Reuzen Getallen Bouwerij

bij Giga Gerard

“Kom mee naar buiten allemaal,
Dan zoeken wij de wielewaal.
En horen wij die muzikant
Dan is zomer weer in 't land!”

Canon

X

§3. Dieper

In de vorige serie blogs §2 ontwikkelden we een plan voor het maken van grote getallen. Onze nieuwe blogs bouwen we van de grond de diepte in, met geneste arrays en het diepen zelf, in Giga Gerard’s
„Reuzen Getallen Bouwerij”.
Iedere array kan uitgebreid worden tot een diep. Wat de bouwmeester diepen noemt is een serie van geneste arrays [Xi].. die elkaars nest diepte recursief expanderen.
Nadat een index array [][1X] is leeggeteld, blazen de tellers in de diepe array erna het aantal geneste niveau's ervoor recursief op.
Met diepen na de top array geven we een type index getallen aan, met name de groter eindige ψi limieten of hoger oneindige ωi.

Ons Vogel systeem is een simpele benadering van de array notaties van Chris Bird.0 Omdat dit Vogel telraam gelijk op gaat met Bird en goed vergelijkbaar is met de Wielewaal, zal er uiteindelijk een nieuw wereldrecord getal voorbij ons glas Guinness komen vliegen.
Als de evaluatie van een expressie wel in theorie uitvoerbaar is, maar fysiek gezien liever niet, dan heet de uitkomst ervan groot. Al deze arrays geven als uitkomst reusachtig grote getallen.

Lectori salutem Dudeldjo en anders niet.

X

§3.0 Supertrio

Natuurlijke getallen schrijven we met het teken 1 als een serie enen 1.. en variabelen a en b tellen direkt op als ab.
De unaire 1 is eenheid van getal en het minus teken - eenheid van aftelling. Zo komt 1-=0 leeg en getallen n1 nemen af - tot n.
Dit is onze unit notatie voor getallen. Dan staat 2 voor 11, teken 3 voor 111, de 4 voor 1111, enzovoort.
Grotere getallen in het tientallig stelsel schrijven we liever 108. met decimale punt. Bird's arrays zijn omgeven door krulhaken {Y} en we tellen er nog schools in op +1 en af -1.

Reeksen binnen expressies noteren we met repex zo:
Met ^{n} herhalen we het ^ macht teken n keer, wat trouwens gelijk is aan *{n1} bij supersterren.
Met punten selecteren we een .groep.. tekens en de rep herhaalt die groep :n aantal keer op zijn plaats. Tijdens deze repetitie nemen de indexen i of j naar rechts toe van 1 tot n. Ook zijn er tweezijdige reps :n: en reps n: die incrementeren naar links. Het wijst zichzelf.

In dit blog bouwen we een Wielewaal systeem, waar de variabele a substitueert in een Aasblazer superradix structuur. We verdubbelen onze aasbel en schuiven een kopie ervan naar rechts om lege ,0 tellers ,a op te laden. In ruil telt deze evaluatie - een hogere teller af. Zo lossen we de hele functie rij op, terwijl laatste ,] posities afvallen en de bel naar de uitkomst toe groeit.
Zo'n array systeem waar een basis variabele door primitief optellen, de lege *{0} operatie, groeit en tellers rechts in de rij substitueert, noemen we een tellerij [number array]. Getal bij getal.

Knuth's pijl operaties a^{c}b gingen sneller van start. Ook bij Bird en Vogel hebben supermachten maar drie {a,b,c} parameters. Samen zijn aas a, bel b en super c de tellers van het supertrio.
Deze compacte structuur heeft maximale output, omdat het systeem met elke superstap c-1 een subexpressie nest in plaats van de bel. Die $ is een kopie van de expressie met een stap b-1 minder.
Een array systeem waar een variabele door functie substitutie groeit en deze groeibel de lege tellers van alle hogere iteraties oplaadt, noemen we een telraam (function array). Raam $ in raam.

Vermenigvuldiging * is de eerste herhaling. Het is jammer dat Bird, net als Knuth en Conway trouwens, met machtsverheffen ^ begint. Natuurlijker is om met drie parameters V(a,b,c) de supersterren a*{c}b = a^{c-}b weer te geven, zoals we in Vogel doen.

Vogel trio definitie V.O.

  • V.0. (a) = a
  • V.1a. (a,1) = (a) V.1b. (a,b1) = (a,b)a
  • V.2. (a,b,1) = (a,b)
  • V.3. (a,1,c) = a
  • V.4. (a,b1,c1) = (a,(a,b,c),c1)

Alle variabelen zijn unaire getallen 1.. :n>0 want in Vogel staan tellers in de top array nooit leeg. Deze voorwaarde moet duidelijk maken, welke regel(s) van toepassing zijn op de expressie.

Op het demonstratiebord hieronder evalueren we het Vogel trio tot de supermachten, zoals van Knuth en Bird.
Klik op dit dynamische bord <!--> om extra voorbeelden te tonen, of toets Ctrl-U en bekijk deze in de pagina bron.

  • (a,2) = (a,1)a = (a)a = aa
  • V(a,wb) == (a,w).a.. :b == a..a.. :w :b = a.. :wb = a*wb
  • (a,2,2) = (a,(a,1,2)) = (a,a) = a*a = a^2
  • (a,b1,2) = (a,(a,b,2)) == (a,..a..) :b: = a*..a :b = a^b1 = {a,b+1}
  • (a,wb,3) == (a,..(a,w,3)..,2) :b: == (a,..a^^w..,2) :b: = a^..a^^w :b = a^^wb
  • V(a,b1,c1) = (a,(a,b,c1),c) == (a,..a..,c) :b: = a*{c}(..a..) :b: = a^{c}b1 = {a,b+1,c} <!-->

Misschien kon Hilbert in 1925 nog niet zonder functie indexen voor zijn hoger recursieve functies; in het bewijs van Ackermann uit 1928 werd de voorganger expressie zonder omweg genest.
Van hun parameter trio bleven in Péter's functie de twee tellers over, waarbij de constante a=2 impliciet gegeven is (met wat extra).

Het lijkt spectaculair om functies zo'n snelle start te geven, maar vanuit het oogpunt van geneste arrays maakt het weinig uit (slechts één nest niveau, blijkt later). Als we over een rij tellers de supermachten bouwen en bel b naar rechts opladen (tellerij), dan hoeven we geen subexpressies te nesten (telraam).

In de box waarderen we met het opladen van aas a de array structuur en met het opladen van bel b de systeem regels. Of deze traagste structuur en dit snelste algoritme ooit bij benadering samenvallen (convergeren, zoals geneste arrays met óf zonder subexpressie recursie dat later doen) is nog onduidelijk…

# Blazers 3.0

Binnen een rij structuur (zonder lengte limiet) laden we lege tellers op met een constante a. Zulke expressies noteren elk getal in radix a.

Definitie À.I van de Aasgier rij.

  • À.0. a[b] = b
  • À.1. a[R,] = a[R]
  • À.2. a[b,1R] = a[ab,R]
  • À.3. a[b,{n1}1R] = a[b,{n}a,R]

In de komma array is bij natuurlijke getallen regel À.2. voor optellen een geval {n=0} van regel À.3. voor opladen. Maar bij series van Cantor's oneindige getallen a=ω is omkeren ergens wel nodig.
De rij expressie stopt, wanneer we gaan nesten na a[,{a}1]- wat decimaal het getal 9999999999. oplevert.

Dit Aasgier systeem kunnen we met geneste arrays uitbreiden tot een tetratie superradix, als bij Aasblazer nesten. De Aasgier notatie verschilt, als we indexen in onderste rijen scheiden met komma's.
Aas a is een radix 10 naar keuze. Dit systeem evalueert als een superradix, waarbij alle rij lengtes en tellers 0pa zijn. En als in de input 0<p<a geldt, dan geven geneste arrays (zonder diepte limiet) alle natuurlijke getallen uniek weer.

Met geneste superradix arrays drukken we een getal uit, dat niet eens een macht van a groter is dan de lengte van de tellers in de top array, mits alle lege tellers erbij staan. Min alle index arrays is de expressie lengte nog een factor kleiner en bovendien wordt die ene exponent steeds insignificanter.
Diep genest en met komma's (nullen) is Aasgier bij benadering een minimaal algoritme (net als unaire notatie) en geeft dus een maat voor pure structuur zonder de regels.


In Bellenblazer telt de primitieve stap aas a op bij bel b, maar over de lengte van de rij worden er supermachten uitgedrukt. We positioneren met unieke indexen en substitueren subtotalen b.
Stel dat we ook in Bellenblazer tellers tot p=0 aftellen, maar toch dezelfde input en output willen schrijven, dan moet de oplaadregel worden aangepast.

Definitie Buizerd rij functie B.I met komma's.

Opladen in Buizerd zouden we op allerlei manieren kunnen variëren: groot, groter, grootst. En toch is dit niet significant voor de uitkomst.

  • a[b,{n1}1R] <≈ a[a,{n}b,R]
  • <≈ a[b,{n>0}b,R]
  • <≈ a[ab,{n>0}b,R]

Deze oplaadregels produceren steeds minder natuurlijke output. En ondanks de minieme versnellingen blijven ze bijna een ^ supermacht achter lopen bij ons Wielewaal systeem. Waar precies de verschillen insignificant worden is lastig om uit te vogelen…!

We zullen Vogel en Bird nu vergelijken met een nieuwe array functie, die we noemen naar de illustere trekvogel uit een zomers lied. Onze Wielewaal tellerij dupliceert getallen en verschuift ze.
De primitieve functie van Wielewaal is kopiëren en optellen. Tel een kopie op en het getal a verdubbelt tot aa. Herhaal dit c keer en het totaal a*2^c groeit exponentieel.

Na deze machtige start noteren de tellers rechts in de rij nog hogere iteraties of vormen van herhaling. En we schuiven subtotaal a door naar rechts om lege tellers opnieuw op te laden.
Zo leest de lengte van de eerste rij als de superexponent ^{r} van de uitkomst van de expressie. We maken supergrote getallen, ongeveer (maar niet exact) die van Knuth's pijlen.

Definitie Wielewaal rij functie W.I.

  • W.0. [a] = a
  • W.a. a[1R] = a1[R]
  • W.1. [R,] = [R]
  • W.2. [a,{n1}1R] {n0} = [a,{n}a,R]

Elke iteratie stap telt 1 af en we gaan door tot de teller 0 is. Zolang parameters geen positie index krijgen, moeten we de komma's ,, voor hun lege pi=0 plekken laten staan.

