van NovaLoka

freezotic als aankomend wiskundige - dag 2

Indeling

Een lezer van een weblog begint waar de schrijver (een paar uur daarvoor) is geëindigd. De communicatie verloopt discontinu en wie meer leest bladert meestal terug.
Er is ook geen stand van zaken, zoals in de wetenschap. De weblogger is voortdurend aan het breinstormen, waarbij hij de meest triviale onderwerpen niet schuwt. Als hij al een onderwerp heeft, bekijkt hij het van alle kanten.

Dit weblog zou eigenlijk over anti-geometrie moeten gaan.
Hier volgt een Legenda om het gehalte ervan weer te geven:

Na de Nederlandse post vind je onderaan een kleine Summary in het Engels.
Aparte gedeeltes kun je ook voorstellen voor Definities & Formules en voor Links & Literatuur.
Het wijst zichzelf.

Introduced are symbols for the documentation of these weblogs, visible in the title bar:
$$ and $ indicate the post is more or less ready for publication.
@ asks for peer council, ? is unclear and ! precedes an interesting post.
Upto 4 stars can be added to indicate a degree of penetration in the subject matter (anti-geometry).
Each weblog should be numbered to find its place in the whole of the exposition.
Sections for definitions and formulas, links and literature are added as appropriate.
Each post ends with a summary in English.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 3

Afstand

Stel dat je wereld is beperkt tot een klein computerschermpje waarop één van drie mogelijke kleuren verschijnt.
Kun je dan spreken van een afstand tussen twee kleuren?

Stel je hebt een grote kartonnen doos, en je tekent er drie punten op. De wind steekt op en de doos klappert in en uit. Dan is het onzeker welke ruimte en dus welke afstand zich tussen verschillende punten bevindt.

Wanneer je 3 elementen hebt {a} {b} {c}
dan zijn daar 3 paren {a, b} {a, c} {b, c}
of 1 trio {a, b, c} mee samen te stellen
of geen enkel element doet mee Ø dat telt dan ook als 1 mogelijkheid.
Met een set of verzameling van 3 elementen kun je dus 8 verschillende combinaties maken:
   { Ø, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c} }
In de wiskunde noemen we dit de Power set of machtsverzameling van een set.
Een verzameling met N verschillende elementen heeft een power set die 2^N elementen telt.

De set theorie beschrijft een abstracte structuur, waarin we alleen kunnen zien welke combinaties met de elementen van een set te maken zijn. Het blijft onduidelijk wát precies het samen nemen van die elementen betekent.
In ons monomaan computerschermpje waren de afstanden tussen de 3 mogelijke kleuren praktisch gesproken oneindig, omdat een combinatie van bijvoorbeeld en nooit werd gerealiseerd.
Als de kleuren die je ziet afwisselen in de tijd dan zou je kunnen meten dat rood 5 seconden duurt, groen 1 sec. en blauw 3 sec. Daardoor is rood + groen = 6 sec. en elk element uit de power set van schermkleuren uniek bepaald door tijdsduur.
Natuurlijker: als de 3 elementaire kleuren op je scherm samenkomen in gemengde tinten, dan ziet je power set er zo uit:
    { }
En hetzelfde in HTML hexadecimale kleurcode zo:
   { #000000, #ff0000, #00ff00, #0000ff, #ffff00, #ff00ff, #00ffff, #ffffff }
Voordat je het weet schrijf je een JavaScript programmaatje waarin je afstanden tussen kleuren manipuleert met getallen.

De kwestie is op welke wijze het zin heeft om te zeggen dat twee of meer elementen samenkomen. Er is een ruimte nodig waarin dat gebeurd. De elementen nemen een bepaalde plaats in in die ruimte, ze moeten te localiseren zijn.
We laten onze kartonnen doos de rest van het weekend maar verwaaien en gaan maandag verder met het localiseren van punten.

The elements of a set can be viewed in combinations or n-tuples. What it means to compose an n-tuple is determined by the space of reference in which the elements can be localized.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 6

Punt

Er zijn verschillende definities te geven van een punt. Zoals ik in het blog van zaterdag al suggereerde, zie ik een punt als een element dat functioneert binnen een geometrische ruimte. Vandaag vraag ik me af hoe een punt die ruimte binnenkomt. Een vreemde vraag die niet echt wordt beantwoord.

Een computerpunt representeert een positie in een (x, y) assenstelsel, zoals een pixel op een (1024 bij 768 pixels) monitorscherm. De y-coördinaat reken je daarbij van boven naar beneden. Zo'n punt representeert meestal de positie van de linkerbovenhoek van een rechthoekig element binnen een box-opmaakmodel. Met het grafisch indelen van een applet (in Java) of document (in HTML en XML) op het scherm, wordt elk rechthoekig element verschoven ten opzichte van de linkerbovenhoek van de container (het parent element) die dat element omvat.

In werkelijkheid bestaan er eigenlijk ook geen absolute punten, alleen relatieve punten, met een (in principe) meetbare afstand ten opzichte van elkaar. En op quantum-niveau is het quantum-deeltje enkel een eenheid van energie.
De grote kartonnen doos waar ik punten op tekende toen het laatst zo waaide, bewoog met het golfkarakter van de elektronen om het atoom: deze punten waren nergens meer precies te localiseren.

De punt is het elementaire deeltje van de geometrie. Door de leegte van de ruimte worden deze puntdeeltjes uniek.
Dimensies van de ruimte zijn mogelijkheden tot afstand tussen puntdeeltjes. De ruimte waar we punten postuleren bepaalt hun karakter, dat is de manier waarop combinaties tussen punten vorm krijgen. Zo ontstaan de verschillende objecten van de geometrie: lijn en hoek, driehoek en vlak..

