Grotere Getallen met ψ

$ 1. Grotere sprongen Na de constructie van array systemen voor het maken van grote getallen, nemen we de sprong naar een grotere ψ psi. Getallen met psi zijn eindig, maar werken hetzelfde als met het oneindige ω omega, wat volgt op alle natuurlijke getallen. $ 1.1. Naar psi Gegeven een systeem dat grote getallen uitdrukt, laat 'psi' ψ het eerstvolgende natuurlijke getal zijn, dat bewijsbaar groter is dan we met bestaande middelen in dit systeem kunnen noteren. Onze niet-standaard constante ψ geeft de hypothetische ondergrens aan van alle getallen, die een gegeven standaard systeem overstijgen. Het bestaan van grotere natuurlijke getallen is zeker, omdat elk eindig systeem uit te breiden is met een hogere recursie. Als we dat doen, dan zou de psi voor dat nieuwe systeem een stuk opschuiven. Zoals een regenboog ergens de grond lijkt te raken, maar bij benadering verder weg ligt, buiten ons blikveld. Maar we houden dus een zeker standaard systeem aan, waarmee volgende getallen psi ψ duidelijk worden bepaald. Het is voor de ordening van sprongen in het vervolg voldoende, als we dit grens element of "supremum" of deze functie successor met psi ψ kunnen benaderen. Na de aanname dat het getal psi ψ bestaat, gebruiken we die als input in ons standaard systeem om er de output mee op te waarderen. We substitueren psi per conventie in de herhalende constante a=ψ van de expressie, waarmee we naburige grotere getallen uitdrukken. Generaliserend naar elementen van elk type: als een systeem bepaalde output produceert, kunnen we een successor ψ postuleren van hetzelfde input / output type. Maar zolang ψ niet als input gegeven is, kan dit binnen het bereik van ons systeem nooit in de output voorkomen. In theorie bestrijken we het hele domein van de natuurlijke getallen 1.. door steeds 1 op te tellen bij elk voorgaande getal, ofwel door iteratie van de successor functie van Peano. In de praktijk is dit niet mogelijk. Grote getallen kunnen vaak alleen geschreven worden met een expressie van een array functie. Om recursies met diep geneste subexpressies uit te werken tot unair getal, of decimale basis, of ander kleiner format is ondoenlijk. Maar als de expressie gegeven is en volledige evaluatie ervan in theorie mogelijk, dan staat dat voor een groot getal. De aanname van een getal psi door een extra recursie bovenop het gebruikte systeem te plaatsen, is in dit licht bezien niet echt virtueler. Onze snelle array functies zijn een soort turbo tellers. Door vermindering van de resolutie (overslaan van getallen) zijn deze systemen in staat een beperkt aantal grote getallen in het kort te noteren. Daarmee kunnen dan weer de getaleilanden worden gevormd, die uit de ruimere zee van onbekende natuurlijke getallen oprijzen. Want de meeste "random" natuurlijke getallen daarin kunnen nooit fysiek worden genoteerd. In een standaard systeem zijn praktisch slechts beperkte reeksen kenbare getal expressies zonder gaten mogelijk. Die gebieden worden uitgebreid door allerlei mogelijke systemen te combineren. Maar ook de wiskundige taal heeft fysieke grenzen, en al gauw bevinden de meeste getallen zich in de lacunes tussenin. Vanwege de fysieke grenzen in elk universum, is het bewezen dat er grote en grotere "bovennatuurlijke" getallen bestaan. De "grote" bovennatuurlijke liggen tussen de fractals van mogelijke expressies verborgen, soms ver onder de virtuele waarde van de eerste "grotere" psi. Elke constructieve notatie heeft een praktische limiet. Los van de systemen die ons ter beschikking staan, kunnen we een hoger groter getal psi ψ aannemen, dat welliswaar eindig is en kleiner dan ω omega, maar als eerste vlak boven de getallen horizon van alle fysiek mogelijke systemen in ons universum ligt. En als "fysiek mogelijk" inhoudt, ook daadwerkelijk fysiek gerealiseerd, dan ligt die hogere psi ψ net buiten bereik van het ultieme systeem, waarmee ooit in het Transgalactische Guinness Record Boek het finale grote getal staat genoteerd. $ 1.2. Naar oneindig Stel dat omega ω = 1... oneindig tellen is, de onderste limiet voorbij alle natuurlijke getallen waarvan het tellen ooit stopt. Of dat tellen langzaam met 1 of versneld en recursief gebeurt is daarbij niet van belang. Dit eerste oneindige is niet constructief te verantwoorden. Het ligt zowel boven het tellen van enen, als boven alle mogelijke natuurlijke expressies in array systemen voor grote getallen en hun bovennatuurlijk grotere psi. Het bestaan van 'omega' ω als telbaar oneindig getal is Cantor's axioma, een aanname vanuit een hogere set theorie. Vanaf 0 geteld neemt bij elk getal n de verzameling getallen met 1 element toe, zodat n1 het aantal wordt. Daarom nam Cantor aan, dat het totale aantal van de natuurlijke getallen direct volgt op de hypothetische toevoeging van het allerlaatste element. En dat er vóór deze omega geen kleiner oneindig getal ligt, dat te tellen is of redelijk voorstelbaar zou zijn. Vanuit constructief gezichtspunt bestaat er geen laatst geteld getal. Dus gaat het oneindige een stap te ver en ligt omega buiten het boekje. We kunnen daar wel een systeem successor ψ aannemen: een getal dat groter is dan alle getallen uit ons standaard systeem. Zoals we zagen is dat altijd wel constructief te verantwoorden: met een extra recursie in een vervolg systeem. De constante psi ψ is groter, maar niet oneindig groter. En er bestaan altijd nog grotere natuurlijke getallen. Onze psi werkt verder hetzelfde als Cantor's omega, zodat we het vreemde axioma dat er een oneindig getal volgt op alle tellen, niet nodig hebben. Alle type indexeringen, recursie regels en stellingen, die voor de eerstvolgende eindige ψ psi gelden, kunnen precies zo worden toegepast op oneindige ω omega, en vice versa. Wat weer begint met rekenen als op school. $ 1.3. Verder springen Vanaf het supremum psi ψ aftellen of terugrekenen is niet bijster zinvol, hoewel vanuit een hoger systeem in principe wel mogelijk. Terwijl Cantor's omega ω fundamenteel niet aftelbaar is, omdat er geen kleiner oneindig getal onder ligt. Maar optellen kan bij elk wiskundig getal: bij de constante psi ψ1 en per definitie ook ω1 na de verzameling omega. Hoewel psi plus een standaard getal ψn niet echt groter wordt, en eindig optellen bij oneindig ωn of ook ωψ ongeveer gelijk blijft aan omega. Zo rekenen we oneindig door vanaf omega, en betreden wat genoemd wordt "Cantor's universum". De drie punten ... staan voor herhaling zonder eind, zodat de selectie links ervan omega keer wordt herhaald. ω.1... = ωω ωω.1... = ω*3 ω... = ω*ω ω*ω.