De Wielewaal functie gaat snel van start door ab (tegelijk aas en bel) te verdubbelen. Door dat te herhalen domineert de macht 2^c de uitkomst, maar daarna vlakt dit voordeel af. Zonder subexpressie nesten blijft de hele rij achter bij die van Vogel.
Klik op de borden <!--> voor uitwerkingen met concrete getallen.

  • a[1b] = a1[b] == ab1[] = ab1
  • a[b,1] = ab[,1] = ab[ab] = ab*2 = V(ab,2)
  • a[b,1c] = ab*2[,c] = ab.*2.. :c1 = ab*2^c1
  • a[,,1] = a[,a] = a*2^a ≈> V(2,a1,2) {a>1}
  • a[b,c,1] = ab*2^c[,,1] ≈> 2^c1[,ab*2^c] = 2^(c1+ab*2^c) ≈> V(abc,2,3) <!-->

De linker expressie is ongeveer groter dan ≈> de rechter expressie, als de linker output een vrij goede benadering geeft en groter is voor niet te kleine input waarden.

Voor waardes a=b=c=1 in de vergelijking hierboven gaat dat al op, want 2^5 > 3^^2 brengt ons over het kantelpunt heen. Hier luistert de 2^2^6 > 3^^3 minder nauw, maar hoger in de machtstoren zal 2^^d\^6 > 3^^d1 die verhouding in stand houden.

  • a[b,c,2] ≈> 2^(c1+ab*2^c)[,,1] ≈> 2^2^(c1+ab*2^c) ≈> V(abc,3,3)
  • a[b,c,d] ≈> 2^^d\^(c1+ab*2^c) ≈> V(abc,d1,3)
  • a[,,,1] = a[,,a] = a*2^a[,,a-] ≈> 2^^a\^a1 {a>1} ≈> V(a1,a,3) <!-->

Met drie tellers bouwt Wielewaal een toren van exponenten. Dit vormt na + * ^ de nieuwe operatie ^^ van tetratie.

Als a wat kleiner is maakt dat op deze schaal, waar het basis 2 logaritme van a optelt bij de hoogste exponent, bijkant niets uit.
We noteren Wiel nu in pure array vorm.

  • [a,b,c,1] ≈> 2^^c\^(a*2^b)[,,,1] ≈> 2^^2^^c\^(a*2^b) ≈> V(ab,(ab,c1,3),3)
  • [a,b,c,d] ≈> 2^^^d1\^^c\^(a*2^b) ≈> 2^^^d1\^^c1\^b1 ≈> V(abc,d1,4)
  • [a,,,,1] = a[,,a,a-] ≈> 2^^a\^a[,,,a-] ≈> 2^^^a\^^a1 {a>1} > V(a,a,4)
  • [a,b,c,d,e] ≈> abc^^^^e1\^^^d ≈> V(abcd,e1,5)
  • [a,{r1}1] = a[,{r}a] ≈> 2^{r}a\*{r}a > V(a,a,r1) <!-->

Zo bestrijkt onze Wielewaal tellerij W.I in de hele eerste rij de supermachten. Terwijl het Vogel V.O telraam volstaat met drie parameters. Net als Bird en Conway's pijlketens trouwens.

  • [a.,pi..] :r ≈> 2..^{i}pi1\. +Log(a/2) r: ≈> V(a.pi..,pr1,r1) :r- > apprr

De supersnelle bel b van Vogel en Bird komt niet gratis. Die recursie nest subexpressies, wat telbare haakjes kost / kostbare haakjes telt. Extra tekens om expressies (.. in de bel ..) te openen en sluiten, naast haakjes voor de separator [ arrays ] dus.
Bij Wiel regels zijn geen ronde functie haakjes nodig. We hoeven er alleen te voorzien in arrays.

In de box zagen we Buizerd functies de bel omhoog blazen. Zo krijgen we vrijwel even grote getallen als Wielewaal, omdat alleen de basisregel verschilt. Door superoperatoren ^.. te tellen vangen we een glimp van de onvoorstelbare grootte ervan.
Zouden er nog andere methoden zijn dan bel b opladen om zulke supergrote getallen te bouwen over een rij…?

X

§3.1 Toprij

In dit blog vergelijken we ons Vogel algoritme met de lineaire array van Chris Bird.1 In dezelfde rij structuur loopt Vogel volledig parallel aan Bird en produceert maximale (bij benadering grootst mogelijke) getallen. Daarom heet dit de toprij.
Bird's systeem is tamelijk uitgebreid, maar we hebben het in appendix U enigszins versimpeld. Ons Uil systeem voor de lineaire array U.I voegt twee van Bird's dominante regels samen. Exact dezelfde input expressies en output getallen blijven geldig.

We vergelijken Bird via systemen U en dan V met W. Het vorige blog §3.0 behandelde drie parameters: het supertrio van U.O > V.O met de supermachten a^{c}b versus a*{c}b, waar in W.I ondanks de snelle opstart een hele rij voor nodig was.
Bird als Uil substitueert $ subexpressies ook in hogere tellers op zijn array rijen. Dat is overbodig, we zullen in ons Vogel telraam deze expressie met 1 stap minder $ alleen nog in bel b nesten.

Vogel rij definitie V.I.

  • V.0. (a) = a
  • V.1. (a,1b) = a(a,b)
  • V.2. (R,1) = (R)
  • V.3. (a,1,R) = a
  • V.4. (a,1b,1R) = (a,(a,b,1R),R)
  • V.5. (a,b.,1..R) :k2 = (a,a.,1..b,R) :k1 == (a,a,1.a,..b,R) :k

Als een eerdere regel uit de lijst een match vormt met de expressie (of subexpressie), krijgt deze = voorrang in de evaluatie.
Afkorting R staat voor de rest van de array: een rij van recursie tellers of parameters pi>0. Woord R begint dus met een 1.. getal.

De Vogel toprij volgt Bird's lineaire array, alleen Vogel's super teller c loopt consequent - achter.

  • (a,2,2,2) = (a,a,1,2) = (a,a,a1) = a^{a}a = {a,2,1,2}
  • V(a,b1,2,2) = (a,a,(a,b,2,2)+1) == (a,a,..a..1) :b = {a,b+1,1,2}
  • (a,2,3,2) = (a,a,2,2) = {a,2,2,2}
  • (a,b,3,2) = {a,b,2,2}
  • V(a,b,c1,2) = {a,b,c,2}
  • (a,2,2,3) = (a,a,a1,2) = {a,2,1,3} <!-->

Door bij superexponent c een 1 op te tellen, ondervangen we in Vogel zowel de begin * versus ^ achterstand, als de functie substitutie rechts bij Bird. Zodoende nest regel V.4. in b een extra subexpressie, die regel V.5. oplaadt. En komen we gelijk op de rij.

  • V(a,b,2,3) = {a,b,1,3}
  • (a,2,c1,3) = (a,a,c,3) = {a,2,c,3}
  • V(a,b,c1,d) = {a,b,c,d}
  • (a,2,2,1,2) = (a,a,a1,a) = {a,2,1,1,2}
  • (a,b,c1,1,2) = {a,b,c,1,2}
  • (a,2,2,1,1,2) = (a,a,a1,a,a) = {a,a,a,a,a}
  • (a,2,2.,1..1) :k = {a,2.,1..1} :k+1 <!-->

Om voorbeelden uit te werken, klik op de <!--> borden. Blijkt dat expressies in Vogel met de aanpassing c+1 steeds exact gelijk zijn aan die van Bird over de eerste rij.

  • V(a,b,1R) = {a,b,R}

Uitwerking == van regel V.5. geeft derde teller c er 1 bij, zodat rechts opladen van b1 in Vogel de functie substitutie van Bird daar vervangt. Dit bewijst dat beide lineaire arrays gelijk op gaan.


Nu Bird's lineaire array naar de Vogel toprij is omgezet, vergelijken we deze met ons Wielewaal systeem.
Weliswaar startte Wiel in §3.0 sterk met verdubbeling in bel a, maar daarna viel de functie snelheid terug. Zonder expressie $ nesten kost het een hele rij om supermachten uit te drukken.
Hierna zal onze a tellerij meerdere dimensies gebruiken, om even grote getallen te maken als een telraam met $ in zijn rij dimensie.

We positioneren tellers met behulp van indexen en itereren daarover in geneste arrays. Onze superradix indexering pakt natuurlijker uit dan Bird's herhaalde separatoren, hoewel onze structuur twee keer zo diep genest zal zijn, zie box 2.6.
Afgetelde iteraties herladen we met een kopie van bel a, maar anders dan in Bellenblazer blijft onze verdubbel bel op zijn plaats staan. Zo garanderen we, dat het getal a bij substitutie maximaal blijft. Dit is niet triviaal, gezien de bewerkelijke cascade van het herladen van Bellenblazer's index arrays.

De Buizerd varianten op bellenblazer, die we in box 3.0 zagen, zijn slechts insignificant trager dan Wielewaal. Met Buizerd schrijven we net als het Vogel trio *{c} supermachten.
De exacte supermacht getallen noemen we natuurlijk. In die zin is Wiel met verdubbelen al vanaf het begin onnatuurlijk, hoewel de functie definitie daardoor makkelijker is.

Onze scanner zoekt bij een regel A`=B vanaf links in de expressie een match voor het deel A om dit te vervangen door de term B. Regels die de hele expressie = evalueren gaan voor. Bij equivalentie kan een term overal in de expressie worden vervangen.
We hebben geen precedentie door volgorde van de regels nodig, zoals Bird. De meest linkse match in de expressie wordt verwerkt.

Definitie Wielewaal nest functie W.II.

  • W.0. [a] = a
  • W.1. ,[S]00
  • W.2. ,[]0
  • W.3. ,[1S]1 `= ,[S]a,[1S]

Bij regel W.3. staat variabele a voor het actuele subtotaal. Dit wordt binnen de array [a,R] verzameld, of erbuiten a[,R] als hulpregel W.a. voorrang krijgt.

Hulpregels W.ii voor geneste arrays in Wielewaal.

  • W.a. a[1T] = a1[T]
  • W.b. [,{n}1 := [,[n]1
  • W.c. ,[m]p1,{n}1 := ,[m]p1,[mn]1

Zo kunnen we de eerste rij van een subarray met gewone komma's vertalen := naar complete indexering.
Voeg aan het begin van array [p,T] met hulpregel W.b. of door omkering =: van regel W.2. een lege sep [,[]p,T] in. Dan kan hulpregel W.c. de komma bereiken [,[]p,[1]T] en neemt regel W.2. de eerste stap terug voor het beoogde [p,[1]T] resultaat.