The space in which we postulate the elementairy particles of geometry determines the character of these particles. Geometrical particles are observed mathematically in the way their combinations form geometrical objects.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 7

Anti

Voordat we überhaupt enig anti-punt in de geometrie kunnen postuleren moeten we het hebben over verzamelingen met negatieve aantallen elementen.
Een set (verzameling) lijkt erg op een array (rij) zonder ordening.

Stel dat we een rij zouden vormen met -1 personen: je weet niet wat je ziet! Dan komt Jan aanwandelen en mengt zich in de rij en we tellen 0 elementen: niemand blijft over! Piet komt en stelt zich op: 1 persoon. Klaas erbij: 2 personen. Etc.

Met de toewijzing -1 + 1 := 0 zou je het rekenen in negatieve getallen door kunnen voeren naar de set theorie. Een anti-verzameling vermindert zijn negatieve complexiteit door een element op te nemen, en het element zelf lijkt te verdwijnen.
Andersom: als we niks hebben, dan zou je denken dat we eruit kunnen halen wat we willen, hard ermee wegrennen en het heelal met de anti-verzameling achterlaten. Echt iets voor ons!
Later zal nog blijken dat deze toewijzing andersom in mijn antiritmetica niet mogelijk is en dat 0 != -1 + 1. Nul is niet equivalent aan (verwisselbaar met) niet-iets plus iets. De toewijzing werkt één richting uit.

Maar hoe gedraagt een negatief aantal elementen zich in de set-theoretische ruimte? We stelden al voor dat zo'n verzameling vermindert zodra er een positief element bij komt. Deze wisselwerking is moeilijk te bevatten. We doen er goed aan onze ruimte eerst maar eens louter met negatieve elementen te bevolken, om te kijken hoe deze met elkaar te combineren zijn.

Eerder leerden we dat er een power set bestaat, die alle mogelijke combinaties van elementen van een set omvat. Iedere set met een positief aantal elementen heeft zo'n power set. Maar het lijkt moeilijk de power set voor een set met een negatief aantal elementen te vinden.
Niets is minder waar! De preciese aantallen van elk type combinatie voor ieder aantal elementen ligt al eeuwen op ons te wachten in de binomiale series.
Newton vond in 1665 op 22-jarige leeftijd de binomiale series voor de positieve en de negatieve breuken. Omdat we ons aan halve elementen niet eens durven te wagen, zullen we onze anti-element binomiale series beschouwen als het negatief van de Pascal driehoek.
De redenatie is dat de driehoek van Pascal de power set voor nul en positieve aantallen elementen beschrijft. En dat de binomiaal van Newton de power set (en dus alle mogelijke combinaties) ook voor negatieve aantallen elementen beschrijft.

De anti-geometrische structuur voor onze anti-punt elementen volgt hier als vanzelf uit.

A hint was given for merging positive sets with negative sets, adding an element to an anti-element.
We recognized Newton's binomial for negative integers as an eminent source of information about all possible combinations with elements of negative sets. The structure of anti-geometry follows from this.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 8

Anti-punt

Verzamel één positief element, teken het als punt en je hebt nog niet veel.
Pascals driehoek vertelt hoeveel je hebt: 1 leegte en 1 punt en niks van de rest.

Verzamel één negatief element, teken je eerste anti-punt en je krijgt oneindig veel meer!
Newtons negatieve binomiaal telt het voor je uit:  1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ... (etc.)
Wat betekenen die getallen?

Voor ons anti-geometristen zijn de negatieve binomiale coëfficienten óók aantallen van combinaties.
De eerste 1 betekent altijd de leegte. De daarop volgende -1 geeft het aantal negatieve elementen aan, wat overeen komt met ons enkele anti-punt. Maar dan? 1 lijn? -1 driehoek? Etcetera?

De bezwaren zijn overduidelijk:
Die 1 lijn suggereert het bestaan van een 'extra element'. En dat is geen anti-punt, want daar hadden we er om te beginnen maar één van. En ook geen gewoon punt, want samen hadden we er dan toch nul?
Voor de daarop volgende -1 driehoek zouden zelfs twee 'extra elementen' nodig zijn. En waarom waren die er dan nog niet, toen bij die lijn?

Sir Isaac Newton had nooit op de Lucasian chair gezeten, als hij zich met zúlke vragen had ingelaten. “-1 point? -1 triangle? Et cetera? Insanus est!”
Voorlopig lijkt het mij ook handiger om ons onderzoek tot het lijn-aspect van negatieve verzamelingen te beperken. Onze eerste negatieve set telde -1 1-tuple, en daar zou dus 1 lijn of 2-tuple op volgen. Een n-tuple is een subset van n elementen, een 2-tuple heeft er twee. Welke twee?

2-tuple Stelling:
Voor een verzameling met een negatief aantal elementen, is er naast haar anti-elementen 1 extra nulmacht-element om de 2-tuples van de verzameling vormen.

Toegepast op ons voorbeeld: toen we enkel naar het anti-punt keken was het er gewoon nog niet bij, maar toen we het lijn-aspect bezagen verscheen daar het extra nul-punt.
Zo gek is dit niet. Tellen we niet altijd 1 maal de leegte, zonder dat de punten of anti-punten uit de verzameling daarbij al betrokken worden? Opeens zijn die er!
Waarom er bij een positief punt geen extra nul-punten ontstaan, dat weet ik niet. Zúlke vragen wil ik onderzoeken!