+ω... = ω*ω*2 +ω*ω... = ω*ω*ω 1.*ω... = ω^ω ω^ω.*ω... = ω^ωω ω^.ω... = ω^ω^2 ω^(.+ω*ω...) = ω^ω^3 ω^(1.*ω...) = ω^^3 Tot aan de dubbele exponent is de vorming van omega machten door oneindige herhaling van eerdere operaties nog redelijk te volgen. We nemen aan dat ook de hogere operaties terug te brengen zijn op voorafgaande. Omdat psi ψ niet praktisch aftelbaar is en omega ω zelfs theoretisch niet, is het itereren over deze samengestelde getallen niet mogelijk. Steeds worden grotere dan natuurlijke operaties uitgedrukt, die zijn opgebouwd vanaf Cantor's ω1 bijtellen en vervolgens eindeloos worden herhaald. Zulke virtuele getallen kunnen alleen nog qua grootte onderling worden vergeleken. We construeren virtueel verder, binnen de ruimtelijke structuren van onze array functies, zonder nog naar een uitkomst getal toe te kunnen evalueren. Dat deden we bij standaard grote getallen ook al, maar nu kan dit echt niet meer. Cantor's bijtellen blijft ook bij hogere transfiniete recursies mogelijk. Met psi of met omega kunnen we op dezelfde manier doorrekenen in superoperaties en in willekeurig groeiende arrays. Voor de volgende herleidingen maakt het niet uit of we a↑b1 gelijk stellen aan a^b1 of aan a*2^b aan het begin van de Conway-Knuth superpijlketens. ω↑(...ω...) = ω↑↑ω1 ω↑{ω}(...1...) "Knuth's oppijlen" = ω↑{ω1}ω ω↑{...1...}ω "Graham's recursie" = ω→ω→ω→2 ω→ω→(...1...)→n = ω→ω→ω→n1 L→(..1..)→ω :ω: = L→ω→ω1 ω→...ω "Conway's pijlketen" = ω→↑ω1 ω→↑{ω}...1 "CK superpijlketen" = ω→↑{ω1}ω Zo kunnen de grotere getallen ψ of ω opnieuw als input functioneren voor elke grote getallen array. Vanuit optellen of substitutie van constante a worden deze opgeladen naar afgetelde iteratoren die hogere array constructen herhalen. Dat wordt zeker groot, maar is het echt groter? $ 1.4. Tweede psi De volgende psi sprong komt na de hoogste recursie in het standaard systeem met de gegeven input psi. Bijvoorbeeld in geneste Birdy arrays door de hogere recursie over nest diepte met een teller ψ aan te geven. Als we over Conway-Knuth superpijlketens →↑{ψ} heen springen, hoe ver ook, haalt dat nog lang niet de op niveau ψ geneste separator arrays in Birdy. Voor oneindige recursies geldt dan ook, dat een superketen als ω→{ω}ω niet veel toevoegt aan de oorsponkelijke sprong ω na alle tellen. We kunnen een fysisch maximaal systeem Psi Ψ postuleren dat grote getallen uitdrukt. Maar dan nog zijn deze eindig en de psi ψ sprong erover ligt nog ver onder het ω oneindige. Cantor's omega is zelfs virtueel onconstrueerbaar. Het ligt een axioma hoger ω>>ψ dan iedere psi, ook als die een virtuele sprong uit een groter dan fysisch mogelijk systeem representeert. Overigens is een universum niet langer optimaal te gebruiken als grote getallen array, zodra zijn supremum Psi Ψ erin ter sprake komt. Onze metafysische constante Ψ staat logischerwijs in voor een virtuele systeem structuur, die minimaal groter is -> dan de capaciteit van ons universum. Hetzelfde geldt niet voor een oneindig recursief Ω systeem, omdat optimaal gebruik van wiskundige middelen in een oneindig universum niet zinvol lijkt. Omega Ω betekent in het algemeen: alle oneindig mogelijke getalsystemen. Zowel psi als omega kunnen door iteratie in standaard arrays niet systemisch groter worden. Dat worden sprong getallen alleen, door een tweede type sprong te wagen voorbij ons systeem met recursies over de eerste sprong. Wordt de eerst grotere psi en omega met index als ψ_1 of ω_0 geschreven, dan ligt de volgend grotere psi ψ_2 of omega ω_1 vlak boven de hoogste recursie in ons standaard systeem met de eerste constante als teller input. De tweede type psi sprong is qua opzet vergelijkbaar met Cantor's aanname van het hogere oneindige ω_1 dat het totale aantal geeft van de reële getallen. Dit bestaat per definitie uit alle getallen, die met de ω natuurlijke getallen en alle recursieve functies Ω en hun inversen (oneindig geschakeld) te maken zijn. Maar omdat elke psi sprong binnen het domein van de natuurlijke getallen plaats heeft, blijft bij elke psi met index gelden dat ψ_i<<ω qua grootte. $ 2. Sprong indexering Dezelfde arrays waarin we grote getallen uitdrukken, kunnen we gebruiken om type indexen voor grotere getallen ψ of voor hogere oneindigen ω te noteren. De array structuur is daar bij uitstek voor geschikt. Hier maken we die omslag. $ 2.1. Systeem index We introduceerden de constante 'psi' ψ of ψ_1 die een successor getal aangeeft bij eindige systemen. Of psi een recursie extra toepast op een gegeven systeem voor grote getallen, of dat psi groter is dan fysisch te noteren valt, maakt voor de verdere indexering ervan niet uit. Maar elke virtuele psi blijft fundamenteel een natuurlijk getal en per axioma kleiner dan 'omega' ω of ω_0 oneindig. Analyseer nog eens wat er gebeurt, als we met psi doorrekenen. Tel verder van ψ1 tot ψn of met een snelle array functie tot ψ+S(m,Z) wat maximaal kan zijn. Tel dan nog een sprong voorbij dit standaard systeem, waarmee psi ψψ verdubbeld is. Herhaal dit optellen van de systeem sprong ψ.. wat psi vermenigvuldigt ψ*n en spring boven dit standaard aantal psi uit ψ*ψ met psi in de