Uiteindelijk willen we onze arrays vergelijken met de geneste arrays van Bird4. Met de Wielewaal rij van W.I benaderden we drie Vogel tellers, dus eerst moeten we de toprij van Vogel V.I nog inhalen.

  • [a,[,1]1] = a[,{a}1] ≈> a*{a}a = V(a,a,a)
  • [a,[1,1]1] = a[,[a]a] ≈> a^{a}a = V(a,a,1,2)
  • [a,[2,1]1] = a[,[1,1]a] = a[,[a]a,["]a-] ≈> (a,a,1,2)[,["]a-] ≈> (a,..a..,1,2) :a: = V(a,a1,2,2)
  • [a,[3,1]1] = a[,[2,1]a] = a[,[-"]a,["]a-] ≈> (a,a1,2,2)[,["]a-] ≈> (a,..a..1,2,2) :a: ≈> V(a,a1,3,2)
  • [a,[,2]1] = a[,[a-,1]a] ≈> (a,a1,a-,2)[,["]a-] ≈> V(a,a1,a,2) aaaa <!-->

Klik op de dynamische <!--> borden om expressies te tonen met meerdere variabelen.
We kunnen naar een gegeven array (of expressie) verwijzen met een dubbele quote ["] of voor de variatie ['] met een enkele quote. En tellen ze links [-"] of soms rechts ["-] af.

De vergelijking van geneste arrays met Conway's pijlen in §2.6 toont meer detail. Onder breiden we de vier schakels van Conway's notatie uit naar de hele a..1 pijlketen en later naar onze extensie {a} met superpijlen.

Wielewaal maakt voortgang door subtotaal a herhaald te substitueren in de dominante lengte teller. Dit is recursie over de eerste index van een rij parameters, wat die rij lengte expandeert.

  • [a,[1,2]1] = a[,[a,1]a] ≈> (a,a1,a1,2) ≈> V(a,a,1,3)
  • [a,[2,2]1] = a[,[1,2]a] = a[,[a,1]a,["]a-] ≈> (a,a,1,3)[,["]a-] ≈> (a,..a..,1,3) :a: ≈> V(a,a1,2,3)
  • [a,[,3]1] = a[,[a,2]1] ≈> V(a,a1,a,3)
  • [a,[1,3]1] = a[,[a,2]a] ≈> V(a,a,1,4)
  • [a,[2,3]1] = a[,[1,3]a] = a[,[a,2]a,["]a-] ≈> (a,a,1,4)[,["]a-] ≈> V(a,a1,2,4)
  • [a,[,,1]1] = a[,[,a]1] = a[,[a-,a-]a] ≈> V(a,a1,a,a) a..a :a1 <!-->

In ons systeem met indexen voor alle teller posities deelt de 2e index een matrix van twee dimensies in: het Wielewaal vlak. Terwijl Bird of Vogel pas de 4e parameter in de rij gebruiken.

Opent het tweede vlak in de derde dimensie. Overgang naar nieuwe recursies vraagt altijd extra aandacht, maar evaluatie van de verdere index array in Wiel zal voorspelbaar verlopen.
Klik het bord om vergelijkingen te tonen tot de 3e index in Wiel en de 5e parameter in Vogel. Aan de hand van vlak en nu dan Wielewaal kubus wordt de generalisatie tot matrix dimensies duidelijk.

  • [a,[1,,1]1] = a[,[,a]a] ≈> (a,a1,a1,a) ≈> V(a,a,1,1,2)
  • [a,[,1,1]1] = a[,[a,,1]1] ≈> V(a,a1,a,1,2)
  • [a,[1,1,1]1] = a[,[a,,1]a] ≈> V(a,a,1,2,2)
  • [a,[2,1,1]1] = a[,[1,1,1]a] ≈> V(a,a1,2,2,2)
  • [a,[,2,1]1] = a[,[a,1,1]1] ≈> V(a,a1,a,2,2)
  • [a,[,[2]2]1] := a[,[,a,1]1] ≈> V(a,a1,a,a,2)
  • [a,[,[3]1]1] := a[,[,,a]1] = a[,[a-,a-,a-]a] ≈> V(a,a1,a,a,a)
  • [a,[,[4]1]1] ≈> V(a,a1,a,a,a,a)
  • [a,[,[,[1]1]1]1] = [a,[,[a]1]1] := a[,[.a-,..]a] :a ≈> V(a,a1.,a..) :a a{a}2 <!-->

Per Wielewaal dimensie [n] komt er een superpijl bij, die de lengte van de voorgaande {n} opblaast. Zie de Bellenblazer matrix van §2.7 waar elke dimensie een nieuwe recursieve functie toevoegt. Van de dubbele recursie van Knuth's pijlen, over Conway's pijlketen, naar de verschillende superpijl recursies.

De tellers op de Vogel rij vinden stuk voor stuk hun gelijke in de indexen van Wielewaal dimensies op het tweede array niveau.

  • [a,[c.,[i]di..]b] :n := a[,[c.,di..]b] :n V(a,1b,1c.,1di..) :n

Wiel separator index c is het aantal tellers, dat in de rij direkt links van deze sep komt te staan. Zo geeft index d1 het aantal voorgaande rijen in de 2e dimensie, het vlak links. Index di telt in het algemeen de i dimensionale ruimtes links erboven in dimensie i+1.
In alle ruimtes krijgen tellers eerst de waarde a. Ook de rij lengtes en maten van dimensies verder naar links worden a tot aan de basis toe. Terwijl we deze voorgevoegde ruimtes evalueren, groeien de tellers en maten die we daarin opladen recursief. Zodat, wanneer b- opnieuw moet worden - afgeteld, de groeibel a' gigantisch is.

Substitutie met $ subexpressies is aanvankelijk oppermachtig, maar Wiel rijdt met multidimensionale arrays pal naast Bird's lineaire array.
We zijn dan wel twee niveau's dieper genest:
1. Enkele index arrays door de langzame start met optellen versus subexpressies in de bel. Wiel rij Bird's drietal.
2. Een even index niveau (oneven array niveau) door de structuur van unieke seps versus sep herhaling in ruimtes. Wiel matrix Bird's rij.

Wezenlijk is het functie algoritme van Wielewaal even snel als dat van Vogel en Bird, alleen de structuur verschilt. Door alle posities apart te indexeren worden Wiel arrays dubbel genest.
Vogel en Bird herhalen separatoren binnen hun array ruimtes, zodat er lengte ontstaat. Dit aantal kunnen we noteren met een index. Tellers krijgen in de Wiel per definitie een eigen index, maar we mogen ook komma's op de eerste en binnenste rijen gebruiken.

Aasblazer in §2.4 breiden we met rijen komma's uit tot Aasgier geneste arrays. Omdat we de constante aas a opladen, wat bij benadering minimaal is, gelden deze expressies als maat voor de structuur van Wielewaal.
Aasgier arrays tot a[,[,[,1]1]1] schrijven in radix a=10 getallen tot 10^10^10. Astronomisch groot, maar ordes kleiner dan als we bellen b blazen. En toch, bedenk eens hoe weinig van deze getallen ooit fysiek onder ogen gezien (kunnen) worden…!

X

§3.2 Maxtrix

Een matrix is een dimensionale ruimte, waar op iedere gegeven punt positie een getal genoteerd staat. Maxtrix betitelt hier een maximale multi-dimensionale array, bijzonder die van Chris Bird.2
Dat een getal of teller zelf uit een rij enen 1.. bestaat, ter lengte :n van het getal, blijft buiten onze ruimtelijke beschouwing.

Zo vormt een rij tellers de eerste dimensie. Het snelste algoritme is daar Bird's lineaire array, die we in §3.1 in de Vogel toprij hebben omgezet.
De substitutie van $ subexpressies (dubbele recursie) in bel b en het daarmee opladen van afgetelde tellers levert de grootste getallen op. We noemen zulke maximale functie arrays telramen.

In een tellerij groeit bel b, die we over de rij en verdere dimensies schuiven, door unair ab optellen (primitieve recursie). Ons Wielewaal systeem is zo'n tellerij. En Wiel's output in meerdere dimensies vergeleken we met die van Vogel of Bird's telraam:
Supermachten op de 1e rij in Wielewaal met de 3e teller van Vogel. Wiel rijen in het 2e dimensie vlak met Vogel's 4e teller, net hoe Bird de rij pijlketens van Conway benaderde.
Etcetera, Wiel's dimensie d met Vogel's teller d2 in de toprij.

In dit blog evenaren de verdere matrix dimensies in Vogel de multi-dimensionale arrays van Bird. Beide algoritmes evalueren de input matrix tot maximale output. Alleen in hogere structuren kunnen we significant grotere getallen produceren.
Om ondanks de langzaam groeiende bel in Wielewaal even grote getallen uit te drukken, reizen we door de hyperdimensie. In die geneste ruimte leven positie indexen, die zelf arrays zijn.

Vogel matrix definitie V.II.

  • V.0. (a) = a
  • V.1. (a,1b) = a(a,b)
  • V.a. ,p ≡ ,[1]p
  • V.2. ,[n]1) ≡ )
  • V.3. (a,1,[n]Z) = a
  • V.4. (a,1b,1Z) = (a,(a,b,1Z),Z)
  • V.5a. ,[] `= 0 => V.5b. (a,b, 1,1p {p>0} `= (a,a, 1b,p
  • V.6. (a,b ,[1n]1p {p>0} `= (a,a ,[n]b,[1n]p

Woorden Z en tellers komen bij toepassing van deze regels nooit leeg te staan. En door gebruik van hulpregel V.5b. zal er geen array leeg [0] worden geteld, wat wel gebeurt bij Bird's hoekketens.
Of vertaal een komma , met regel V.a. naar de sep ,[1] om daar met regel V.6. een bel voor te plakken. En elimineer de lege ,[0]b met regel V.5a. wat de afgetelde 1 links bij b optelt.
Evalueren we die nieuwe teller 1b gaandeweg tot 1, zodat b iteraties plaatsvinden. Op de eerste rij zorgde dit er al voor, dat Vogel V.I in de pas bleef lopen met Bird.

Passen we matrix regel V.6. nogmaals toe dan vormt zich r-l een reeks (a,$,[i]a-.. :n- waar b pas in de $ subexpressie weer verschijnt. Na dubbele recursie tot ,[1]1 voegen we teller ,[1]b' toe aan het einde van de rij. Zo reduceren we ,[2]a om de eerste rij te expanderen. En de tweede expansie komt er een groeibel aantal elementen bij. Op deze wijze verovert b langzaam alle dimensies.
Zodat onder dimensie n1 een volle ruimte met p1 dimensies n zal ontstaan. Met in elk een reeks dimensies n- van rechts lengte b- (originele bel) en naar links toe recursief grotere bel lengtes.