Our assumption that negative sets create n-tuples ad infinitum seems absurd. It is through the introduction of zero-power elements that this becomes possible.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 9

Binomiaal

De post van vandaag brengt een anti-geometrische tabel van de binomiale verdeling. Je vindt er combinaties met negatieve elementen en positieve elementen en ook de nulmacht elementen die we gisteren introduceerden.

Alle cellen, uitgekristalliseerd in deze tafel, houden op een nogal intuïtieve manier verband met elkaar.
Het is bijvoorbeeld verre van helder hoe de nulmachten van onder opstijgen, om de extra elementen te worden in de combinaties voor de negatieven van boven. Waarom dit verticale verband?
En welke rol speelt de rij nullen op rij nul? Intuïtie zegt me dat daar het 'anti-fundament' wordt gelegd. MathLogs 1.2.x zullen ons het rekenen met al die nu zo vreemde nulmachten moeten leren (over een paar weken).

Verklaring van de getallen en letters in elke binomiale cel:

c = coëfficient die het aantal mogelijke combinaties of n-tuples telt.

a^m = het aantal elementen m die niet met dit type combinatie meedoen.

bⁿ = het aantal elementen n die wel met dit type combinatie meedoen.

Verdere verbanden:

m + n = het totale aantal elementen van de set op deze rij.

Uitgebreid spelen met de binomiale tabel kan met een webprogramma wat ik eerder maakte.

Interpretation of the numbers in the above binomial table:

c = the combination or possible n-tuples of a set.

a^m = the number m of elements not part of the combination.

bⁿ = the number n of elements part of the combination.

Further knowledge:

m + n = number of elements of the set.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 10

Breuk

Bij de binomiale tabel voor gehele getallen van gister hoorden eigenlijk nog wat formules. Die komen met de post van morgen. Vandaag doen we drie tafeltjes ter vergelijking: van de halve en de derden van de binomiale series. Gemaakt met (de generalisatie van) Newtons formule. Wie weet brengt dit uitstapje ons op ideeën..

We moeten het later allemaal maar beter bekijken. In ieder geval hield ik aan het maken van deze tabellen een beginnetje voor een Java programma over, waarmee we deze gegeneraliseerde binomiale breuken kunnen genereren. Leeft u nog?!

For comparison tables of some fractions of Newton's binomial: those starting with 1/2, 1/3 and 2/3.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 11

R over K

Een combinatie is in de wiskunde het aantal manieren om k elementen uit een set van r elementen te kiezen als de volgorde er niet toe doet.
Je kunt bijvoorbeeld op 3 manieren een combinatie van 2 elementen samenstellen uit een set {A, B, C}, namelijk door {A, B} of {A, C} of {B, C} te kiezen. In formule:

C23=(32)=3   Ckr=(rk)=r!_____k!(r-k)!

(Vast een R.K. pater geweest die deze notatie heeft uitgevonden!)
Wij zullen een combinatie van k elementen uit r schrijven als rCk = r!/(r-k)!/k!
Dan blijkt dat rCk = r*(r-1)*(r-2)*...*(r-k+1)/k!

O ja, en k! = 1*2*...*k draagt de naam faculteit (Engels: factorial).
Dit allemaal ter inleiding op Newtons binomiale formule van morgen (na de mis).

The combination rCk is the number of selections of k different items from r distinguishable items when order of selection is ignored.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 12

Gamma

Sommigen schrikken zich een apenhoedje van wiskundige formules. Maar dit MathLog is óók bedoeld voor iedereen die bij x^n + y^n = z^n niet meteen denkt aan het bewijs dat Andrew Wiles in 1995 leverde van de laatste stelling van Fermat.
Wiles antwoordde op de vraag van Nova of hem na het oplossen van zijn grote raadsel nog iets speciaals was bijgebleven:

“Ik heb één ding zeker geleerd en dat is dat het belangrijk is om een probleem uit te kiezen waar je het meest om geeft. Hoe ontoegankelijk het ook mag lijken, als je het niet probeert zul je ook niet slagen. Werp je altijd op het probleem dat het meest voor je betekent.”

Dat is ook mijn motto in deze MathLog serie. Anti-punten mogen dan onbestaanbaar lijken, ik probeer het gewoon en kijk hoe ver ik kan komen, talent of geen talent.

Gisteren schreven we wat simpele formules over uit een oud handboek. Hier geloofden sommige snotapen misschien niet dat combinaties rCk van negatieve getallen of breuken r wel bestaan? Dan verwijs ik graag naar Eulers gamma functie, die bepaald is door Γ(x+1) = x*Γ(x) (en berekend met een integraal).
De gamma functie geeft ons de faculteiten van ALLE getallen, volgens de relatie: x! = Γ(x+1)
Zo is tot onze verbazing van het getal -1/2 de faculteit !
Zo'n transcendentale expressie voor Γ(1/3) = 2,6789385... en Γ(1/4) = 3,6256099... is niet bekend (open probleem).

Vanuit anti-geometrisch perspectief is Newtons formule voor de binomiale series het belangrijkst. Komt-ie dan:

Isaac Newton generalized the binomial expansion from integers to other exponents by considering an infinite series (see formula above), where r can be any complex number.

Euler's gamma function extends the notion of the factorial that n! = n(n-1)! to arbitrary (complex) numbers.

Our MathLog motto is a quotation by Andrew Wiles, who solved Fermat's last theorem:
“Certainly one thing that I've learned is that it is important to pick a problem based on how much you care about it. However impenetrable it seems, if you don't try it, then you can never do it. Always try the problem that matters most to you.”

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 13

Function

Het heeft weinig toegevoegde waarde om formules uit boeken en van websites over te nemen. Meer daadkracht gaat uit van functiedefinities in JavaScript (browser programmeertaal), die zich binnen de webomgeving nuttig maken. Voeg daar Javadoc stijl commentaren aan toe en de toepassing in andere programmeertalen wordt ook een stuk makkelijker.