factor. Omdat psi alleen kan worden afgeteld door buiten het standaard systeem te treden, is dit louter een vergelijkende notatie voor grotere getallen. Beschouw alle operaties met psi als virtueel en niet reduceerbaar tot standaard getallen of zelfs maar een standaard aantal psi. We kunnen operaties met ψ wel ordenen en verder opbouwen, zoals in het vorige hoofdstuk met ω superrekenen. In het algemeen, door psi opnieuw in te zetten als constante S(ψ,X) in een recursief systeem, drukken we meer van dit type grotere getallen uit. Tot de bovengrens van onze array structuur bij benadering is bereikt, en de tweede sprong naar een nog groter getal ψ_2 kan volgen. Door ons array systeem uit te breiden met een hogere recursie, kunnen we behalve ψ_1 ook ψ_2 herleiden tot standaard getal. Daarin blijkt dat de expressie voor ψ_2 er niet veel groter uitziet dan die voor ψ_1 omdat beide in de parameter na de hogere teller volgen, met waarde 2 tegen een 1 die wegvalt. Dit extrapolerend naar omega ω_1 als de axiomatische sprong uit een oneindig groot recursief systeem over ω_0 oneindig, daarbij valt een extra tel in een extra parameter in het niet. Het volgende omega axioma kan niet veel "oneindiger" zijn, hoe verschillend we de onderliggende verzamelingen, die van de reële getallen in het continuüm ten opzichte van de natuurlijke, ook ervaren. Door de voorganger psi in het systeem te betrekken en daarover te springen worden alle successor psi gedefinieerd als grotere getallen. Elke ψ_n een systeem sprong groter *> dan die ervoor. Elke nieuwe sprong gebeurt relatief aan de generieke expressie a,Z waarin de array structuur volledig is benut. Met daarin eerst een vrij maximaal getal m als constante en vervolgens de steeds grotere psi. Sprong type indexen van psi ψ_n noteren we hier als eerste parameter ψ[n] binnen index array haakjes. ψ[0] = 1 -> 0 ψ[1] = ψ *> m,Z ψ[2] = ψ_2 *> ψ,Z ψ[n1] = ψ_n1 *> ψ[n],Z .ψ[i] *> (..m..),Z :n1:1 De oersprong ψ_0 uit het niets naar 1 is natuurlijk essentieel. In de laatste zin werd de vergelijkende indexering van psi sprongen in geneste vorm weergegeven; zie het als leesoefening. Door het systeem uit te breiden kunnen we precieser krijgen, hoeveel groter deze psi sprong types zijn. Dan is elke psi ψ_n met een virtuele separator ; voor de hogere recursie met de extra expressie a,b;m,n weer te geven. Maar zoiets sluit misschien niet aan bij de axioma sprongen ω_n over oneindig recursieve systemen en is ook niet essentieel. Ook als we een groter systeem Ψ postuleren dan we fysisch kunnen gebruiken, zelfs als we een oneindig systeem Ω aannemen (met een oneindig alfabet van nestbare separator index haakjes), dan nog kunnen we daar bovenuit springen en virtueel verder rekenen. We stellen dan, dat er een groter getal achter de horizon van Ψ(ψ_n,Z) ligt, of een hoger oneindige op Ω(ω_n,Z) volgt. Deze nieuwe sprong na alle mogelijke eerdere sprongen telt eenvoudig op ψ_n1 of ω_n1 tot de volgende index. $ 2.2. Sprong afstand Over psi ψ_n1 en over *> recursieve psi ψ_n,Z maken we grote sprongen, door de waarde van de eerste psi index uit te drukken ψ_[(a,X)] met dezelfde grote getallen functie. Tot ook deze grote indexen maximaal worden. Door de index zelf te laten springen naar "psi psi", worden de vorige psi met standaard index overtroffen. Omdat een index ook maar een getal is, volgt de index psi in ψ_ψ logisch uit het bestaan van grotere sprong getallen. Die kunnen boven ons standaard systeem liggen, of boven elk fysisch mogelijk systeem. Zo is door Cantor's axioma van oneindig ω eveneens logisch gegeven, dat op opeenvolgende type oneindigen ω_n1 allen groter dan >> voorgaande typen oneindigen ω_n,Ω recursief vermeerderd in een oneindig systeem, een hogere ω_ω met oneindige index volgt. Dit dubbel axiomatische construct ω_ω wordt in de set theorie het ontoegankelijk oneindige genoemd, of de eerste Mahlo kardinaal. Maar onze indexering is juist bedoeld om voor dat ratjetoe van namen van de wiskundigen een oplossing te bedenken. Door op systematische leest vanuit omega verder bouwen, kunnen alle hoger oneindigen logisch uit de vorige volgen. Vanuit het totaal van de natuurlijke getallen ω_0 tellen set theoretici verder, langs Cantor's ordinalen, voorbij de verzameling ω_1 van alle oneindig construeerbare getallen, een lang verhaal. Zo lijkt het of omega's omega ω_ω ver van omega ω verwijderd ligt. Maar vanuit het perspectief dat een sprong uit ons standaard systeem equivalent is aan wat extra structuur erbovenop, is dit een kleine afstand. Van psi ψ met de extra expressie a,m;1,2 naar psi psi ψ_ψ als extravagantie a,m;1,2,2 scheelt maar een parameter. Relatief insignificant ten opzichte van de oneindige arrays, waar iedere omega index >> overheen zou springen. Op een maximale array m,Z volgt de psi ψ sprong. Alsof in a,b;m een extra teller m is aangeplakt, om het hoogste array construct zeker voorbij die in de maximale structuur Z op te blazen. De psi index getallen, waarmee we recursief uit het systeem springen, kunnen we rechts na de teller m in de eerste extravagante iterator aangeven. En zo is de tweede sprong ψ_2 equivalent aan a,b;m,2 wat de systeem recursie over de eerste sprong oplaadt a,X;ψ naar de teller. Hoewel de structuur X groter is dan de maximale standaard Z en vervolgens cumulatief groeit, zijn deze X_i insignificant onder de opgeladen psi ψ_i waarden. We mogen het deel links in de evaluatie vergeten en met a,b afronden. ψ_n1 ≈ a,b;m,n1 ≈ a,b;ψ_1,n ≈ a,b;ψ_n ψ[1,1] = ψ_ψ ≈ a,b;m,1,2 Nu geldt ψ_ψ1 *> ψ_ψ,Z voor de volgende psi sprong over het systeem. De psi index groeit op zich, terwijl systeem sprongen aan betekenis verliezen. Na de maximale index ψ_[(ψ,Z)] met psi, springt ψ_ψ_2 naar volgend groter. Onder de dubbele index van psi psi nesten we weer nieuwe indexen. Stel dat we het aantal index etages van psi