Vogel's regels zijn simpel vergeleken met Bird's massieve evaluatie, waarbij hij structuren exact afmeet (met lengtes b) en ze compleet vult (met tellers a). Vogel voegt de nodige elementen stap voor stap toe, eerst een lengte a en later pas een lengte die b bevat. De afgetelde elementen tussenin worden overgeslagen en Vogel loopt met zijn lengtes steeds verder uit op Bird (hoewel dit insignificant is).
Het Vogel telraam blijft een bruikbare benadering van Bird's array functie U.II geven. Bird is iets krachtiger, maar als we aan het begin van de meest rechtse rij een extra teller 2, invoegen, hoeven Vogel expressies nooit voor die van Bird onder te doen, zal nog blijken.

In de vergelijking van Vogel met Bird's arrays werken we de overgang naar de tweede rij precies uit.
Soms keren we =: onze evaluatie richting om. Voor meer detail, klik op de gescripte borden 0'>!< of zoek die items op in de bron.

  • V(a,a,[2]2) = (a,a,a,[2]1) = (a,a,a) = (a,a-,1,2)
  • (a,a1.,1..,[2]2) :k0 = (a,a.,1..,a1) :k == (a,a,1a.,a..) :k = {a,k+3[2]2}
  • (a,2,2,[2]2) = (a,a,1,[2]2) = (a,a,1,a) =: (a,a-,1,1,2)
  • (a,3,2,[2]2) = (a,(a,2,2,[2]2),1,[2]2) =: (a,(a,a-,1,1,2)-,1,1,2) ≈> (a-,3,2,1,2)
  • (a,b1,2,[2]2) == (a,..a..,1,[2]2) :b: =: (a,..a..-,1,1,2) :b: ≈> (a-,b1,2,1,2)
  • (a,b1,3,[2]2) == (a,..a..,2,[2]2) :b: ≈> (a-,..a..,2,1,2) :b: ≈> (a-,b1,3,1,2)
  • (a,b1,c1,[2]2) == (a,..a..,c,[2]2) :b: ≈> (a-,..a..,c,1,2) :b: ≈> (a-,b1,c1,1,2)
  • (a,b1,2,1,[2]2) == (a,..a..,1,1,[2]2) :b: ≈> (a,..a..-,1,1,1,2) :b: ≈> (a-,b1,2,1,1,2)
  • (a,b1,3,1,[2]2) == (a,..a..,2,1,[2]2) :b: ≈> (a-,..a..,2,1,1,2) :b: ≈> (a-,b1,3,1,1,2)
  • (a,b,1,2,[2]2) = (a,a,b1,1,[2]2) ≈> (a-,a,b1,1,1,2) ≈> (a-,b,1,2,1,2)
  • (a1,b,c,2,[2]2) ≈> (a,b,c,2,1,2)
  • (a1,b,c,d,[2]2) ≈> (a,b,c,d,1,2)
  • (a1.,pi..,[2]2) :k>0 ≈> (a.,pi..,1,2) :k > {a,k+2[2]2} {pia} 0'>!<

Staat er ,[2]2 na de eerste rij, dan is dat bijna hetzelfde als ,1,2 aan het eind. De tweede rij wordt immers pas actief, als de eerste rij is gereduceerd tot a,b met de resterende posities ,1.. afgeteld. Dan voegen we een hoogste teller ,b toe aan die rij.

Ook werkt lengte teller ,[2]1m over de eerste rij uit, alsof een serie tellers ,1.,2.. :m aan die rij zit vast geplakt.

  • (a,b,[2]3) = (a,a,b,[2]2) ≈> (a-,a,b,1,2) ≈> (a-,b-,1,2,2)
  • V(a1,b.,1..,[2]3) :k0 ≈> (a,a1.,1..,b,1,2) :k =: (a,b-.,1..,2,2) :k1 > {a+b,k+4[2]2}
  • (a,b1,2,[2]3) == (a,..a..,1,[2]3) :b: ≈> (a,a,1,..a..,[2]2) :b: ≈> (a-,b1,2,1,2,2)
  • (a,b1,3,[2]3) == (a,..a..,2,[2]3) :b: ≈> (a-,..a..,2,1,2,2) :b: ≈> (a-,b1,3,1,2,2)
  • (a,b1,c1,[2]3) == (a,..a..,c,[2]3) :b: ≈> (a-,b1,c1,1,2,2)
  • (a,b1,2,1,[2]3) == (a,..a..,1,1,[2]3) :b: ≈> (a-,a,1,1,..a..,1,2) :b: ≈> (a-,b1,2,1,1,2,2)
  • (a1,b,c,d,[2]3) ≈> (a,b,c,d,1,2,2)
  • (a1,b,P,[2]3) ≈> (a,b,P,1,2,2)
  • (a1,b.,1..,[2]4) :k ≈> (a,a1.,1..,b,1,2,2) :k ≈> (a,b-.,1..,2,2,2) :k1
  • (a,b1,2,[2]4) == (a,..a..,1,[2]4) :b: ≈> (a,a,1,..a..,[2]3) :b: ≈> (a-,b1,2,1,2,2,2)
  • (a1,b,c,[2]4) ≈> (a,b,c,1,2,2,2)
  • (a1,b,P,[2]4) ≈> (a,b,P,1,2,2,2)
  • (a,b.,1..,[2]1m) :k0 = (a,a.,1..,b,[2]m) :k ≈> (a-,a.,1..,b :k ,1.,2..) :m- ≈> (a-,b-.,1..,2..) :k1 :m
  • (a1,b,1.pi,..[2]1m) :k>0 ≈> (a,b,1P,1.,2..) :m > {a+b,k+m+2[2]2} 0'>!<

Evaluatie van element ,[2]1m voegt aan de eerste rij een aantal van :m nieuwe tellers toe, gevuld met grote getallen.
Woord P, staat voor een deel pi,.. van een rij en R voor een hele rij. Daarin zijn de parameters pi>0 en te verwaarlozen ten opzichte van de rij lengte zelf (bij standaard input).

Bij Bird speelt bel b de rol van het opblazen van de lineaire array. Van element [2]2 kost dat slechts een enkele tel. Bird spaart bij elke overgang tussen dimensies de Vogel lengte teller uit.

  • (a,b,[2]1,2) = (a,a,[2]1b) ≈> (a-,a-,1.,2..) :b > {a,b+2[2]2}
  • V(a,b1,2,[2]1,2) == (a,..a..,1,[2]1,2) :b: == (a,a,1,[2]..a..1) :b: ≈> {a+3,b+1,2[2]2}
  • (a,2,3,[2]1,2) = (a,a,2,[2]1,2) ≈> {a,2,3[2]2}
  • (a,b1,3,[2]1,2) == (a,..a..,2,[2]1,2) :b: ≈> {a,b+1,3[2]2}
  • (a,b,c,[2]1,2) ≈> {a,b,c[2]2}
  • (a,b1,2,1,[2]1,2) == (a,a,1,1,[2]..a..1) :b: ≈> {a+4,b+1,2[2]2}
  • (a,2,3,1,[2]1,2) = (a,a,2,1,[2]1,2) ≈> {a,2,3[2]2}
  • (a,b1,2,2,[2]1,2) == (a,..a..,1,2,[2]1,2) :b: == (a,a,..a..1,1,[2]1,2) :b: ≈> {a,b+1,1,2[2]2}
  • (a,b,c1,d,[2]1,2) ≈> {a,b,c,d[2]2}
  • (a,b,1P,[2]1,2) ≈> {a,b,P[2]2}
  • (a,b1,2,[2]2,2) == (a,..a..,1,[2]2,2) :b: ≈> (a,a,a1,..a-
    ..,[2]1,2) :b:
    ≈> {a-1,b+1,1,1,2[2]2}
  • (a,2,3,[2]2,2) = (a,a,2,[2]2,2) ≈> {a-1,2,2,1,2[2]2}
  • (a1,b,c1,[2]2,2) ≈> {a,b,c,1,2[2]2}
  • (a1,b,1P,[2]2,2) ≈> {a,b,P,1,2[2]2}
  • (a,b1,2,[2]3,2) ≈> (a,a,1,..a..,[2]2,2) :b: ≈> {a-1,b+1,1,1,2,2[2]2}
  • (a1,b,1P,[2]3,2) ≈> {a,b,P,1,2,2[2]2}
  • (a1,b,1P,[2]1m,2) ≈> {a,b,P,1.,2..[2]2} :m 0'>!<

Matrix-regel V.6. bouwt de rijen tellers stap voor stap op. De lege elementen ,1 blijven tussenin staan, want opruim-regel V.2. verwijdert deze niet. Met de recursieve substitutie van rij lengtes b worden al de vorige series ,1.. gedomineerd.

Wat dominant uitpakt op de eerste rij, zal sterker gelden in de volgende dimensies. Vogel's stapsgewijs groeiende ruimtes zijn wat onnatuurlijk, maar in Bird's systeem is het lastig om diep geneste arrays [S]1[T] te vergelijken in zijn regel die afgetelde tussenposities opruimt.

  • (a,b,[2]1,3) = (a,a,a,[2]b,2) > {a,b+2[2]3}
  • V(a,b1,2,[2]1,3) == (a,a,1,[2]..a..1,2) :b ≈> {a+3,b+1,2[2]3}
  • (a,b,c,[2]1,3) ≈> {a,b,c[2]3}
  • (a,b,1P,[2]1,3) ≈> {a,b,P,[2]3}
  • (a1,b,1P[2]2,3) ≈> {a,b,P,1,2[2]3}
  • (a1,b,1P[2]3,3) ≈> {a,b,P,1,2,2[2]3}
  • (a,b,[2]1,n) = (a,a,a,[2]b,n) > {a,b+2[2]n}
  • (a,b,1.pi,..[2]m,n) :k>0 > {a+b,k+m+1[2]n+1}
  • (a,2,2,[2]1,1,2) == (a,a,1,[2]a1,a) ≈> {a+1,2[2]1,2}
  • (a,b1,2,[2]1,1,2) == (a,a,1,[2]a1,..a..) :b: ≈> {a+1,b+1[2]1,2}
  • (a,b,c1,[2]1,1,q) ≈> {a,b,c[2]1,q}
  • (a,b1,2,2,[2]1,1,q) == (a,a,..a..1,1
    ,[2]1,1,q) :b:
    ≈> {a,b+1,1,2[2]1,q}
  • (a1,b,1P,[2]2,1,q) ≈> {a,b,P,1,2[2]1,q}
  • (a,b1,2,[2]1,2,q) == (a,a,1,a,[2]..
    a..,1,q) :b:
    ≈> {a+3,b+1[2]2,q}
  • (a,b.,pi..,[2]m1,Q) :k>0 == (a,b.,pj.. :km
    ,[2]1,Q) {pj>pi>1}
    > {a+b,k+m+2[2]1+Q}
  • (a,b,[2]1,[2]n1) = (a,a,[2]1,b,[2]n == (a,a,P,[2]m.,qi..) :n > {a+b,n+1[2]1[2]2}
  • (a,b1,2,[2]1,[2]1,2) == (a,a,1,[2]1
    ,[2]1..a..) :b:
    ≈> {a+1,b+1,2[2]1[2]2} 0'>!<

Zo verlengen we de rijen in hogere dimensies met series van ,qi.. :r tellers, waarin de laatste qr dominant is.

