit.

Een reguliere set kan genest worden als element van een andere set, maar nooit xx in zichzelf of in een van zijn elementen. In sets mogen geen elkaar omvattende ketens van elementen voorkomen, of oneindige ketens zonder beginset. 10 Het axioma van regulariteit stelt, dat bij het terugtellen over set elementen, altijd een minimale set te vinden is. Maar de lengte van ketens van sets worden met vanaf de diepst geneste set naar buiten toe geteld. Bij het oneindig nesten van limiet ordinalen 11 zoals omega ω, strookt van buitenaf tellen niet met regulariteit. Tellen moet bij de binnenste set beginnen.

Zonder gebruik van repetitie, door het aantal iteraties als variabele te substitueren binnen de expressie, kunnen we deze reduceren met primitieve stappen. Zo ook in de evaluatie van sets met eenvoudige en 0-eenvoudige nesten tot getallen.

  • {} ≡ 0 & {n} ≡ n1 .
  • {} ≡ 0 & {0} ≡ 1 & {0,n} ≡ n1 .

In de stapsgewijze reductie van deze holle sets tot getal, ontstaan er onderweg sets met getallen als elementen. Dit systeem van sets is geen bijectie, omdat meerdere sets evalueren tot hetzelfde getal.

Stel dat we onze eenvoudige nestgetallen gebruiken voor variabele e>0 elementen in een {E} functie array met vaste plaatsen. Dat laten we werken volgens een maximaal lineair algoritme: met optellen en opladen van getallen vormt dat een dubbele recursie.
Herhaald optellen van twee eenvoudige nestgetallen werkt dan zo:

  • {{A},{B},1Z} = {{A},{B}{A},Z} = {{A},{{B}}A,Z}
  • {B}.{..} :a1: = {{B}}.{..} :a: == {..B..}.{} :a1: = {..B..} :a1:

Laat hierin arrays die met de nul set beginnen ,{{} een separator array tussen eenvoudige variabelen in voorstellen, die hogere functie dimensies opent en op dezelfde wijze weer nest.
En laat arrays die met de 1 set beginnen, een volgend type arrays openen, die het eerdere type verdiepen en zelf afwisselend op de 0 en 1 wijze genest kunnen worden.
Enzovoort voor arrays die met n sets beginnen…

Hoe sterk is de expressieve kracht van zulke holle bolle sets ? En als niet een array tegelijk, maar meerdere arrays van gemixt type de eenvoudige variabelen scheiden…?

X

§1.5 Ordinalen

Als er in een set een begin element gegeven is, en een functie die verdere items stapsgewijs selecteert, dan is die set welgeordend.
Het keuze axioma stelt dat er altijd een manier is, om uit een set een element te kiezen: eerst e0 en zo voort de items ei. Zo kan de meest chaotische set welgeordend worden gemaakt, maar helaas is die keuze functie ietsje complexer dan de set zelf.
Grote en oneindige sets indexeren we tijdens hun constructie met inductie. De index voor een element geeft zijn plaats en/of nummer.

Soms corresponderen sets een-op-een met de verzameling van de natuurlijke getallen. Dan hebben deze sets per definitie omega ω elementen.
Zulke vergelijkingen tussen sets voerde Cantor 12 verder, ver in het oneindige door. Hij zocht oneindige limieten gebaseerd op ω om de verzameling van alle reëele getallen te kunnen tellen.

Cantor gebruikte ordinale sets om verzamelingen van getallen te representeren en zo te tellen. Voor eindige sets hoeft dat niet, want elementen krijgen natuurlijke indexen, en de rij lengte is het ordinaal getal. Maar bij oneindige sets maakt de wijze van tellen groot verschil. 13 Daar bepaalt de een-op-een correspondentie met een standaard ordinale set het aantal elementen.

Von Neumann ordinalen zijn ordinale sets met als elementen alle voorgaande ordinalen, te beginnen met de lege set, welgeordend op rij. Von Neumann vertaalde zijn ordinalen 14 een-op-een naar de natuurlijke getallen, een bijectie.

  • {} = 0
  • {{}} = 1
  • {{}, {{}}} = 2
  • {{}, {{}}, {{},{{}}}} = 3
  • {N} = n => {N}{{N}} = {N,{N}} = n1

Zowel de eerste rij lengte als de totale set diepte geven in ordinale sets het ordinaal getal. Het niveau van de diepste lege set bepalen we door in elke rij steeds rechts de grootste subset in te stappen.
De lege set {} is de unieke set 15 die niets bevat. In dit systeem worden lege sets tot getal 0 gereduceerd. Als de nul set echt niets zou zijn, moesten we al zulke items elimineren, en zou het hele holle kaartenhuis van de ordinalen tot niets vervallen.

Ordinale sets S- aftellen op 6 manieren:
verenig S = e0.ei.. alle items.
versnijd set Sem met zijn supremum.
vervang S door zijn grootste em item.
verwijder het laatste item em uit de rij.
verminder subsets ei- recursief, en/of:
vernietig alle lege sets in de diepte.
Gangbaar om lengtes af te tellen is verwijdering.