Als voorbeeld zie je uit een vorig MathLog de functies voor faculteiten en voor combinaties.
Programmeurs houden wel van kleurtjes :o)
De coëfficienten uit de binomiale expansie van (a+b)^r zijn ook combinaties.

Wie op een functie klikt krijgt gelijk de mogelijkheid om hem uit te testen.

/**
 * param  int
 * return long
 **/
function factorial(n)
{
  var f = 1;                     // long

  while(n > 1)
    f *= n--;
  return f;
}

/**
 * param  double
 * param  int
 * return double
 **/
function combination(r, k)

{
  var c = 1;                     // long
  var end = r - k + .5;          // double

  while(r > end)
    c *= r--;
  c /= factorial(k);
  return c;
}

De combinatie met breuken is ook mogelijk: in rCk kan r dus de Newtoniaanse waarde 0.5 aannemen (gebruik dan wel de decimale punt, niet de Hollandse komma).
Ik wil ook nog een programma schrijven die de HTML hierboven zelf schrijft, uitgaande van een Java functie dus. Als het niet automatisch kan kost al deze schoonheid me te veel werk :o(

We've introduced a new and interactive way to present mathematical functions in this blog.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 14

Bouwen

Om een binomiale tafel te maken hoef je slechts de coëfficienten (m+n)Cn uit te rekenen voor één rij en één kolom. Het gemakkelijkste neem je de triviale kolom waar n = 0 en de rij met het grondtal 0 <= mg < 1
De rest van de tabel kun je de computer, die net als wij meer van optellen houdt, laten samenstellen volgens de relatie rCn + rC(n+1) = (r+1)C(n+1) waarbij je de breuken intact kunt overgedragen van de ene tabelcel naar de andere.
Dat werkt zo:

Aldus opgebouwd vanuit een grondtal ontstaan er velden waar ieder mogelijke keuze van een geheel aantal elementen n uit de set m+n geteld wordt met een speciale coëfficient: de combinatie c. Deze coëfficient vertelt op hoeveel manieren zo'n keuze mogelijk is (dat is het anti-geometrische gezichtspunt). Mijn ambitie is om dit voor de negatieve gehele getallen verder uit te werken. Maar in het geval van breuken krijg je met deze denktrant ook rare uitkomsten:
Kies je 3 elementen uit een set van 1/5 dan kan dat voorwaar op 6/125 aantal manieren!

Esthetisch zijn ze wel deze tafeltjes, met merkwaardige harmonieën.
Als je 5/5 zoekt, die vind je in de binomiaal voor de gehele getallen, waarvan het positieve gedeelte de driehoek van Pascal is. Het grondtal van die tabel is 0, of -0 voor de anti-geometrist.
Voor breuken en negatieve getallen is de binomiaal (een rij in de tabel) een som van een oneindig aantal termen c*am*bn die de expansie is van (a + b)p, waar p de macht is die wordt uitgewerkt in de rij (vandaag dus de vijfden).
Wiskundig gezien convergeert deze oneindige reeks alleen tot (a + b)p wanneer a > |b| (erg flauw, want je mag de waardes van a en b omruilen).

In Pascal's driehoek konden we in elke rij gewoon de distributieve wetten toepassen, neem bijvoorbeeld rij 2:
(a+b)*(a+b) = (a+b)*a + (a+b)*b = (a*a + b*a) + (a*b + b*b) = a2 + 2ab + b2
en we vonden er als resultaat altijd een eindig aantal termen.

Links en rechts distributie is de axiomatische 'lijm' tussen optellen en vermenigvuldigen. Maar met wat voor soort distributie krijgen we in de oneindige rijen van Newton's binomiaal te maken? Wordt het axioma daar verder uitgebreid?

This MathLog presents an easy way to compute binomial tables, especially for fractions.
The tables for all fifths serve as examples of binomial series with fractions. We may return to this type of binomial once our main issue, that of combinations of negative elements, has been solved.
A question was put forward, if Newton's binomial theory inherently extends the distributive laws of arithmetic.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 16

Intuïtie

De methode om cel voor cel een binomiale tabel te bouwen werd vrijdag al uitgelegd. Volgens dezelfde methode verloopt de constructie van de anti-geometrische oertafel in vier stappen:

1. De basiscoëfficienten zijn de triviale beginkolom met enen, en de rij met grondtal nul en verder nullen.
   Onze interpretatie voor die nulde kolom is dat er uit iedere willekeurige verzameling altijd precies 1 keer een lege subset te kiezen is. Voor de nulde rij geldt dat er in de lege verzameling geen subsets gevonden kunnen worden.
2. De cellen van de Pascal driehoek en het daarop volgende gebied met nullen kun je omlaag bouwen.
   De geometrische interpretatie is dat het grondtal in de eerste kolom, waar b¹, het aantal punten van de rij aangeeft. De waarden van de coëfficienten in de tweede kolom, waar b², het aantal lijnen dat tussen deze punten mogelijk is. De waarden in de derde kolom, waar b³, het aantal driehoeken dat tussen deze punten mogelijk is. Etcetera: de waarden in de n-de kolom, waar bⁿ, het aantal n-polygonen dat tussen deze punten mogelijk is. (Ik ken heus een professor in de geometrie die hier al de draad kwijtraakte.)
3. De cellen van de negatieve binomiaal ga je omhoog bouwen. De afstand tussen de waarden neemt alsmaar toe als de rijen langer worden, want er is geen horizontale symmetrie (spiegeling van waarden) zoals in de Pascal driehoek.
   De anti-geometrische interpretatie van al deze omhoog gebouwde coëfficienten is waar wij ons mee willen bezighouden:
   Wat is -1 punt? Een anti-punt? Hoe komt het dat er maar liefst 3 lijnen mogelijk zijn tussen twee anti-punten? Waarom groeit, hoe hoger het dimensionale aspect, het aantal connecties tussen anti-punten ongelimiteerd? We lezen het af uit de tabel.
4. Daarna herwaarderen we het gebied van de nulmachten vanuit de rij met grondtal -1 naar beneden. Hadden we met Pascal's logica vastgesteld er altijd 0 subsets mogelijk zijn met meer elementen dan de set van keuze, nu gaan we die 'nullen' verder definiëren om het nul-gebied 'opnieuw' inhoud te geven.
   De vraag HOE we dat doen en WAAROM probeer ik verder te beantwoorden in het volgende MathLog. Ik verklap vast dat we stellen dat -1 + 1 := 0 en 1 + -1 := -0 twee verschillende dingen zijn, en dat dit axioma de machten van nul tot op zekere hoogte hun identiteit laat behouden. En dat er nulpunten verschijnen zodra een aantal anti-punten hogere dimensies zoekt. (En ik geloof dat ik hier de draad begin kwijt te raken.)