Hoewel v>b kunnen we voor variabele v elk relatief klein getal invullen tot een bel b1 bijvoorbeeld, als dat helpt om Vogel te vergelijken met Bird. Het maakt weinig uit, de waarde van v is ondergeschikt aan de meest rechtse positie ervan.
In het volgende item zal v net wat groter zijn dan een expressie (a,a.,[s]b..,[s1]2) met lengte :b- en niet langer.

  • V(a,b,[s1]1,2) = (a,a,[s1]1b) > (a,a.,[s]1..v) :b > {a,b[s+1]2}
  • V(X,[s]m,Q) > {X[s]Q} Q = n.,qi.. :r

Ga ervan uit dat de delen X afgezien van het separator format gelijk zijn := of althans de belangrijke dimensies in deel X bij Vogel en Bird even lang zijn. Stel het rij deel Q van Vogel met 2e en verdere tellers gelijk aan de hele rechter rij bij Bird.
In elke Vogel rij, ook in Q, is oplaadregel V.5. dominant. Bird arrays (met teller c) komen door zijn regel 2.6. overeen met die van Vogel (en teller c1 om $ te laden).

Vogel's achterstand op de rij blijft beperkt tot een extra teller m, en de beste benadering geeft m=1. Zo pakt de expressie in Vogel soms groter ≈> uit, maar meestal minimaal <≈ kleiner dan die van Bird.
Voegen we m=2 in vooraan op de laatste rij, dan is die rij in Vogel gelijk groter en wordt de rest van het telraam dat zeker ook.

Bird's opladen van expressies $ kunnen we compenseren door bij de derde teller c in Vogel 1 op te tellen. Andere bonus constructies van Bird, zoals substitutie van a in eerdere tellers op rij en zijn ketens €n in vorige dimensies worden bij Vogel in de evaluatie ondervangen.
Met elke iteratie van naar positie m opgeladen bellen b' vagen we de ervoor opgebouwde lengte volledig weg. Die lengte draagt weer over en zo expanderen we alle voorliggende dimensies.

Stel dat n=b1 zojuist is opgeladen naar een 2e teller in een hoge rij van Vogel. Eén tel eraf n=b en de 1e teller m=a1 is nog klein. Die vergroot de lengte van de voorgaande dimensie met a, wat ver achter blijft bij lengte b van Bird's hoekketen. Maar de tweede aftel n=b- zal de waarde m=b' die naar de lengte teller wordt opladen al veel groter zijn dan de originele bel b. Ga maar na hoe latere bellen b' via regel V.4. de originele b vele malen bevatten.

Lengtes in Vogel groeien eerst met a en daarna meteen voorbij de hoekketen lengte b, waarmee Bird al zijn ruimtes vult. Toch blijft Vogel's accumulatie van lengtes als optellen, wat inmiddels relatief weinig effect sorteert, ook al zullen al deze series meedoen met de recursie van de bel.
Als we dus een teller 2, inlassen aan het begin van Vogel's laatste of diepst geneste rij, dan geven zulke matrix of geneste getallen een goede (insignificant grotere) benadering voor die van Bird.


Het 1e niveau of de [top array] in het Wielewaal systeem start met een variabele a die verdubbeld wordt. De volgende iteraties herhalen dit en elkaar een groeiende bel a keer. Zo drukte de eerste rij supermachtige getallen uit in blog §3.0.
Voor de echte supermachten gebruikten Vogel en Bird drie tellers, met dubbel recursieve subexpressies in b. Ons Wiel liep flink achter.

Posities in de Wielewaal rij tellen we met een index op het 2e niveau, ook weer gevolgd door een oplaadbare rij, in de [index array].
Vanaf c corresponderen de tellers in Bird's lineaire array met deze indexen in Wiel. Deze twee niveau's vormen Wiel's matrix, waarmee we Vogel's toprij benaderden in vorig blog §3.1.

De rij lengte of komma teller in Vogel staat dan gelijk aan de 1e index op het 3e niveau in Wielewaal. Naar alle diepe tellers laadt Wiel bel b op. Dat opladen van de bel is maximaal en domineert alle structuren, zodat het verschil in niveau's niet groter kan worden.
Het meer naar rechts substitueren van $ subexpressies met c bij Bird is gelijk aan b opladen in de Vogel expressie na uitwerking van c1. In Wiel betekent dit een extra teller op de eerste rij, ofwel 1 tel extra bij de eerste positie index. Dat was op de tweede rij al verwaarloosbaar.

We werken Wiel expressies nu uit tot een dieper array niveau, volgens regels W.II voor geneste arrays. Op dit 3e niveau [index subarray] scheiden we de indexen weer met komma's , en eventueel met een 4e niveau [sub sub index].
Het begin luistert nauw: hoe sturen we bel a de diepte in?

  • [a,[,[1,1]1]1] = a[,[,[a]a]1] ≈> (a,a1.,a..) :a1 > V(v,v,[2]a1)
  • [a,[1,[1,1]1]1] = a[,[,[a]a]a] == a[,[a.,a-..]a] :a ≈> (a,a1,a1.,a..) :a > V(v,a,[2]1,2)
  • [a,[1,[1,1]1]2] > (a,a-,1,[2]1,2)[,["]1] ≈> V(a-,3,2,[2]1,2)
  • [a,[1,1,[1,1]1]2] = a[,[a,[']1]a,["]1] ≈> (a,a,1,2,[2]1,2)[,["]1] ≈> V(a,3,2,2,[2]1,2)
  • [a,[,[,1]1,[1,1]1]1] = a[,[,[a]1,["]1]1] == a[,[.a-,..["]1]a] :a ≈> (a,1.a,..[2]1,2) :a1 > V(v,v,[2]a,2)
  • [a,[,[1,1]2]1] = a[,[,[a]a,["]1]1] > (v,v,[2]a1,2) =: V(v,a,[2]1,3) <!-->

Klik op de borden <!--> om meerdere variabelen te zien.
De tilde ~ staat voor de gebruikte benadering: de eerdere expressie is minimaal groter ≈> dan de volgende, in die array vorm.

De teller van element ,[,1]e is te verwaarlozen, omdat de daarin opgeladen waarde ,[a]e domineert. Dit is iets kleiner dan ,[1,1]1 een tel bij het volgende element, wat tot ,[a]a reduceert. Net zoals ,[a1]1 dat doet trouwens, waaruit blijkt dat die teller e nog geen 1 telt bij de bel.

Het lukt nu om met expressies in Wielewaal de tweede rij van Vogel binnen bereik te brengen. Een index verder ligt die van Bird.

  • [a,[,[2,1]1]1] = a[,[,[1,1]a]1] > (v,a,[2]1,a1) =: V(a,a,[2]1,1,2)
  • [a,[1,[1,1]1,[2,1]1]1] = a[,[,[a]a,["]1]a] > (v,v,[2]a1,1,2) =: V(v,a,[2]1,2,2)
  • [a,[,[2,1]2]1] = a[,[,[-"]a,["]1]1] > (v,a,[2]1,a1,2) =: V(a,a,[2]1,1,3)
  • [a,[,[,2]1]1] = a[,[,[a,1]1]1] ≈> (a,a,[2]1.,1..1) :a > V(v,v,[2]1,[2]a-) <!-->

Hogere structuren worden dermate dominant, dat het precies passend maken van elke teller er weinig toe doet. Voor ons gemak laten we de groter > ordening verder achterwege.
Uitkomsten van Wielewaal [W] zijn hier ongeveer gelijk aan (iets groter of kleiner dan) Vogel V(X) waarmee we de multi-dimensionale en verder geneste arrays {Y} van Bird benaderen.

  • [a1,[,[,,1]1]1] = a1[,[,[a,a]a1]1] (v,v.,[2]1..,[2]a) :a V(v,a,[3]1,2)
  • [a,[,[,[,1]1]1]1] = a[,[,[,{a}1]1]1] V(v,a-,[a1]1,2) {a,a[a+1]2} <!-->

Nu blijkt dat de dimensie separator lengtes van Bird en Vogel hun gelijke vinden in de drie diep geneste array van Wielewaal. Vogel rij lengte met de teller aan dat array begin (index 0), aantal rijen in een vlak met de teller met index 1, het aantal vlakken met de teller met index 2, enzovoort.

De dimensie lengtes corresponderen met de tellers op het 3e niveau in Wiel. De dimensie zelf is dan de eerste index op het 4e niveau in Wiel, twee niveau's dieper dan Bird of Vogel.

  • [a,[,[p.,[si]qi..]h]1] :r {si<si1} V(a,a.,[si1]1.. :qi ,1..h) r :p

Algemeen is de lengte :q van Vogel dimensies gelijk aan teller q in Wielewaal. De dimensie s1 kunnen we in Wiel aangeven met komma's ,.. :s of door een index [s] dieper te nesten.
Geneste arrays [si+1] van Vogel dimensies zijn verticaal gestapeld. De dimensie lengte is de reeks ,[si+1]1.. van gelijke elementen, want de index keert in de rep :qi terug. We herhalen ze met de r rechts verticale rep, die index i van onder naar boven optelt.

We voegen witruimte en reps en variabelen toe om deze systemen te verklaren. Maar iedere expressie is een string, bestaande uit units 1, separator tekens en haakjes, die door regels l-r tot grote getallen in unair formaat 1.. worden herleid.
Met dieper geneste tellers maken we nog grotere getallen, zoals Bird noteert met hyper-dimensies. Meer daarover in het volgende blog.