onder psi noteren in een rep :n en dat getal wordt :m,Z groot, dan gaan we ook daar weer :ψ overheen. ψ[n,1] = ψ_ψ_n ≈ a,b;m,n,2 ψ[1,2] = ψ_ψ_ψ ≈ a,b;m,1,3 ψ[1,n] = ψ_[._[.]] :n ≈ a,b;m,1,n ψ[1,1,1] = ψ_[._[.]] :ψ ≈ a,b;m,1,1,2 Hoe groter de systemen, hoe minder significant het verschil van een paar extra parameters. Hoewel niet constructief maar transfiniet, zal de nabijheid van dergelijke hogere oneindigen tot omega ω nog sterker gelden. De vraag wordt dan eigenlijk, hoe kan de relatieve afstand in het oneindige nog groeien..? $ 2.3. Voorbeeld psi Hier twee voorbeelden van systemen met simpel tellen en met kwadrateren, waar niet zo grote "psi" getallen duidelijk het systeem overtreffen. Een kleuter die hooguit tot 10 kan tellen, wordt door zus met psi 100 overbluft. Die ψ_1 input doet haar broertje verder tellen tot 110 en spring naar ψ_2 = 200 zegt zus. Na tien psi sprongen ψ_10 = 1000 kan broertje niet meer, maar zus roept ψ_ψ = 10000 de "myriade" uit, oud Grieks voor ontelbaar. Het maken van grote getallen nam een vlucht in het oude India. Vanaf de "lakh" 10^5 vormt hun algoritme bij herhaling kwadraten. Waar elke stap een nieuw getal benoemd, tot men rond de 100 stappen het Indiase ontelbaar bereikte, een getal dat asamkhyeya heet. De Bloemenkrans Soetra plaatst erboven nog negen dubbele kwadraten, maar de proza vertelling erin stopt na "onverteld kwadraat". Beschikbare vertalingen van deze soetra verschillen wat betreft het eerste getal en het aantal stappen, dus dit is een reconstructie. 10^(5*2^104) "asamkhyeya" 10^(5*2^123) "onverteld kwadraat" 10^^(10^(5*2^120)) "onuitsprekelijke tetratie" Met het gedicht dat in de Bloemenkrans Soetra op de genoemde kwadraten volgt, drukten boeddhisten het grootste getal van de antieke wereld uit. Waarschijnlijk is 10^^(10^(5*2^120)) die "onuitsprekelijke tetratie", maar taalgeleerden moeten dit nog precies uitpluizen. Neem het volgende dubbele kwadraat 10^(5*2^125) als maximale output van ons Indiase grote getallen systeem. Dit ronden we tot m = 3^3^3^4 af. We stappen in de tijdreis machine en om met onze psi sprong de monniken te overbluffen, beginnen we met 10^9 miljard en maken elke stap een grotere kubus die we uitvouwen, in totaal zo'n 1000 keer. Stel dat de laatste kubus 10^3^2^10 telt, dan is onze ψ ongeveer 4^4^4^5 en in elk opzicht "groter". De volgende duizend kubussen springen met 10^3^2^11 naar ψ_2 en daarbij geeft ψ_3 is 4^4^4^6 een dubbele sprong. Herhaal die routine tot maximaal ongeveer 3^^6^+4 of ψ_m = 4^^7 met een standaard psi index. Of spring naar het grotere getal 4^^6^+5 of ongeveer ψ_ψ = 5^^7 met een virtuele index psi. Wat in deze simpele voorbeelden duidelijk wordt: hoe uitgebreider het systeem, hoe minder het maximum getal m van ψ en zelfs van ψ_ψ verschilt. Broertje telt tot 10 en de myriade ψ_ψ = 10^4 van zus is een exponent hoger. Maar in Conway's pijlketen ziet ψ_ψ = 5→7→2 er na ons maximum m als de tetratie 4→4→2 of precieser als 27→3→2 op het oog niet veel groter uit. $ 2.4. Psilosofie In array functies volgt op elke rij een teller, die een aantal parameters aan de voorgaande rij toevoegt. Met rechts ervan ruimte voor een nieuwe rij van parameters, recursief over die teller. Op de eerste rij volgt dus de tweede en meerdere rijen vormen een vlak. Daarvan worden de rijen weer vermeerderd door de eerste teller van het volgende vlak, beide in de derde dimensie. En zo volgen de dimensies elkaar op in een multidimensionale array. Te scheiden door separatoren met een index waarde die de dimensie aangeeft. Nieuwe concepten zijn cyclisch. De dimensie index is ook de eerste parameter van de geneste rij. Separator index rijen zijn arbitrair diep te nesten, wat "een" geheel maakt. Elkaar dieper nestende arrays staan in serie en vormen het "getal" concept voor de tweede cyclus. Een operator * ertussen vermenigvuldigt series separator arrays uit cyclus 1 . Een operator die zelf weer telbaar *{k} is en indexeerbaar *[T] wordt met cyclus 2 diep geneste ster array series. Van getal naar array volgen de cycli elkaar op. Ook die cycli zijn telbaar en indexeerbaar met eigen arrays en noteren zeer grote getallen. Toch ligt het telbaar oneindige ω verder dan de grote natuurlijke getallen uit onze eindige superarrays. Als we de psi index array van sprongen over het systeem aan het systeem toevoegen, dan volgt de index in ψ_n meteen na de teller voor ψ psi. Hoe groter het systeem hoe insignificanter dat verschil. Daaruit concludeerden we dat het hoger oneindige ω_ω vrijwel samenvalt met omega ω als axiomatisch concept. En dat de reële getallen ω_1 uit alle telbaar oneindige recursieve systemen, een niet veel grotere verzameling vormen dan de ω_0 natuurlijke getallen. Vanaf de tetratie wortel 2^^0.5 via de superinversen p*{q}r*{s}-*t en hun eindeloos geneste reeksen komen er steeds meer getallen bij. Hoe groter de mogelijkheden om reële getallen te maken, hoe dieper de onderverdeling van de getallenlijn. De paradox, die blijkt uit het verder tellen van omega indexen in een extra cel bovenop een oneindig systeem, is dat het natuurlijk en reëel oneindige elkaar in de diepte juist dichter naderen. Wat als de preciese waarden van deze superreële expressies onvindbaar zijn? Dan spreiden ze zich diep onder de getallenzee van convergerende reeksen uit, verborgen als vissen in scholen. Wat is dan nog een getal? We refereren verder niet aan omega ω als we onze psi ψ systemen verder uitbouwen. Of psi nu groter is dan ons standaard systeem, of groter dan elk mogelijk maximaal systeem, of groter dan alle eindige getallen (als we psi in naam van omega gebruiken). Psi index arrays worden op dezelfde manier uitgebreid als standaard arrays, inclusief al de getal-cycli en haakjes-types. Maar boven onze array structuur kunnen we een uitgebreidere volgende structuur Ψ aannemen, die groter is dan wat