Explains the four steps to intuitively construct the anti-geometric binomial table.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 17

Bier

We kwamen tot de hypothese dat anti-punten hun binomiaal bepaalde aantal connecties (lijnen, driehoeken, etc.) met nulmacht-punten vervolledigen.
Een voorbeeld hiervan geeft het logo van dit MathLog: tussen 2 anti-punten zijn daar 3 lijn-aspecten (lijnen) mogelijk door 1 extra nulmacht-punt te postuleren.
We gaan nu proberen op axiomatische grondslag een antiritmetica te bouwen, die machten van nul toestaat. Dan zien we later wel hoe we daar bier van kunnen brouwen (ben ik wel aan toe).

Bij het maken van een formeel systeem probeer ik altijd eerst de minst sterke aannames te maken, en te zien hoe ver ik daarmee kan komen, voordat ik nieuwe aannames maak.
Mijn eerste aanname is -1 + 1 := 0 wat betekent dat als je -1 + 1 ergens hebt, dat je daar 0 voor in de plaats kunt schrijven of substitueren, maar niet automatisch ook andersom. Deze aanname is deel van de definitie van het getal -1, als het getal waarvan de 0 de opvolger is.

Het := teken voor substitutie is wat anders dan het == teken voor equivalentie. Een substitutie A:=B van A door B is de implicatie dat als A voorkomt in een expressie deze door B te vervangen is. De sterkte van die expressie zou door de substitutie wel kunnen afnemen.
De relatie tussen substitutie en equivalentie is (A:=B && B:=A) == (A==B) == (B==A) (&& en ~ wat je al dacht).

Binnen een axiomatisch systeem kun je zoveel definities (voor getallen bijvoorbeeld) geven als je maar wilt, zolang die binnen de toepassing van het systeem (bij het rekenen) maar geen tegenspraak opleveren. Dat wil zeggen dat iets niet tegelijk waar en onwaar kan zijn !(A!=A)  !(A:=B && A:=!B) (! niet ~ wat je dacht).

Met de aanname dat alle nullen hetzelfde zijn valt prima te rekenen, zoals uit ervaring blijkt.. Willen wij beweren dat if(m!=n) 0^m != 0^n dan beweren zij dat hun sterke axioma x*0=0 zonder tegenspraak functioneert.
Maar hun axiomatisch systeem is niet erg bruisend, met al die eenvormige nullen, en hun binomiale bier slaat dood.
De situatie met 0 en vermenigvuldigen is vergelijkbaar met die van 1 en optellen. Want wat zou het resultaat zijn als iedereen volgens een axioma x+1=1 had blijven mediteren op het feit dat 'alles één is'? Nee, geen tegenspraak!

Announces the creation of a formal axiomatic sytem of arithmetic, dubbed antirithmetic, that distinguishes between powers of zero. Its first deviant assumption means that we will not have introduction of -1 + 1 from nought, whilst the axiom -1 + 1 := 0 only expresses substitution not equivalence.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 19

Somme

Vandaag gaan we twee kleine sommetjes maken en een grote.
Onze aanpak is axiomatisch, waarbij iedere stap in de bewijsvoering verantwoord wordt. Als je de muiscursor links op een afleidingsregel plaatst verschijnt er meer informatie over het daarvoor toegepaste axioma.

Het valt hier wel erg op dat we de commutatieve wet voor het optellen A+B == B+A hebben vermeden.
Onze antiritmetica werkt (voorlopig) anti-commutatief. We willen een stelling voor commutatief optellen die rekening houdt met de - 0 + tekens van getallen.
Hoewel voor positieve nulmachten anti-commutativiteit niet per se nodig is (verbod op ontleden van 0 in -1 + 1 is afdoende), zou het demotiverend zijn om met commutatief optellen iets als (-1 + 1)^2 := 0 te herleiden!
De definities voor machten van nul vinden we als vanzelf:

En ook 0-0 := -02 en -02+02 := 03 zien er grappig genoeg uit om plausibel te zijn.
Het lijkt erop dat we zo een leuk systeempje construeren van keurig afgebakende nulmachten.
De volgende afleiding maakt duidelijk dat dit heel anders ligt:

Vergelijken we dit met de constructie van de nulmachten in de anti-geometrische tabel, dan blijkt uit stelling C dat de exponent p van deze nulmachten 0p eigenlijk een ondergrens (n >= p) is.
Op dezelfde manier zijn ook de exponenten in -0p in onze binomiale tabel slechts op te vatten als ondergrenzen.
Het rekenen met nulmachten lijkt gekenmerkt te worden door hun minimale exponent.