In de formule is gesteld dat si+1>si en dat de herhaling r onder begint. Daarom zijn de dimensie indexen links in de Vogel expressie groter dan rechts. Bij de index in Wiel's 4e nest loopt dat andersom. Opeenvolging si1=si1 kan, maar is niet verplicht.
Of deze maxtrix vergelijking ook geldt als de sep indexen s niet in volgorde van grootte staan, laten we aan de lezer over…!

X

§3.3 Vernest

Bird's hyper-dimensionale arrays3 zijn functies, waar de separator index is uitgebreid tot een rij. Qua structuur ligt in elk element van de top rij dan een index rij besloten. De lengtes van reeksen tellers met dezelfde separatoren geven de maten van Bird's array ruimtes.
Het Vogel telraam om Bird mee te vergelijken heeft ook zo'n rijen in rij structuur. En herhaalde seps geven een maximaal aantal teller posities in het raam erboven. Deze systemen tellen getallen gekoppeld aan een index structuur af, om voorgaande structuren te expanderen.

Qua algoritme levert Bird maximale output: door functie substitutie in de bel, het opladen van lege tellers en indexen met (een expressie met) die bel, en de herhaling van separatoren.
Maar de dominante regel is het opladen met de bel. In Vogel is dit direkt de variabele b en Bird verpakt zijn b- binnen een minimaal kleinere expressie $, wat niet significant groter uitpakt.
Met de dimensie index is de expressie op het 2e niveau genest. Dit niveau breiden we uit tot een rij indexen voor de hyperdimensionale array. Daarin kunnen we weer diepere indexen en rijen nesten. Maar we slaan de aparte definitie voor het hyper niveau in Vogel over.

Tijdens de constructie neemt, wat we het niveau van geneste arrays noemen, van buiten naar binnen toe:
Een scan zal l-r of r-l de functie haakjes als eerste tegenkomen. Dit telden we in §2.6 als het 1e niveau. Die top array omvat gelijke structuren, die naar beneden toe worden opgebouwd en toenemen.5
Zoals <tag> tekst </tag> is opgemaakt in html. De tag naam kun je zien als type haakje of als index voor een geneste rij. Met een script adresseren we eerst het ouder element en dan de kind elementen die daarin zijn genest of vertakt.
Of zoals een verhaal wordt vervolgd door zinnen eronder te kalken.

Maar geneste structuren werken ook andersom:
Bird0 telt het level van separator arrays: vanaf index [m] met level 0 die dimensies m scheidt, lineaire separatoren als level 1 tussen hyper-ruimtes. Enzovoort, zodat de grootste level n separator ergens in de top array {Y} zal worden genest.
Een macht b in een dubbele recursie V.O bereikt bij waarde b=1 de bodem (a,..a..,c) in de subexpressie trein.
Bij sets is de element relatie fundamenteel en tellen we van de diepste subset naar de buitenste set de is in relaties. Zo worden ordinale sets opgebouwd, die natuurlijke getallen representeren. Dit is axiomatisch bij oneindige limieten ω, zie §1.4 ev.
Onze superradix structuur in §2.4 noteert in de diepste array de getallen m, machten m^m met de array laag erboven, en stapelt laag op laag een toren van m^(m^^n) machten, die tetratie m^^n1 is.

Bij geneste arrays zijn rijen indexen arbitrair diep in andere rijen genest.4 Zulke grote getallen noemen we vernest, als hun array niveau ver genest is.

Vogel nesten definitie V.III.

  • V.0. (a) = a
  • V.1. (a,1b) = a(a,b)
  • V.a. ,1 ≡ ,[1]1
  • V.2a. ,[S]1) ≡ ) V.2b. ,[S]1] ≡ ]
  • V.3. (a,1,[S]Z) = a
  • V.4. (a,1b,1Z) = (a,(a,b,1Z),Z)
  • V.5a. ,[] `= 0 => V.5b. (a,b, ,2 `= (a,a, b,1
  • V.6. (a,b ,[1n]2 `= (a,a ,[n]b,[1n]1
  • V.7. (a,b ,[1S]2 {S>n} `= (a,b ,[S]b,[1S]1

Pas deze regels ten eerste l-r toe in de expressie, op een match die het eerst links begint. En >> ten tweede (bij twijfel) in de volgorde van de definitie.
Zo matcht de laatste regel l-r het element ,[1n,T]2p en bij lengte index 1 (als n=0) komt het nieuwe element ,[,T]b ervoor. Als die index array [,[1n]2R] is, dan bouwen we == daarin van n rechts naar links 1 de index rij a.,[i]a-.. met :n hyper-indexen. Noem dit element ,[a,S]b en bouw daarmee een reeks ,[j,S]a af tot het element ,[1,S]a is bereikt.
Vervolgens bouwen elementen

Maar hoe komt bel b, als regel V.6. deze na het opladen van teller of index vervangt door a, ooit in dieper geneste arrays terecht?
In de Bellenblazer definitie was deze lege index een echt probleem. We losten dit op, door seps vanuit hun tellers op te laden, zodat de originele bel b de array niveau's als in een cascade afdaalt.
Ook Bird vervangt in zijn subsysteem voor geneste hoekketens uit voorzorg alle ruimtelijke waarden door b, lengtes zowel als indexen. Zo garandeert hij meteen de maximaliteit van alle structuren.

In Vogel wachten we rustig af. Hoe groot de opgeladen bel b ook is, de bel b' die erna op die plek komt, zal navenant groter zijn. Omdat regel V.4. de hele $ expressie inclusief de verre b- recursief nest.
In het voorbeeld kost de latere index array [,[n]b',[1n]R] de tel van 1R. Schreven we daarin de oude bel ,[n]b dan kostte dit minder dan die index tel. Dit is dus het kleine verschil tussen een permanente bel (een kopie van b opladen) of het vervangen van de verschoven b door (een kopie van) a in Vogel.

Dit verschil geldt onder het top niveau in alle subarrays. Want elke (geneste) index komt leeg, net op het moment dat bel b naar de teller (of index) erboven is opgeladen door regel V.6. en wordt vervolgens zelf opgeladen met a, wat een tel kost van de volgende index.
We hoeven evenwel niet alle hyper-indexen 1 extra te geven. Alleen de dominante index is genoeg, bij de teller p van het diepst geneste ,[1n]2p element met >> de grootste en >> rechtste n subindex. Noteren we daar 1 bij en evalueren we die, dan expanderen links van ,[n]a-- in de expressie alle tellers, met belgrote getallen.

Is het niet elegant om standaard met bel a te beginnen na opladen? Vogel is simpeler dan Bird's geneste arrays U.III.
We zetten de vergelijkingen uit blog §3.2 voort om te bewijzen, dat de functies van Vogel en Bird vrijwel even snel zijn.
Klik op dit bord voor meer detail op het hyper-dimensionale niveau.

  • V(a,b,[1,2]2) = (a,a,[,2]b) = (a,a,[a]b){a,b[a]2}
  • (a,a,[1,2]1b) = (a,a,[a]a,[1,2]b){a,b,2[a]2}
  • Rekenwerk in uitvoering
  • (a,a,[1,2]1b,c){a,b,c+1[a]2}
  • (a,b,[2,2]2) = (a,a,[1,2]b,[2,2]1) ≈ {a,a,{a,a,b[a]2}[a]2} ≈ {a,b,1,2[a]2}{a,{a,a-1,a[a]2}-1,{a,a-1,a[a]2}[a]2}
  • (a,b,2,[1,2]1,1Z) == (a,a,1,[1,2]1v,Z) = (a,a,1,[a]a,[1,2]v,Z) == (a,B,[1,2]v,Z) {B>>b}{a,b[1,2]1,1+Z}
  • (a,b1,[2,2]1,2) == (a,B,[1,2]1,[2,2]b){a,b[2,2]2}
  • (a,b1,[c,2]1,Z){a,b[c,2]Z}
  • (a,b,[1,1d]1Z) = (a,a,[b,d]b,[1,1d]Z){a,b-1[1,d+1]1+Z}
  • (a,b,2,[1,R]Z){a,b[1,R]Z}
  • (a,b,[R]1,Z){a,b[R]Z} 0'>!<

Het grootste verschil is dat Vogel's regels V.6. en V.7. een enkel element per stap plaatsen en dat Bird met zijn hoekketens elke reeks elementen meteen opbouwt. Dit ondervangen we door op de betreffende positie in Vogel een gewone teller 1, in te voegen.

Dit geldt voor elke ruimte in elke array, maar het diepst geneste niveau kmax is dominant. Wat daar groter is draagt over, zodat (afgezien van de komma array notatie ,[S] versus [S] bij Bird) de rest van de Vogel expressie gelijk kan blijven in deze algemene vergelijking.

  • V(a,B.,[Xi..,[n]1,Y..]Zi.) {a,B.[Xi..[n]Y..]Zi.}
  • :kmax: & Y=p0.,pj.. :r0

De regels W.II voor geneste Wielewaal arrays werken simpeler dan die van Vogel. Merk op dat we de aasbel a zowel binnen als buiten de functie array noteren. In beginsel vormt dit een geheel en de top array kan dus zonder opening [ haakje.

Wiel subarrays evalueren tot de vorm [p,[1]S] met een eerste index 1. Vervolgens tellen we p- af, tot [,[1]1S] de dubbelbel a oplaadt [,[]a,[1]S] waar de lege sep vervalt.
Ook in de basis staat de index 1 komma a,[1]1X die een kopie a,[]a,[1]X maakt en de bel aa,X verdubbelt.

Om te testen welk primitief (tellerij) algoritme het simpelst is, zetten we een experiment op met eerste posities.
De superradix in de box krijgt een nieuwe structuur, met een algoritme dat lijkt op Wielewaal. Het nieuwe, ook ten opzichte van Aasblazer, is dat eerste seps ,[1] na een inerte komma n,p komen.
De a die we opladen is dan een constante en de bel a,ba,X groeit alleen de som voor de uitkomst. De rest kan gelijk blijven.

# Superradix 3.3

De basis waar een getal aangroeit komt meteen links, want we lezen van links naar rechts. Ons nieuwe idee is om structuren consequent l-r van klein naar groot te ordenen.
In zulke systemen staan dominantere variabelen meer naar rechts. Dominant is wat bij gelijke waarden groter uitwerkt.
Oneindiger series a.. tellen we van rechts bij (keert Cantor om). En eigenlijk zouden we decimale getallen liever andersom schrijven.

Aalscholver is net als Aasgier een superradix van het Aasblazer type. Maar hier zetten we de teller van het aantal, die minder significant is, links aan het begin van zijn index array, voor de machten.
De aparte status van iterator over index {Bird's [separator] entry} komt zodoende te vervallen. Het hele element wordt (in een rij) omvat. We nesten louter rijen in rijen.