wiskundigen (hier en nu, of ooit door de mens, of in het universum) kunnen realiseren of simuleren. Gewone psi indexen kunnen we relateren aan de extra structuur, waar we onze standaard index arrays mee uit kunnen breiden. Maar de structuur van de Psi array [Ψ] is altijd groter dan dat. Psi Ψ is een virtueel eindig systeem, kleiner dus dan de oneindige Ω array en de output ervan is kleiner dan ω oneindig. Als we Psi Ψ groter stellen dan de capaciteit aan tekens in ons universum, kunnen we aannemen dat daarboven toch Psi sprongen bestaan en de zogenaamde "grootste" getallen. Die grootste psi ψ[Ψ] betekent een index structuur sprong boven de maximale standaard array, maar stelt nog steeds een eindig en natuurlijk getal voor. Er zijn verschillende universa denkbaar, die elkaar zouden omvatten, elk door een Psi Ψ_i te begrenzen, de een nog grootser dan de ander. Toch blijven al zulke Psi eindig en minder omvattend dan de Omega Ω array structuur. ψ[X]. <^ ψ[Ψ_i].. :k << ω[Ω] Voor ons is een enkele boven-constructieve Psi Ψ voldoende, omdat deze model kan staan voor Omega Ω arrays met oneindig uitgebreide structuur. Dit hoogste oneindige gebied boven alle omega ω[Ω] met recursieve indexen, kan via ons virtuele ψ[Ψ] construct in kaart gebracht worden. Motto is steeds, dat we hoger en hoogst kunnen springen, zolang we dat "psilosofisch" kunnen verantwoorden, met een kloppend verhaal dus. Nieuwe indexen van hoogste sprongen kunnen we met alfa α tekens aangeven, steeds in vergelijking met ψ[Ψ] psi index arrays. Een alfabet index array die "grootste" getallen tekent, boven ^> alle mogelijke eindige sprong ψ[X] index arrays. Of analoog eraan de "hoogst" oneindige. α[0] = ψ *> X α[1]ψ = ψ[Ψ] ^> ψ[X] α[2]ψ = α[1]ψ[Ψ] α[n1]ψ = α[n]ψ[Ψ] Dit alfabet is links associatief, dus α[n]ψ[Ψ] betekent de bovennatuurlijk grote index array [Ψ] bij het huidige α[n]ψ grootste Psi type. Na α[ψ]ψ bouwen we ook die index weer uit tot array α[a,Z]ψ overtroffen door α[Ψ]ψ wat α[1]α[1]ψ is, ofwel αα wat alfa overtreffing telbaar maakt en vermeerdert tot α*[Ψ]ψ arrays, tot er een grootster alfabet β over springt. De zinloosheid van dit alles wordt inmiddels zichtbaar. Zo maakt het voor de ontwikkeling van deze alfabetten niet uit, of we α[n1]ψ als gelijk aan = of nogmaals boven ^> de Psi sprong α[n]ψ[Ψ] stellen, die ver boven ^> de standaard psi array in α[n]ψ[m,Z] gaat. In wezen eindigt de definitie van grote getallen en grotere sprongen daarover, of hoger oneindige, wanneer we geen zin meer hebben, net als bij de oude Indiërs. $ 3. Psi index array Hieronder doen we rigoreus verslag van de reis naar het allergrootste. De psi sprongen over ons standaard systeem, waarin voorgaande psi als input worden genomen, zijn te noteren in index arrays met dezelfde vorm als onze standaard arrays, die er dus ook op aan zouden sluiten. $ 3.1. Supremum De eerste psi sprong over een standaard systeem relateert aan grotere getallen, die naar keuze op verschillende parameter posities boven het ermee uitgebreide systeem kunnen beginnen. Wat we als "supremum" van het systeem verstaan en/of als het eerste getal psi ψ significant "groter" dan dat, kan zodoende meer of minder krap worden genomen. Dit leggen we uit aan de hand van een voorbeeld met supermachten. In 1928 bewees Wilhelm Ackermann waar de hoger recursieve functies, die David Hilbert had gepostuleerd, precies beginnen. De naar Ackermann genoemde functie a↑{a}a is als eerste niet primitief recursief, daar deze sneller stijgt dan de supermachten a↑{c}b waarin enkel de waarde van b of van c variabel is gesteld. Zo kan ook a→2→2→2 via a→2→a*a of anders a↑{a*2}2 een supremum zijn van de supermachten, hoewel de uitkomst praktisch niet groter is. De drie parameter keten a→b→c in zijn geheel is "dubbel recursief". Stel nu, dat ψ aan de daarop volgende enkele recursie over superexponent c relateert. Dit zijn de getallen van Graham, die zeker significant groter worden. a→b→c1→2 = a→b→(a→b→c→2) == a→b→(..a→b..) :c: = a↑{..1..}b :c1: Dan zou de vierde parameter a→b→c→d1 de eerste psi index ψ_d weergeven. En springt de keten a→2→2→2→2 met ψ_ψ boven alle recursieve psi uit. Of anders kunnen we een sprong maken door een hele dubbele recursie op de supermachten te plakken. De hele keten van vier geeft dan de systemisch *> grotere psi ψ_1 aan. En volgt uit de keten van vijf a→b→c→d→e de index ψ_e van recursieve psi sprongen. En uit a→2→2→2→2→2 weer de ψ_ψ van de eerste sprong boven de index psi. Vervolgens drukt elke dubbele recursieve schakel in Conway's keten een index in de psi index rij van hogere sprongen uit over het supermacht systeem. Of we de eerste psi index relateren aan de vierde d of aan de vijfde e schakel, doet er bij deze groter groeiende rij allengs niet meer toe. $ 3.2. Psi index tot Mahlo Onze eerste psi ψ is systeem recursief groter *> dan alle standaard getallen a,Z die we binnen fysische grenzen uit kunnen drukken in ons systeem. Elke volgende psi sprong ψ_n1 is een virtueel getal, dat weer *> groter is, dan alle output van input psi ψ_n,Z in dat standaard begrensd systeem. Definieer de vergelijking van de eerste psi index opnieuw. Ook toe te passen na substitutie hiervan in hogere indexen in de psi array. ψ[0] = 1 ψ[1] = ψ *> (m,Z) ψ[n1] *> (ψ[n],Z) Merk op dat array systemen voor grote getallen ook grote gaten ertussen laten vallen. Daarom is de definitie van alle psi ψ_n met grote index door een reeks opeenvolgende vergelijkingen fysisch onmogelijk. Maar wel is elke psi, die met een groot index getal (a,X) is uitgedrukt, qua grootte *> te vergelijken met psi met eerdere index. Nu springen we ook in de psi index de standaard systeem getallen a,Z voorbij, met een grotere ψ_ψ index psi. ψ[ψ] *> ψ[(m,Z)],Z +> ψ[(m,Z)] *> ψ[n] Toch is het zinloos om virtueel getal ψ_ψ in te voeren in het systeem en dan te vergelijken. Omdat de