Ik stel de nu volgende ordening voor van nulmachten:
Bij positieve nulmachten is een hogere macht kleiner dan een lagere macht: {m<n} 0^m > 0^n
Een ondergrens aan de exponent geeft dus een maximum voor de nulmacht.
Bij negatieve nulmachten is een hogere macht groter dan een lagere macht: {m<n} -0^m < -0^n
Een ondergrens aan de exponent geeft dus een minimum voor de nulmacht.
Geef dit getallenlijntje als voorbeeld: -1 < -0 < -02 < -03 <   < 03 < 02 < 0 < 1

We axiomatically derived new powers of zero, but refrained from using any commutative law of addition. Zero powers appear to be characterized by their minimal exponent. We propose an ordering for zero powers over the number line.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 20

Pluts

We gaan verder door de algemene formules af te leiden waarmee de nulmachten uit de binomiale tabel kunnen worden gevonden.
Hou er rekening mee dat de exponent in al deze nulmachten ±0n een ondergrens is, zoals bewezen in stelling C.

De formule voor negatieve nulmachten 0^n + -0^n := -(0^(1+n)) zouden we op eendere wijze kunnen berekenen.
We zijn meer geholpen met de volgende equivalentie die in eendere gevallen mooi toe te passen is:

Hoewel ik de rekenregels voor nulmachten, etc. verder wil uitwerken dat dit, kunnen we nu al de nulmachten uit onze anti-geometrische binomiale tabel begrijpen. Beginnend bij definitie A ontstaat bovendien langzaam aan een beeld van wat antiritmetica, die rekent met verschillende nulmachten, inhoudt.
Volgende week zullen we hier dieper op induiken :0)

Applying theorems A - E, we can create and order the different powers of zero in our binomial table.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 22

Nol

Om de aparte status van 0*0 te behouden moeten we 0+0 secuur definiëren: 0+0 := 0 en dus geen equivalentie (anders zou -0+0 = -0+(0+0) = (-0+0)+0 = 0*0+0 = 0*0+1*0 = (0+1)*0 = 1*0 = 0 het bier verschralen).
Omdat ik vandaag een hoofd als stopverf heb, veralgemeniseren we de nieuwe definitie tot een formule voor het optellen van gelijke nulmachten, en houden het verder voor gezien.

Hier is duidelijk dat n>0, omdat 00+00 != 00, want 1+1 = 2.
Morgen weer verder met de formules voor ongelijke nulmachten.

The definition of 0+0 leads directly to a formula for adding zero powers that have the same positive exponent.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 23

Eenol

De definitie van 1 via Peano's successor functie door 1 == s(0) == 0+1 is een equivalentie, waar 1+0 geeft 1, maar ook 1 geeft 1+0.
Een equivalentie is nogal een sterke aanname in deze vreemde rekenkunde die we hier bouwen. We hopen maar dat onze antiritmetica overeind blijft, nadat het een en ander is afgeleid uit zo'n definitie.

Best een ingewikkeld bewijs voor zo'n vanzelfsprekend resultaat.
Nu draaien we twee termen uit de vorige formule om, en gegeven dat 1+0 == 1 verloopt het bewijs op analoge wijze:

En weer volgt uit een equivalentie als vooraanname, een formule die ook een equivalentie is, maar dan wel een sterkere.
De vandaag afgeleide formules zullen ons morgen het optellen van nulmachten 0^m + 0^n een stuk makkelijker maken!

We expanded the two given definitions for adding 0 and 1, to the addition of positive zero-powers and 1.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 24

Nollen

We zijn er nu aan toegekomen om het optellen van ongelijke nulmachten te definiëren.
Stap 2 en 3 van de volgende bewijzen Ha. en Hb. lijken wat onzeker omdat de toegepaste regels niet voor alle getallen geldig (lijken te) zijn. Daarom eerst een verantwoording:

Als de variabelen m en n uit de verzameling N van positieve natuurlijke getallen komen, hadden we de machten ook uit kunnen schrijven als A^B == A*A*...[#B] om het argument zo tot dezelfde conclusie te voeren.
We nemen aan dat 0^0 == 1. Dan kun je indien m>n && n=0 in bewijs Ha. direct formule Ga toepassen. En zo ook indien m<n && m=0 dan kun je in bewijs Hb. direct formule Gb toepassen. Aangezien 1 == 0^0 blijven de conclusies gelijk.
Voor alle natuurlijke getallen kloppen onderstaande bewijzen dus.

Stellingen Ha. en Hb. gaan hierover:
Tel twee nulmachten bij elkaar op, dan houdt de nulmacht in de uitkomst de lagere exponent, terwijl de hogere exponent vervalt.

Op zich lijkt er geen bezwaar om bovenstaande observaties, dat de hogere exponent plaats maakt voor de lagere, uit te strekken tot nulmachten met negatieve exponenten, zoals in 0^-2 + 0^-1 = 0^-2 of in 1/0 + 1 = 1/0.
Waar het verschil k tussen de exponenten maar steeds tenminste 1 bedraagt, zijn immers de formules Ga. en Gb. geldig. Maar voorlopig gaan we het delen door nul uit de weg. Doen we onze ogen dicht, dan bestaat het niet  |-)

The sum of two zero-powers with different exponents is equal to the zero-power with the smallest exponent.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 25

@ppeltaart

We hebben al flink wat theorema's bewezen en daarmee gaan we nu de bochtjes in de bewijsvoering afsnijden. Net zo makkelijk!
De formules Ga & Gb toonden aan dat een positieve nulmacht verdwijnt zodra er 1 bij wordt opgeteld. Hetzelfde verwachten we te kunnen bewijzen wanneer de tekens van de operandi verschillend zijn. In de eerste twee gevallen lukt dat ook meteen:

In de andere twee gevallen: voor 1-0n en -1+0n, is het mij nog niet gelukt om op basis van de tot nog toe gebruikte regels en stellingen (zonder commutativiteit) een dergelijke afleiding te maken.
De @ in de titel vandaag belooft een APPELTAART voor wie dat wel kan! Bij deze een PRIJSVRAAG voor cryptologen dus, waarvan de oplossing is te posten per weblog feedback. Inzenden kan tot a.s. maandag.