Bij gewone natuurlijke getallen 1.. gebruiken we de typisch ordinale aftel operaties niet. Ordinalen zijn een soort natuurlijke getallen, maar de ordinale structuur biedt veel meer ruimte. Wie met ordinale sets alleen een rij getallen indexeert, merkt geen verschil, maar dan verspilt men hun rijke structuur.

Als een ordinaal 1 toeneemt, verdubbelt de grootte van de expressie en wordt deze in zijn geheel genest. De complexe ordinale structuur, waar voor getal n in totaal 2^n sets zijn gebruikt, kan toch niet de fundamentele definitie van de natuurlijke getallen geven?
Optellen met ordinalen toont hoe onnatuurlijk dit is, zeker vergeleken met automatisch optellen van enen 1.. in unit notatie.

  • 2+2 = 2+1+1 = 3+1 = 4
  • {{},{{}}} + {{},{{}}} = {{},{{}}} + {{}} + {{}} = {{},{{}},{{},{{}}}} + {{}} = {{},{{}},{{},{{}}},{{},{{}},{{},{{}}}}}
  • 22 = 1111

Er is nog een probleem met omega ω. We zagen in §1.4 dat de eenvoudige nestgetallen al voldoende expressief waren om de natuurlijke getallen weer te geven. Nu heeft iedere ordinale set alle eerdere ordinalen als subset. Dus waar enen 1.. één keer naar limiet ω gaan, gebeurt dat binnen de ordinale structuur oneindig veel keren. …Zou dat ten koste gaan van de eenduidigheid van ordinale getallen?

X

§1.6 Waarden

Door 1 op te tellen bij een ordinaal, neemt de set rij met 1 element toe en verdiept de set nesting met 1 niveau. Lengte en diepte groeien parallel aan het ordinaal getal. We kunnen stellen de maten van beide dimensies in sets even belangrijk zijn.
Om de set structuur te waarderen nemen we nu de som van diepte en lengte, zoals dat ook bij ordinale sets werkt. Deze waardering vormt geen welordening, want de som kan groter worden dan de rij lengte alleen, en is dus ongeschikt om de elementen in een set te indexeren.

De set structuur is dezelfde als die van een array met rij van rijen van elementen, zonder dat de regel voor sets, dat elk item in een rij uniek moet zijn, daar al opgelegd is.
Naast lengte en diepte speelt ook de getalswaarde van elementen mee. Getallen zijn immers uit te drukken als ordinalen en vice versa.

Zo waarderen we arrays en sets net als ordinalen:

  • {0,{0},{0,{0}},{0,{0},{0,{0}}}}{0,1,{0,1},{0,1,{0,1}}}{0,1,2,{0,1,2}}{0,1,2,3} ≡ 4
  • {{{0},1},{2,3},4} = {{1},{2,3},4} = {2,{2,3},4} = {2,4} = 5
  • [[[0,0,0,0],1],[2,3],4] = [[4,1],[2,3],4] = [5,[2,3],4] = [5,4,4] = 6

Door geneste sets vanuit de diepte l-r te vervangen door een getal, determineren we elke set. Zo worden ordinale sets iteratief tot hun ordinaal getal herleid 16 en soortgelijke structuren, andere sets en arrays, tot hun ordinale waarde.

Stel nu dat we een getal of parameter koppelen aan elke geneste array. Dan verandert de set structuur in een geneste functie array, waar de sets de parameters indexeren. Maar de output van zo'n array hoeft geen groot getal te zijn. We kunnen de waarde van deze structuur ook weer met optellen determineren.

Ordinale evaluatie van items, lengte, diepte in sets:
Loop in een rij S langs de items. Als een item een rij is, loop daar dan in verder als in S.
Als S de lege set is, zet er waarde 0 voor in de plaats.
Als de rij lengte r>ei groter is dan de waarde van elk item, vervang dan S door waarde r.
Zoek anders het grootste item emei en vervang S door em1.
Ordinale evaluatie van parameter en set in arrays:
Zodra een index array zijn waarde heeft, telt de gekoppelde eipi parameter erbij op.

In geneste functie arrays bepalen parameters op verdieping d1 de index array waarde voor een gekoppelde parameter op verdieping d. Voor de totale array volgt de waarde pi.. :d door herhaaldelijk optellen. Ofwel w*w als we parameters en diepte de waarde w geven.

Dit bewijst dat er een geneste functie is, waarin elke variabele en elke dimensie significant kan zijn, die even langzaam of weinig expressief is als vermenigvuldiging.
Dit in contrast met de hogere array functies, die met dezelfde geneste structuur razend snel groeien en enorm grote getallen produceren.

De virtuele parameter die we rechts aan sets kunnen koppelen is {X}0 nul. Dan blijken sets nog relatief expressief te zijn, want in functie arrays negeren of elimineren we zulke separatoren bij de tot 0 of 1 afgetelde parameters.