Aalscholver Á.I een rij tellers, met vaste posities per komma.

  • Á.0. (a,b) = b
  • Á.1. ,))
  • Á.2. (a, ,1 `= a,

Door radix expressies l-r te reduceren met `= blijven verdere tellers c beperkt tot cijfers van 0 tot en met a. Zou de laatste regel met overal gelden, dan is het output getal weliswaar gelijk, maar kunnen tellers c groter dan radix a worden tijdens de evaluatie.

Druk de lineaire array uit met nesten en als vaste rij. Bereken die met de + * ^ operaties en een index i die telt van 1 tot en met k.

(a,b.,(ci,i)..) :k =
  (a,b.,ci..) :k =
    b.+ci*a^i.. :k

We breiden getallen uit tot arrays. Zo'n subarray staat in Aalscholver los van zijn positie. Dezelfde array zou op meerdere plaatsen kunnen voorkomen, hoewel niet binnen een strikte radix expressie.
In de binnenste arrays houden we gewone tellers. Zetten we die op rij, dan blijkt de positie (anders de tweede index) uit het aantal ervoor staande komma's (de eerste telt als index 0).

Dit systeem met opladen van constante a en complete indexering noemen we vloeibaar. Want elk kind element ,(p,S) telt op in zijn ouder array (n,p0.,(pi,Si)..) en kan in die som natuurlijk vrij worden verschoven.
Array variabelen kunnen eerder links komen of meer rechts staan of herhaald worden. Tussen de kind arrays in een rij kunnen verstrooid getallen pi voorkomen, eerder uitgewerkt, die later pas bij de positie index p0 van de ouder array arriveren en optellen.
Alleen de constante a en factoren n hebben direkt een vaste plaats. De bulk b en exponenten p0 zijn hun duo met index i=0 alvast ontstegen en buiten de radix gerekend dus vloeibare getallen.

Aalscholver Á.II geneste arrays, in volgorde voor radix.

  • Á.0. (a,b) ≡ (b) = b
  • Á.1. ,(,S) ≡ 0
  • Á.2. ,(p,)p
  • Á.3. (a, ,(1n,1S) `= ,(a,S),(n,1S)

Vanouds elimineert regel 1 de afgetelde elementen en regel 2 de lege array die ba optelt. Nul indexen (p,0, slaan we over tot regel 3 een subarray (p,,(a,) introduceert, die tot (p,a reduceert. Later in de evaluatie, links van ,(n,1, in de ouder rij keert ,(a,, terug en is de cyclus rond. Daarin hebben alleen tellers p=a een nul index.

Elke diepste rij zouden we ,(c.,di..) met komma separatoren kunnen noteren. En met alleen cijfers van 0 tot a- is in een l-r radix expressie +(c,.di..) :k alleen de eerste sep nodig. Dat wordt in exponentiële notatie cE..di met k: decimalen di andersom.

In het algemeen tellen geneste rijen op als dubbele exponenten in de exponent van de ouder array.

  • ,(c,d0.,(di,Si)..) :k
  • = c*a^(a,d0. ,(di,Si)..) :k
  • = c*a^(d0.+ di*a^(a,Si)..) :k

Precies als in §2.4 groeien Aalscholver nesten uit tot macht ^ torens met tetratie ^^ verdiepingen.

  • ,(1,,(1,,(1,1))) := ,(1,,(1,,1)) = ,(1,,(1,a)) = ,(1,a^a) = a^^3
  • (a,.,(1,..).) :m1: = (a,.,(1,..1..).) :m: = a^..1 :m = a^^m

Deze superradix expressies drukken de natuurlijke getallen uniek uit, als elke variabele 0<p<a en de nest diepte onbegrensd is. Dat is tot onze diepen uitbreiding de nest grens bij m1=a legt.

Als we de inerte komma uit de basis (a verwijderen, dan verandert de Aalscholver superradix in een andere vorm van Wielewaal. Of dat simpeler is laten we aan de lezer over…
Gaan we verder met onze vergelijking van Vogel en Wiel.

Na een langzame start evenaarde de 2e nest rij van Wiel de 1e rij van Vogel = Bird's lineaire array, zie §3.1. Daarna kwam Wiel's 3e nest rij overeen met de lengtes (herhaling van sep dimensies) van de Vogel matrix Bird's multi-dimensionale arrays, bewezen in §3.2.
De regels voor geneste arrays in Wiel W.II zijn zo simpel mogelijk, maar voor gelijke output moeten we dubbel zo diep nesten als Vogel.

We denken dat de nieuwe array niveau's zich net zo verhouden als deze eerdere niveau's. Dan rolt Wielewaal over oneven niveau's de indexen uit, die posities in Bird's ruimtes representeren. En volgt daaruit de algemene vergelijking van geneste arrays in Wielewaal versus Vogel en Bird.
Wiel begon twee niveau's dieper met Vogel's eerste index. De verdere tellers op de Wiel's 4e nest rij benaderen nu Vogel's 2e niveau Bird's hyper-dimensies. En op Wiel's 5e nest rij zullen we de herhalingen van die separator arrays vinden: de maten van Bird's subruimtes.

  • [a,[,[,[,1]1]1]1] = a[,[,[,[a-]a]1]1] > v[,[1,[1,[a-]a-]v]v] (v,v.,[a]1..,2) :a V(v,a,[a1]a)
  • [a,[1,[1,[1,1]1]1]1] = a[,[,[,[1,1]1]a]a] = a[,[,[,[a]a]a]a] (v,a,[a2]a) V(a,a,[1,2]1,2)
  • [a,[,[,[1,1]2]1]1] = a[,[,[,[a]a,["]1]1]1] V(a,a,[1,2]1,[1,2]1,2)
  • [a,[,[,[2,1]1]1]1] = a[,[,[,[1,1]a]1]1] V(a,a,[2,2]1,2)
  • [a,[,[1,[1,2]1]1]1] = a[,[,[,[a,1]a]a]1] =: a[,[,[1,[a1,1]1]1]1] V(a,a,[,3]1,2)
  • [a,[,[k,[p,1]n]e]1] V(a,a.,[p,2]1.. :n ,1..e) :k <!-->

In het algemeen kunnen we elementen ,[,[S]T]e vervangen <≈ door ,[1,[S]T]1 of een tel bij zo'n volgende element. Daarbij wordt de teller e insignificant door de groeibel op te laden.

Denkwerk in uitvoering

Vanuit hoger perspectief bezien moet het direkt substitueren van expressies (grootste structuur) in tellers (kleinste structuur) wel even sterk zijn als één niveau van geneste arrays. Omdat eigenlijk alleen het top niveau wordt toegevoegd.
Nooit meer dan 1 niveau, mits de expressie en subarrays dezelfde capaciteit hebben. Door de groeibel te substitueren op alle niveau's, geldt dit verband niet alleen voor de eerste rij, maar draagt over naar elk niveau.
Toch is dit vreemd, aangezien voor subarrays hele andere introductie regels W.3. gelden (links toevoegen), dan hoe regel V.4. in Vogel subexpressies nest (binnen vervangen).

Om dit te verhelderen, stel dat we Vogel vertalen naar een structuur, met post-indexering na a en waar de eerste index array bel b bevat. Hierin worden subexpressies genest als arrays met een eigen basis. Functie haakjes () zijn in dit systeem overbodig.
Hoe het algoritme precies werkt doet er nu niet toe, duidelijk is dat we Vogel expressies naar deze post-index vorm kunnen omzetten.
Nesten van $ subexpressies (functie substitutie) is 1 niveau waard, want Vogel rij en Wielewaal index rij liepen gelijk. Dan heeft ook elk rij element, dat we recursief verdiepen (matroesjka poppenspel), de waarde van 1 nest niveau.
Array lengte en rij in rij diepte worden vergelijkbare grootheden.

Bird's volledige eliminatie van elementen is een luxe constructie. Vogel V heeft minder regels en laat elementen tussenin met teller 1 gewoon staan. Het cumulatieve effect van de oude reeksen op de uitkomst is insignificant, maar de chaos in Vogel expressies neemt toe.
In Bellenblazer en Wielewaal W heeft elke teller een positie index en vallen de afgetelde elementen weg. Geneste arrays zijn twee keer zo diep om even grote getallen te maken als Vogel. Bellenblazer regels worden moeilijker bij dieper nesten. Wielewaal blijft makkelijk van opzet, hoewel deze chaotisch begint met dubbelen, wat afwijkt van natuurlijk a*b herhalen.
Zulke concepten zijn op wonderlijke wijze uitwisselbaar…!

X

§3.4 Diepen

Denkwerk in uitvoering


Het Wielewaal systeem heeft in de basis een bel a die groeit door bij zichzelf op te tellen. Een tellerij die verdubbelt.
Verdere tellers staan op unieke posities en verminderen stap na stap tot 0. Vanuit de volgende positie kan zo'n afgetelde iteratie opnieuw worden opgeladen met een grotere bel.
De positie index staat in een separator array of is het aantal vorige komma's op rij. De sep arrays breiden we uit met rijen van indexen. Daarin worden rijen in rijen genest, zoals sets in een set structuur.

Tellerijen beginnen met fikse achterstand, omdat hun groeibel regel optelt, wat primitieve recursie is. Telramen winnen het met dubbele recursie, die vanzelf expandeert tot recursie over de hele expressie.
Zodra we de positie index array voor een nieuwe teller voorzien van een minus [S] kopie van de volgende [1S] sep, wordt Wielewaal even snel als Vogel met $ subexpressies (allebei rij in rij). Maar de unieke indexen voor elke positie (noch lengte, noch ruimte) kost Wiel een extra niveau per geneste Vogel array.

Met het Wiel vlak haalden we Conway's pijlketens in. Nu wint Wiel het van Bird's geneste arrays, als we nest diepte laten belgroeien.
Deze functie sprong maken Wielewaal diepen, eenvoudig door index arrays te herhalen. Waarbij de eerste index in de volgende array de diepte van de voorgaande array recursief vergroot.
Arrays in reeksen [Xi].. vormen net als enen 1.. met elkaar een getal. Maar units 1 zijn inert en arrays expanderen elkaar.

Bird's Universum

De array notatie van Chris Bird heeft drie systemen voor de introductie en eliminatie van elementen: hoofdregels, hoekketen regels en een ordening van grootte voor separator arrays.
Bird's universum van expressies en getallen (input en output) zetten we in deze appendix om in een simpeler Uil systeem.
Ook Uil breiden we met twee hulpsystemen uit: de bank arrays en de nieuwe ruimte merken met hun regels.