aanname van de index sprong "psi psi" uitgaat van een ruwe maximale systeem expressie, waar een indexje meer (m,Z)1 of minder (m,Z)- even zoveel "groter" uitpakt. Alleen de sprong ψ over de index doet er in de *> vergelijking toe. Dit geeft direct psi psi ψ_ψ aan, boven alle recursieve sprongen over systeem input psi. Waar de nieuwe index waarde een functie krijgt, hier bij 1 of anders bij 2 pas, maakt voor welke sprongen met index arrays mogelijk zijn niet uit. ψ[0,1] = ψ[ψ[0]] = ψ[1] = ψ ψ[1,1] = ψ[ψ[1]] = ψ[ψ] = ψ_ψ ψ[2,1] = ψ[ψ[2]] = ψ_ψ_2 *> ψ_[(ψ,Z)] ψ[n1,1] = ψ[ψ[n1]] = ψ_ψ_n1 *> ψ[(ψ[n],Z)] In sprong index arrays ψ[X] lijkt het psi teken op de constante a in de functie array. In plaats van de kopie ab op te tellen, substitueren we de kopie psi ψ[] met haakjes als primitieve operatie. ψ[0,2] = ψ[ψ[0],1] = ψ[1,1] = ψ_ψ ψ[1,2] = ψ[ψ,1] = ψ[ψ[ψ]] = ψ_ψ_ψ *> ψ[ψ[(m,Z)]] *> ψ[n,1] Net als Cantor kunnen we het oneindige heel precies opbouwen. Tel bij ω_ω_ω+n en bij de index ω_[ω_ω+n]_,X en dan ω_[ω_[ω+n]_,X]_,X dieper. In zijn geheel ω_[ω_[ω,X]_,X]_,X tot we de volgende omega noteren als ω_ω_ω_2 of als ω[2,2] met index array. De stappen boven in deze opbouw vallen vanzelf weg tegen een stap eronder en dan begint het gewone tellen weer. Maar de hoger oneindige Mahlo sprong volgt alleen uit het oneindig tellen van de index nest diepte. Om daarbij voor elk van die indexen Cantor's constructie te herhalen is niet langer zinvol. Bij systemen voor grote getallen is het maximum m,Z nogal fuzzy. En voor de psi sprong ψ erboven geldt, dat deze vrij willekeurig te relateren is aan een extra parameter in een virtuele systeem extensie. Daardoor is precies bijtellen op de wijze van Cantor's omega bij hogere psi niet zinnig. Het verschil in sprong blijft ~> insignificant. ψ[a1,2] = ψ[ψ[a1],1] = ψ[ψ[ψ[a1]]] *> ψ[(ψ[(ψ[a],Z)],Z)],Z ~> ψ[ψ[(ψ[a],Z)]] Door psi recursief "om" te tellen wordt de eerste index genest, tot deze is omvat door een trap van psi zo hoog als de tweede index variabele. Zoals vermenigvuldigen a*b een reeks a.. optelt, ontstaat hier door te nesten een trap met b1 index sprongen ψ[] en de eerste index a1 als grond waarde. De operatie van de tweede index "veromvuldigt" de eerste. ψ[a1,b] = ψ[ψ[a1],b-] == ψ[..a1..] :b1: *> ψ[..ψ[a],Z..] :b: Van al die index treden is de onderste dominant. Het is voldoende om de sprong van de eerste psi ψ_a1 te vergelijken *> met de systeem expressie ψ_a,Z op dat geneste niveau. De psi ψ_a domineert daarin de standaard Z structuur. Voor psi index arrays geldt, zolang de constructie geschiedenis klopt, mogen we aannemen dat de ermee uitgedrukte sprongen vergelijkbaar zijn. Druk nu de Mahlo sprong over de geneste reeks psi indexen uit in een array. ψ[1,0,1] = ψ[0,ψ[1]] = ψ[0,ψ] = ψ[..1..] :ψ: *> ψ[..ψ..] :m,Z: Hoe het algoritme voor de psi index recursie precies werkt, of zelfs hoe snel de functie is, doet er hier niet zo toe. Het is elegant om de Mahlo mijlpaal in zo'n eenvoudige array uit te drukken. We geven de psi array wel dezelfde structuur als de 0 -type array van grote getallen. Daaraan ontspringt dan een grotere cyclus van n -type psi arrays. $ 3.3. Psi index rij In psi arrays geeft de eerste parameter steeds de index aan van de dominante psi, die het diepst genest wordt in de uitwerking. In onze voorbeelden laten we de index 1 bij psi ψ_1 = ψ gewoon weg. De tweede index drukt het aantal subscript psi indexen onder psi uit. Waarde 1 zet er dan een psi ψ_ψ boven, wat als repetitie ψ[..1..] :2: te schrijven is, maar in het voorbeeld hieronder in de rep komt te staan. ψ[1,1,1] = ψ[ψ[1],,1] = ψ[,ψ[ψ]] = ψ[..1..] :ψ_ψ: ψ[1,2,1] = ψ[ψ,1,1] = ψ[ψ[ψ],,1] = ψ[,ψ[ψ[ψ]]] = ψ[..1..] :ψ_ψ_ψ: ψ[2,1,2] = ψ[ψ_2,,2] = ψ[,ψ_ψ_2,1] = ψ[..1..] :ψ[..1..]: :ψ_ψ_2: De derde index stapelt een aantal repetities, waarbij we de sprong van de eerste twee parameters in de dominante repetitie rechts zetten. Omdat natuurlijk getallen bestaan uit enen 1.. komen uitgetelde psi indexen in feite leeg te staan, zonder 0 teken. Gelukkig hoeft een sprong vergelijking van hogere psi over de voorgaande maximale array niet in recursief gestapelde reps plaats te vinden. Ook bij de Mahlo ψ[,ψ] sprong *> over ψ[,(m,Z)] is het al handiger om dit in de betreffende parameter aan te geven. Merk op dat de waarde van de eerste index in de psi array onder tweede index ψ er niet meer toe doet. In een direct aftelbare psi array komt de sprong vergelijking in de eerste index. Substitutie met psi ψ_1 vergelijkt met maximum m en verdere psi ψ_a1 waarbij a>0 met de voorgaande psi ψ_a sprong als input in het standaard systeem. ψ[1,1X] = ψ[ψ[1],X] = ψ[ψ,X] *> ψ[(m,Z),X] ψ[a1,1X] = ψ[ψ[a1],X] *> ψ[(ψ[a],Z),X] Door een regel voor array substitutie ψ[ψ[a,1X],X] zouden de psi index sprongen sneller kunnen groeien: onder de tweede index al dubbel recursief. Maar er is geen haast; primitieve psi index substitutie met ψ_a is voldoende. Net zoals bij de grote getallen van onze Adam en Eva arrays, zal de psi oplaadregel in het vervolg het recursieve verschil weer inhalen. De sprong vergelijkingen geven we verder niet aan; deze zouden op de plaats van de eerste substitutie van psi in de array komen te staan. We laden die psi met enkele index nu op naar alle parameters in de eerste rij. ψ[0,{k1}1X] = ψ[,{k}1,X] == ψ[1,{k1}X] ψ[a,{k1}1X] = ψ[,{k}ψ[a],X] Om ook indexen van de hogere en geneste array rijen op te laden noteren we de psi substitutie met een algemene regel. Hierbij selecteert onze scan vanaf links `= de eerst gevonden vormen en past deze aan, terwijl de overgeslagen delen van de index array blijven staan. Op de spaties de afgetelde iteraties en rechts tot het eind de hogere die nog wachten. - ψ[a ,1 `= ψ[ ψ[a], Stel hierbij dat a≥0 zodat dezelfde regel in de volgende evaluaties een reeks ψ_0 = 1 oplaadt en aftelt tot ψ[1 terugkeert aan de basis. Pas dan