Om alvast een beginnetje te hebben, volgt hier een klassiek inductief bewijs voor -1+0n (via formule E ook voor 1-0n geldig).
Dit bewijs sluit aan bij stelling C, omdat volgt dat de nulmacht in dit geval een minimale exponent heeft, die willekeurig hoger kan worden gemaakt:

For those who like puzzles and apple-pie:
Try to find a proof that 1 - 0 = 1 or alternatively that -1 + 0 = -1 solely by applying antirithmetic rules.
Or perhaps you can help simplify 1 - 0^n or -1 + 0^n and still win!

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 28

4^^^^4

Een andere hobby van me is het maken van grote getallen. Het belangrijkste is een compacte manier te vinden om grote getallen te kunnen neerschrijven.
De methode die ik zal introduceren staat garant voor onredelijk grote getallen! Deze overtreffen met gemak de meest exotische getallen zoals we die in de oosterse soetra's aantreffen.
En toch zijn dit allemaal, zoals de wiskundige zegt: aftelbare getallen en die zijn dus bij lange niet oneindig.

Operator definities
        met voorbeelden

#a = 1+1+...+1 [#a]

#2 = 1+1

a + b = 1+1+...+1[#a] + 1+1+...+1[#b]

2 + 3 = 1+1 + 1+1+1 = 5

a*b = a+a+...+a[#b]

2*3 = 2+2+2 = 1+1 + 1+1 + 1+1 = 6

a^b = a*a*...*a[#b]

2^3 = 2*2*2 = 2+2 + 2+2 = 8

a^^b = a^a^...^a[#b]

2^^3 = 2^(2^2) = 2^4 = 2*2*2*2 = 2*8 = 16

a^^^b = a^^a^^...^^a[#b]

2^^^3 = 2^^(2^^2) = 2^^(2^2) = 2^^4 = 2^(2^(2^2)) = 2^16 = 65536

etc^^^^...

Namen voor grote getallen:
Miljard is 109, biljoen is 1012 en triljoen is tegenwoordig 1015
Een googol is 10100 en dat lijkt op de astronomische getallen die je krijgt wanneer je aantallen deeltjes telt in het heelal.
Het illustere googolplex is 10googol maar getallen van deze orde hebben in de natuurkunde (nog?) geen nut.
Het derde getal van Ackermann is een stuk groter dan dat:

Dat kun je met gewone cijfers op proberen te schrijven, maar dan kom je al snel papier te kort. Zelfs al zou je van ons hele heelal een quantum-computer maken en in ieder quarkje een astronomisch cijfer stoppen, dan nog beschrijft jouw getal niet het aantal van zulke heelallen dat je nodig hebt om dit getal weer te geven.
Probeer het te vereenvoudigen, en je komt niet verder dan:

Waarom mij dit zo'n interessant getal lijkt is omdat het wel groot is, maar toch ook weer niet waanzínnig groot.
Zoals je uit de omkaderde definities kunt opmaken kun je tussen twee getallen n een rij hoedjes ^^^...[#n] plaatsen. Daarmee ontstaat Ackermann's n-de getal, die elk kleiner Ackermann-getal flink in de schaduw zal stellen. Morgen gaan we dat ook doen: hoedjes tellen, operators tellen, maar eigenlijk zijn de getallen die daarmee mogelijk zijn niet zo interessant meer.
Ackermann's derde getal is nét klein genoeg om nog vragen te kunnen stellen over de eigenschappen ervan. Wat de eerste of de laatste decimale cijfers zijn bijvoorbeeld. Of hoeveel digits we maximaal kunnen kennen, en hoe dat in andere getallenstelsels zit. Dat soort vragen zijn best interessant :o)

We extended the usual operators with an arrow notation to create the very big numbers n ^^^...[#n] n that Ackermann defined in 1928 (source: The Book of Numbers - Conway & Guy).

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 29

Ômapaa

Stel dat je aan elke operator uit de reeks +,*,^,^^,^^^,... een index zou toekennen. En dat je een nieuwe post-fix super-operator functie in het leven roept om alle (grote) getallen te maken:

Super-operator Ô

(a,b,0)Ô = (a,b)O₊ = a+b

(a,b,1)Ô = (a,b)O_* = a*b

(a,b,2)Ô = (a,b)O_^ = a^b

(a,b,3)Ô = a^^b

(a,b,4)Ô = a^^^b

(a,b,5)Ô = a^^^^b

Ackermann's n-de getal is dan uit te drukken als (n,n,n+1)Ô (omdat onze index een stapje voor loopt).
Onze operator Ô hoeft niet per se drie-waardig te blijven:

Nul-waardig Ô

()Ô = 0

Een-waardig Ô

(n)Ô = #n = n

Twee-waardig Ô

(a,b)Ô = a+b

De toverformule waarmee ik de primitievere operatoren wist te duiden:

Deze formule lijkt een natuurlijke manier te geven om meer-waardige super-operatoren in verband te brengen met minder-waardige. Daar kunnen we op bouwen!