Input expressies en daarmee uitgedrukte getallen zijn exact gelijk aan die van Chris Bird.0 Maar onze array regels, die expressies stap na stap herschrijven, zijn bondiger dan in de originele systemen.
Sommige regels voegen we samen en de overbodige vervallen. De lijst volgorde bepaalt weer welke regel we toepassen, maar is anders dan bij de regels van Bird.

Onze definities krijgen de letter U van Uil en een romeins nummer. Variabelen zijn unair, met optellen van buren, dus b1=b+1.
Daarbij maken hulp regels en afkortingen de notatie leesbaarder.

Bird gebruikt hoekketens <a[T]b> om vrije array ruimtes in reeksen te vullen. Dezelfde expansie bouwen we hier per element op met het stel arrays {a[T]b,k} dat in zijn systeem geen rol speelt.
Vanaf dimensies komen onze bank regels, die deze dummy arrays reduceren, in plaats van Bird's subsysteem voor hoekketens.

En in geneste arrays zijn onze ruim regels voor uitgetelde dimensies een stuk simpeler. We verwijderen het lagere element uit [S]1`[T] waar begin en einde van zijn `ruimte` eerder is gemerkt.
Terwijl Bird's subsysteem om de grootte [S]<[T] van sep arrays te vergelijken steeds ingewikkelder wordt. Gelukkig is voor de evaluatie alleen van belang om te weten waar hun ruimte is begrensd.


Supermacht functie U.O in drie tellers: constante a, macht b en supers c. Bird drukt met twee tellers meteen al machten a^b uit.

  • 0.0. {a} = a
  • 0.1. {a,b1} = {a,b}.. :a == a^b1
  • 0.2a. {a,1} = a 0.2b. {a,b,1} = {a,b}
  • 0.3. {a,1,c} = a
  • 0.4. {a,b1,c1} = {a,{a,b,c1},c} == a^{c1}b1

Voor de Main rules nummering van Bird: zie de muis_over titels.
Regels die hetzelfde blijven linken we naar hun eerdere definitie.


Rij functie U.I voor Bird's lineaire arrays.1

  • 0.0. 0.1.
  • 1.2. {Y,1} = {Y}
  • 1.3. {a,1,X} = a
  • 1.4. {a,b.,1..Z} :k>0 = {.a,..$,Z} :k

De expressie voor de volgende stap $ is gegeven door bel b met 1 te verminderen (dit telt unit - op).
Gebruik komma's , als separator tussen tellers in rijen.

  • 1.$ {a,1Z} => $ = {a,Z}
  • 2., [1] ≡ ,
  • 2.€ €1a, & €n ≡ {a[n]b}[n]

De merktekens €n functioneren vanaf €2 hetzelfde als hoekketens bij Bird. Elke array dimensie n1 wordt gevuld met series van lengte b van steeds kleinere ruimtes n, totdat we de tellers a uitrollen in rijen met komma's (index 1 is dimensie 0) ertussen.


Matrix functie U.II voor Bird's multi-dimensionale arrays.2

  • 0.0. 0.1. 1.4.
  • 2.2. [m]1} ≡ }
  • 2.3. {a,1[n]Z} = a
  • 2.5a. ,1[n][n] {n>1} 2.5. [m]1[n][n] {m<n}
  • 2.6. {a,b.[ni]1..,1Z} :k = {.€ni..$,Z} :k
  • 2.7. {a,b.[ni]1..Z} :k>0 = {.€ni..Z} :k

Pas deze regels in volgorde toe. Dan komt regel 2.4 in de vorm 1.4 altijd voor regel 2.6, zodat k>0 en n1>1 daar gegeven zijn.
Lees in {Y,1} een laatste komma als index [1] die onder regel 2.2 valt. Omdat regel 2.5 van links de kleinere indexen elimineert, staat de volgorde van de dimensies nini+1 bij expressies 2.6 en 2.7 vast.

Deze bank regels vervangen Bird's hoekketens in de matrix.

  • 2.€ 1. {a[2]b1} €1{a[2]b} ≡≡ a,..a :b
  • 2.€ 2. {a[n1]b} ≡ {a[n]b,b}
  • 2.€ 3. {a[n]b,k1} €n{a[n]b,k} ≡≡ €n..{a[n]b} :k

Bird laat arrays zonder bel {a[n]Z} ongebruikt. Hij is verplicht om die tot a te reduceren, omdat hij onze regel 2.5a bij regel 2.2 voegt, voor regel 2.3 expressies {a,1[n]Z} kan bereiken.
Wij hergebruiken een stel van die dummy arrays of banken om array ruimtes stapsgewijs te vullen. Zo'n bank bestaat uit een constante a, een index array, een constante b en daarvan afgeleid een extra teller die van ,b tot ,1 aftelt en door regel 2.2 wegvalt.

Alle tellers zijn positieve getallen, die actief zijn in de lopende recursie, d.w.z. deel uitmaken van een significante reeks. Elementen die in ons Vogel telraam V onder een hogere recursie buiten spel staan, worden bij Bird met teller 1 en separator het veld uitgestuurd.


Nest functie U.III voor Bird's geneste arrays.4
Deze omvat ook zijn hyper-dimensionale arrays3 met separatoren die uit rijen indexen [n.,pj..] bestaan.

  • 0.0. 0.1. 1.4. 2.€ 1.
  • 3.2a. [S]1} ≡ } 3.2b. [S]1]]
  • 3.3. {a,1[S]Z} = a
  • 3.5a. ,1[S][S] {S>1} 3.5b. [S]1` ≡ ` 3.5c. `p` ≡ p {p>0}
  • 3.6. {a,b.[Ti]1..,1Z} :k = {.€Ti..$,Z} :k
  • 3.7. {a,b.[Ti]1..Z} :k>0 = {.€Ti..Z} :k

Tellers staan bij Bird nooit 0 leeg, daarom beginnen de woorden Z, R en X hier met een getal. Voor separatoren [S] geldt dat {S>0} en dat deze ook een [1] komma , kunnen zijn.

Als een woord ruimte accenten ` bevat, dan komen die net eender terug in de kopie ervan. Zo ook bij reeksen `.. die we ongeteld met aangeven. Zo'n niet-lege reeks blijft staan op zijn plek, in 3.6 en 3.7 rechts buiten de sep array [Ti] die we links expanderen.
De afkorting sluit een onbestemd aantal ruimtes uit (de input komt soms zonder). Om met minder accenten rekening te hoeven houden, zullen we die van links al vroeg elimineren.

Hulpregels voor het opschonen van ` ruimte merken aan a. begin en b. einde van de eerste rij van 1. top en 2. geneste arrays.

  • 3`1a. {` ≡ { 3`1b. {a,b` ≡ {a,b
  • 3`2a. [`[ 3`2b. [p`[p

Bird's hyper-hoekketens hebben aan de volgende regels genoeg. We gebruiken onze bank arrays, maar nu met ruimte merken.

  • 3.€ a. €1a, 3.€ b. €T ≡ {a[T]b}[T]
  • 3.€ 2. {a[1T]b} {T>1} ≡ `{a[T]b,b}`
  • 3.€ 3. {a[T]b,k1} €T{a[T]b,k} ≡≡ €T..{a[T]b} :k

De hyper-dimensionale regel verdiept zich, als Bird in zijn geneste hoekketens a door b vervangt. Door de bel diep te laden blijft zijn algoritme maximaal grote getallen maken.

  • 3.£ c. £1b, 3.£ d. £T {b[T]b}[T]
  • 3.£ 4a. {a[.,1..R]b} :n {a[.b,..R]b} :n
  • 3.£ 4. {a[.[Ti]1..X]b} :n ≡ {a[.£Ti..X]b} :n

Hangende tellers ,1 ruimen we op met de oude regel 3.5a, verder vergelijken we separator arrays niet qua grootte in Uil.
Het is alleen van belang te weten waar een reeks elementen ophoudt en waar die begint. Daarom begrenzen we meer-dimensionale ruimtes (vanaf het 2D vlak) per bank regel 3.€.2 met ` accenten.

Toon een evaluatie voorbeeld in drie klikken.

  • {a,2[4]2} = {€41} = {{a[4]2}[4]1} = {{a[4]2}} = {`{a[3]2,2}`} = {€3{a[3]2,1}`} = {€3{a[3]2}`} = {{a[3]2}[3]{a[3]2}`}
  • = {`{a[2]2,2}`[3]`{a[2]2,2}``} = {€2{a[2]2}`[3]`€2{a[2]2}``} = {{a[2]2}[2]{a[2]2}`[3] `{a[2]2}[2]{a[2]2}``} = {a,a[2]a,a`[3]`a,a[2]a,a``}
  • == {a,b[2]1,2`[3]D`} = {{a[2]b}[2]$`[3]D`} == {a,b`[3]D`} == {a,b[3]`p``} == {a,b[3]2`} == {a,b[2]2`} == {a,b,2`} = {a,$`} = {a,b} = a^b

Opruimregel 3.5b elimineert afgetelde elementen aan het einde van hun reeks. Als de evaluatie trein aankomt aan het begin ervan, dan heft regel 3.5c deze ruimte voorlopig op.
Maar het lijkt lastig om met ons bank systeem elke rij ruimte (een 1D reeks getallen) op natuurlijke wijze te markeren…

0. Een systeem voor snel groeiende recursieve functies, dat de functies van Jonathan Bowers en anderen ver te boven gaat, in Christopher M. Bird Super Huge Numbers, een serie van 9 PDFs over Bird's arrays + 3 bijlagen, 2017.

1. Chris Bird, Linear Array Notation, 2012.

2. Chris Bird, Multi-Dimensional Array Notation, 2012.

3. Chris Bird, Hyper-Dimensional Array Notation, 2017.
4. Chris Bird, Nested Array Notation, 2012.
5. Shàng betekent zowel boven als eerder, xià betekent onder en volgend, p.137 in James Gleick "Time Travel, a history" 2016.
[Chinese etymologie, maar men werpt een I Tjing hexagram van onder naar boven, terug het verleden dan]

Bouwwerken van de Lilliputters die Gulliver zijn maaltijd serveren
CALL App.show(UL, className[])
SET tC.App.Tags

Blogboek  index

  1. Tellen
  2. Rijen
  3. Dieper
    1. V supertrio = W rij
    2. V toprij = W matrix
    3. V maxtrix = W hyper
    4. V vernest = W nesten

© 2018
Giga Gerard