komt ψ_1 links van de hoge index ψ_a-- te staan. Die 2 minder krijgen we bij een grootte van psi gratis, net of dit oneindig ω was en zinloos om af te tellen. Zo bezien is de hele ruimte links van de hoogst opgeladen psi ψ[a>0] gratis te vullen met parameters ψ psi. En als dit tellers betreft voor lagere structuren, dan blazen we die ruimtes gelijk op tot de maat van psi. Conclusie moet zijn dat in een psi array de dominante index uitmaakt hoeveel "groter" de sprong is, gegeven de positie ervan in de totale structuur. Dit was in onze standaard arrays bij benadering ook al zo, maar die gaven nog een exact natuurlijk getal als uitkomst. We hebben hier met een enkele regel een arbitrair lange rij van psi indexen in kaart gebracht. Met primitief nesten van de index en opladen van psi vanuit de basis, drukt de rij lengte een dubbele recursie uit. Dit lijkt op het algoritme voor de array rij van ons systeem Eva. Maar het doet er niet zoveel toe, wat de regels voor evaluatie precies zijn. We zouden de twee systemen, die voor grote getallen en die voor grotere psi, ook kunnen aanpassen, zodat ze recursief gelijk lopen. # 3.3. Psi ruimtes Psi is de aanname van een eerst groter (natuurlijk of oneindig) getal boven een standaard notatie systeem. Binnen de fysische grenzen van ons systeem is er dus geen constructie mogelijk, die psi aftelt tot standaard getal. Nadat we een parameter in de array met ψ opladen en daar de vergelijking *> met de maximale systeem expressie m,Z trekken, kan deze iterator in principe afgeteld worden. Maar in psi index arrays, die bedoeld zijn voor de notatie en vergelijking van recursief grotere sprongen, werken we dat verder niet uit. In elke dimensie of uitbreiding van array structuren reserveren we of een "teller" cel of een "meter" voor de expansie van de onderverdeling ervoor. Die voegen aan de oude ruimte links (bij herhaling een groeiend aantal) subruimtes toe, of expanderen deze (steeds opnieuw) in zijn geheel. Op de tweede rij "meet" dit getal bijvoorbeeld de hele lengte af van de eerste rij, of "telt" er stapsgewijs extra parameter plaatsen bij. We tellen liever per stap bij, zonder op te hoeven ruimen, omdat de definitie dan eenvoudiger is. Laten we de rijen in psi arrays scheiden met separatoren ,[2] met index 2 die samen de tweede dimensie vormen: het "vlak" in de array. De teller t rechts van de separator voegt steeds een komma , en parameter ψ[a] toe aan de rij ervoor, met recursief groeiende waarden a vanwege de evaluatie trein tussen elke teller stap. ,[0] = ,[] = 0 ,[1] = , ψ[a,{k},[2]1t] = ψ[,{k},ψ[a],[2]t] Zo hevelen we een teller in een hogere dimensie (hier het vlak) over naar de nieuwe tellers (parameters aan de rij) van de lagere dimensie. Het valt te bewijzen dat de toename in waarde van de extra parameters van a_1 naar a_t insignificant blijft ten opzichte van het aantal t van de teller. Maar als onder de tweede index op die rij een psi opgeladen wordt naar de teller, dan mag duidelijk zijn dat dat aantal dominant is. ψ[a ,[1n]1t `= ψ[ ,[n]ψ[a],[1n]t Een algemenere psi substitutie regel, die geneste psi index arrays definieert. Waarin tekst variabele S gesloten is, wat betreft separator subarray haakjes. - ψ[a ,[1S]1 `= ψ[ ,[S]ψ[a],[1S] We kunnen in ons standaard systeem geneste arrays uitbreiden tot elkaars nestdiepte expanderende reeksen, waarvan het aantal eventueel weer vermeerderd wordt door een hogere operatie met arrays. Laat dan in dezelfde regel voor S gelden, dat het aantal haken erin klopt, zodat op dit subarray niveau ook de overgangen ][ en eventueel ]*[ of ]+[ voor kunnen komen. - - - - Een regel in de stijl van Bird zou de hele afgetelde structuur links opruimen en vervangen door een nieuwe langere versie. Een definitie in stappen is ook mogelijk, als we tijdelijk een teken voor uitstel \ van evaluatie introduceren. ψ[b,{k1},[2]m1,X] = ψ[b,{k1}\,[2]m1,X] "\ intro = ψ[b,{k}\,[2]m1,X] "sep elim == ψ[b\,[2]m1,X] = ψ[b,[2]m1\,X] "\ verplaats = ψ[b,[1],[2]m\,X] "sep intro = ψ[b,,[2]m\,X] "array elim == ψ[b,{m},[2]1\,X] = ψ[1,{m}b,[2]\,X] "b verplaats = ψ[1,{m}b,[2],X] "\ elim De tussenregel voor "separator eliminatie" om lege cellen aan het rij einde op te ruimen ,,[2] = ,[2] kan ook eerder worden ingezet, zodra een iteratie rechts is afgeteld. Dit oogt mooier en rekenkundig past het beter, maar qua grootte van de uitgedrukte getallen verandert het weinig aan het resultaat. Als een nieuwe b is opgeladen naar rij meter m worden voorliggende rij lengtes insignificant. We kunnen dit principe, om ondergeschikte ruimtes leeg te ruimen en alleen gelijke of grotere structuren te bewaren, consequent proberen door te voeren, maar de bepaling van de relatieve separator array grootte, wordt steeds ingewikkelder. Zie Bird's regels om afgetelde meters ,[R]1,[S] = ,[S] te verwijderen die aan de vergelijking R<S voldoen. Dit is voorbij zijn geneste arrays erg complex en draagt niets bij. Wij elimineren daarom alleen afgetelde plaatsen rechts aan het uiteinde van arrays. - - - - De regel voor "opladen", die direct op de hele rij of voorliggende ruimte uitwerkt. Scan de expressie van links naar rechts `= tot de eerste aftelbare variabele gevonden is. Elke variabele is "gretig", dus hier stelt n een heel getal voor, dat meteen tot 0 reduceert en even zoveel mindere separatoren in de ruimte ervoor aanlegt. - ψ[b, ,[1S]m {m>0} `= ψ[1, ,[S]..b,[1S] :m == ψ[ψ, ,[S]..b-,[1S] :m *> ψ[(m,Z), ,[S]..b-,[1S] :m Merk op dat de eerste aftelbare variabele van links ook een index kan zijn in een geneste separator array. En ook dat na aanvang elke b een getal psi voorstelt, dat niet wezenlijk van b- te onderscheiden is. We kunnen de tussenzetten voor psi per vergelijking *> gevoegelijk overslaan en ons richten op de structuur, die tenslotte dominant is. Definieer de verschillende ruimtes binnen de psi array met separator