Welke setwaarde natuurlijk is is moeilijk te bepalen.
Gewoon tellen van een verzameling objecten geeft de rij lengte of de kardinale waarde w.
Een set met een genest element of rij lengte w op diepte w kreeg ordinaal de waarde w*2.
Een verzameling getallen die we optellen, heeft een orde van grootte van waarde w*w.
Tellen we alle waarden in geneste sets op vanaf diepte w, dan is het totaal ongeveer w^w.

De structuur van sets en arrays sommeert tot de waarde w^w, wanneer we in elke rij steeds w rijen nesten tot maximaal een diepte w vanaf de basis. Dit vormt een matrix met gelijke dimensies, waar in de diepste rij elk element 1 is.

[[[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]],
 [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]],
 [[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]]]
= [[3,3,3],[3,3,3],[3,3,3]]
  = [9,9,9] = 27.

Zoals in een volgend hoofdstuk de geneste structuur van index array en getal in functie arrays de waarde w^^w zal krijgen door optellen en opladen van constante w, de aas. Zo'n geneste radix functie noemen we een Aasjager. De waardering ervan overtuigt ons als natuurlijk voor deze structuur.
Vandaar dat we de structuur van sets, als voorganger van de geneste functie arrays, het best de natuurlijke waarde w^w toekennen. Met de introductie van index arrays wordt de komma , separator overbodig.

Cantor telde elementen van sets met behulp van ordinalen. 17. Toch lijken de ordinalen de drie set tekens {,} te verspillen door er enkel natuurlijke getallen mee weer te geven. We zagen in §1.4 al, dat de expressieve kracht van holle bolle sets, waar eenvoudige nestgetallen in plaats nemen, snel explosief wordt.
Tellen is het zuinigst te funderen met units 1. Ordinale sets zijn erg verkwistend. Tenzij… iemand de extra faciliteiten voor op en aftellen, die Von Neumann ordinalen in §1.5 boden, elegant weet te benutten?

A. De natuurlijke getallen kunnen we met louter cijfers 1 uitdrukken in wat ik noem: hun eenvoudige vorm in Constructie van Grote getallen (2009) met links naar gg's oudere weblogs.
1. Combinaties van het ding 1 met zichzelf, in David Hilbert "On the foundations of logic and arithmetic" 1904, p.131 in "From Frege to Gödel" 1967.
2. Een operatie s, die intuitief gedacht 1 optelt, III.67 in "The Princeton Companion to Mathematics" 2008.
3. Opbouw van de ordeningsstructuren, p.43-49 in "Sesam Atlas van de wiskunde 1" 1977.
4. Er is altijd een eerstvolgend getal dat nog niet gebruikt is, ch.10 in Conway & Guy "The Book of Numbers" 1996.
5. Alle elementen van sets moeten zelf sets zijn, p.89 in Manin "A Course in Mathematical Logic for Mathematicians" 2010.
6. Tellen is gewoon het vervangen van de onhandige standaard set door cijfers, ch.1 in Thurston "The Number System" 1956.
7. Een bepaalde niet ter zake doende structuur, h.11 in Halmos "Intuïtieve Verzamelingenleer" 1968.
8. De < relatie tussen de natuurlijke getallen is per definitie de relatie, ch.1.10 in Malitz "Introduction to Mathematical Logic" 1979.
9. Een set tellen betekent zijn elementen op die manier te ordenen, in Pohlers "Proof theory" 2009.
10. Er bestaat geen oneindig afdalende serie, ch.4 in Mendelson "Introduction to Mathematical Logic" 1964.
11. Ordinaalgetallen die geen onmiddelijke voorganger hebben noemt men limiet ordinaalgetallen, h.2.3 in Horsten "Eindig, Oneindig, meer dan Oneindig" 2004.
12. Georg Cantor "Contributions to the founding of the theory of transfinite numbers" 1895 & 1897, p.1137 in "God created the integers" 2007.
13. De valkuil om te denken dat kardinalen en ordinalen gelijk zijn, ch.13 in Clegg "A brief history of Infinity" 2003.
14. Iedere ordinaal is de set van de ordinalen die eraan vooraf gaan, in John von Neumann "On the introduction of transfinite numbers" 1923, p.347 in "From Frege to Gödel".
15. We noemen de lege set of de nul set, p.62-67 in Crossley "What Is Mathematical Logic?" 1972.
16. Elke welgeordende set is isomorf aan een uniek ordinaal getal, theorem 2.12 in Jech "Set Theory" 2006.
17. Ordinalen uitgedrukt als polynomen met machten van ω, .11.7 + exercises, in Rogers "Theory of Recursive Functions and Effective Computability" 1967.
Gulliver meegevoerd door de Lilliputters op een groot bed

Blogboek  index

  1. Tellen
    1. Nul
    2. Enen
    3. Optellen
    4. Sets
    5. Nesten
    6. Ordinalen
    7. Waarden
  2. Tillen

© 2017
Giga Gerard