indexen. Rijen variabelen ,n_i.. met separatoren ,[2] ertussen vormen een vlak. Een aantal vlakken gescheiden door komma ,[3] vormt de derde dimensie. Ruimtes met separator indexen ,[p] vormen een p -dimensionale array. Na de multidimensionale volgen de hyperdimensionale arrays, waar bij de komma ,[p_0.,p_i..] een hele rij van indexen hoort. En zo nesten we separator array ,[T] in separator array, op dezelfde manier bij deze psi functies als in de definitie van grote getallen. Met de directe oplaadregel hierboven evalueert elke geneste arrayruimte uiteindelijk tot een hogere psi. Eigenlijk is alleen de definitie van hogere overgangen nog interessant in de expansie van deze structuur. Voor aftelbare variabelen blijven op elk niveau dezelfde oplaadregels gelden, van links naar rechts. ψ[0, 1n `= ψ[1, n ψ[b, ,1 `= ψ[1, b, Gegeven een psi index functie met beginwaarde b>0 zal de lege structuur links van de eerst gescande aftelbare variabele opnieuw worden opgeladen. Zo geven de verschillende oplaadregels voor hogere meters uitdrukking aan de expansie van dimensies, nestdiepte, haakjesparen, etcetera. En geeft de structuur zelf een ordening aan van systemisch grotere index getallen psi. - - - - Terug naar onze druppelsgewijze methode, waar het opladen van gewone parameters onder dezelfde definitie blijkt te vallen als de hogere meters binnen geneste arrays. - ψ[b, ,[1T]1 `= ψ[1, ,[T]b,[1T] Omdat we het zo hebben geregeld dat ,[0] wegvalt, volgt uit T=0 in de formule het simpele opladen van variabelen als c=0 tot c=b op de eerste rij. Waarna het omtellen van psi indexen b tot ψ[b] weer kan beginnen. Omdat dit qua definitie het meest economisch is, lijkt onze methode van het bijdruppelen van cellen en dimensies en hypergeneste separatoren de beste. Waar het om gaat is, dat index array functies zoals die voor psi, dezelfde structuur en regels voor het reduceren of evalueren van elementen van die structuur kunnen hebben als natuurlijke grote getallen functies. Naar keuze. # 4. Psi systeem Onze systemen voor grote natuurlijke getallen expandeerden de structuur van geneste separator arrays ,[X] door deze na elkaar ,.[X_i].. te plaatsen. Daarbij kwam de regel dat de nestdiepte van een array links wordt vergroot door de meter in het begin van de spade array rechts ervan af te tellen. Onze scanner zoekt namelijk steeds de eerste aftelbare variabele vanaf links en er komt een moment dat een array leeg geteld is, al dan niet ontdaan van zijn skelet van lege nesten en holle dimensies. We noemen een opeenvolgende verdiepende array reeks "spades". Binnen onze psi arrays kunnen we de separator index arrays op dezelfde wijze stapelen, als spades met dezelfde evaluatie regels. En tussen die spades komt dan weer de ; operator separator, die vanuit de spades rechts array na array toevoegt aan de reeks links. Verder kunnen we elk nieuw structuur element volgens dezelfde regels in psi arrays uitwerken, als in de getalsystemen waar psi ψ oorspronkelijk de bovengrens van is. Zie aldaar, de structuren en algoritmes om ook psi index arrays maximaal te expanderen. Nu gaan we de psi index arrays ook in reeksen schrijven. Maar de regel voor de overgang in deze opeenvolging moet wel anders uitwerken. Anders zouden we enkel een nestlaag met spades toevoegen aan de array, wat bij deze maximale systeem expansie niet veel opschiet. We kunnen beter overgaan naar de volgende systeem ronde van psi sprongen. Noteer in de psi index array Y als maximale structuur, zoals Z dat bij gewone functies was. Hier voegt ψ[Y],Z niets meer toe aan ψ[Y] en ook een extra variabele op de eerste rij ψ[ψ,Y] breidt de structuur Y niet echt uit. Alleen door over de hele psi index array heen te springen, zoals psi over al onze grote getallen sprong, krijgen we nog grotere psi of ook oneindigere omega. ψ[0][1] = ψ[1] = ψ ψ[1][1] *> ψ[ψ,Y] ψ[b1][1] *> ψ[ψ[b][1],Y] *>> ψ[..ψ..,Y] :b1: ψ[ψ][1] *> ψ[ψ[(m,Z)][1],Y] De eerste index wordt in deze context weer als bovengrens gedefinieerd. Met de vergelijking *> verklaren we dat geen enkele standaard psi index array groot genoeg is om met de voorganger psi daarin de volgende psi uit te drukken. Na deze vergelijkende sprongen gaan we opnieuw over tot de expansie van het index array gedeelte. Het lijkt of we eigenlijk niet verder komen zo. ψ[0,1][1] = ψ[1][1] ψ[1,1][1] = ψ[ψ[1][1]][1] ψ[b1,1][1] = ψ[ψ[b,1][1]][1] == ψ[..1..][1] :b2: Dit algoritme is dubbel recursief en meteen al maximaal, omdat we de hele expressie in b substitueren, terwijl deze minimaal is afgeteld. ψ[0,c1][1] = ψ[1,c][1] ψ[b1,c1][1] = ψ[ψ[b,c1][1],c][1] == ψ[..1..,c][1] :b2: Opladen van subtotaal b naar lege variabelen rechts in de index array werkt weer als voorheen. Expansie van structuren idem dito. Dan komen we weer uit bij de volgende vergelijkende sprongen over de maximale index array. En in het algemeen dus ook: ψ[0][1W] = ψ[1][W] ψ[1][1W] *> ψ[ψ,Y][W] ψ[2][1W] *> ψ[ψ[1][1W],Y][W] ψ[b1][1W] *> ψ[ψ[b][1W],Y][W] *>> ψ[..ψ..,Y][W] :b1: Waar de constante b uit de oorsprong van de psi index array ook zal overladen naar afgetelde variabelen in de tweede psi array W en de volgende psi spade arrays. Alsmede naar het vervolg apparaat van psi array separator operatoren, die hun eigen index arrays weer met zich meebrengen, enz. ψ[b1,1V][W] = ψ[ψ[b,1V][W],V][W] == ψ[..1..,V][W] :b2: Deze [W] spades kunnen dus een reeks [W_i].. psi arrays omvatten en alle verdere poespas die het systeem expandeert. De regels voor herhaling van psi spades werken weer hetzelfde als voor de herhaling van separator spades. Alleen de definitie van psi ψ[b][W] expressies, waar de index enkel de constante b bevat, werkt via *> vergelijking met de voorganger expressie. Zo komen we uit op een systeem van psi sprongen dat in zijn geheel de tweede ronde van het systeem vormt. De volgende rondes zullen wel hetzelfde gaan.