Ook het rekenen met operator-indexen lijkt binnen de mogelijkheden te komen:
Denk aan een operator (a,b,1/2)Ô die zich halverwege optellen en vermenigvuldigen bevindt.
Of geheel in anti-geometrische stijl een negatieve operator functie (a,b,-1)Ô
Wat dat dan ook moge betekenen.. (misschien kennen we dit soort functies al, maar varen die onder een andere vlag)

Een mooi wiskundig probleem vormen de waarden van (0,0,i)Ô en {1,0,i)Ô {N(i>2)}
Is daar al iets over bekend bij jullie in Taka-Toekaland?

We're designing a super-operator function (a1,...,an)Ô that handles arithmetical operators through their index number.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 30

GÔdel

Ongehinderd door enige kennis van zaken vindt freeZotic voor u opnieuw het wiel uit. Onze toverformule van gisteren lijkt griezelig veel op het eerste lid van Gödels schema voor primitieve recursie uit 1931, dat in feite ook de basis is voor Ackermanns functie uit 1928, hoewel Ackermann zelf een schema voor compositie van functies overnam van Hilbert uit 1925. Dit las ik in from Frege to Gödel, een prachtige compilatie van artikelen over wiskundige logica (aan boeken geen gebrek).
Quote voorwoord bij Ackermanns Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen:

De notie van een primitieve recursieve functie verscheen, in Dedekind 1888, als een natuurlijke generalisatie van de recursieve definities van optellen en vermenigvuldigen. Primitieve recursieve functies worden verkregen uit 0, de opvolger functie en de identiteitsfunctie door compositie en het volgende schema:

A{	(1) f(x1,x2,...,xk,0) = g(x1,x2,...,xk) (2) f(x1,x2,...,xk,n+1) = h(x1,x2,...,xk,n,f(x1,x2,...,xk,n))

Waar g(x₁,x₂,...,x_k) en h(x₁,x₂,...,x_k+2) eerder geïntroduceerde primitieve functies zijn.
(Schema A is Gödels schema voor primitieve recursie.)

Ackermann bedoelde zijn recursieve meta-functie om een voorbeeld te geven van functies die niet kunnen worden weergegeven met behulp van schema A (de gewone of niveau 1 functies) en die van een hoger niveau zijn (niveau 2 - quote).
David Hilbert had eerder de aanname gemaakt dat zulke hogere functies mogelijk zijn, en Ackermann zou dit 3 jaar later dus bewijzen met de naar hem vernoemde functie als voorbeeld.

Het is niet meteen zo dat Ackermann bedoelde om een natuurlijke opbouw van operator functies te geven, zoals wij dat hier pretenderen. Zijn recursief schema bevat ook een wat gekunsteld aandoende hulpfunctie α(a,b) maar dat hoeft ons niet te deren.
We gaan het tweede lid van al deze recursieve schema's later (morgen?) onder de loep nemen, om er onze super-operator Ô verder mee uit te breiden.. Volgens mij zijn we op de goede weg.

We mentioned some of the most important papers from the great mathematical logicians of the interbellum.
Their definition schemes for recursive functions should help us extend our super-operator Ô function.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 32

Nemôge

Vandaag te duf om na te denken && too cool to be forgotten..

Science Unlimited

Het Nederlandse hoogtepunt van WYP2005 (World Year of Physics 2005) heet Science Unlimited. Dit 'ontdekfestival' vindt plaats van woensdag 15 t/m zondag 19 juni in en rond nationaal science center NEMO te Amsterdam.

NEMO is tijdens Science Unlimited voor iedereen gratis toegankelijk.

Science Unlimited wordt een feestweek waarin universiteiten en bedrijfsleven een programma aanbieden dat scholieren, studenten en het algemene publiek zal verbazen, vermaken, overdonderen en nieuwsgierig maken.

In en rondom NEMO wordt een grote 'wetenschapsmarkt' ingericht met onder andere tientallen demonstraties en exposities, die zijn ontwikkeld door universiteiten, wetenschappelijke instituten en grote bedrijven. Het water rondom NEMO wordt ingezet voor verfrissende activiteiten. Er zijn voordrachten over natuurkunde, experimentele shows met verrassende proeven en cabaretachtige voorstellingen met natuurwetenschappelijke thema's. Ook alle interactieve exposities van NEMO zijn van 15 t/m 19 juni voor iedereen gratis toegankelijk.

Van tien tot tien

Science Unlimited is van woensdag 15 t/m zaterdag 18 juni geopend van tien uur 's morgens tot tien uur 's avonds. De avonduren zijn op alle dagen vooral bedoeld voor een algemeen, volwassen publiek, voor leerlingen in de bovenbouw, HBO- en WO-studenten. Zondag 19 juni duurt Science Unlimited van 10:00 tot 17:00 uur.

Opening

Het 'ontdekfestival' gaat van start met een wervelende openingsshow voor genodigden op dinsdagavond 14 juni. De opening zal worden verricht door mr. Laurens Jan Brinkhorst, minister van Economische Zaken en vice-premier. De presentatie is in handen van prof. dr. Wubbo Ockels, onze eerste man in de ruimte.

Bekijk het volledige programma voor informatie over alle activiteiten die plaats zullen vinden.
Met op donderdag 16 en vrijdag 17 juni overdag speciale aandacht voor de basisscholier. Zaterdag 18 en zondag 19 juni richt Science Unlimited zich op gezinnen met kinderen, grootouders met kleinkinderen en alle andere mensen die zich willen laten fascineren door een wereld die niet draait zonder natuurkunde.

freezotic

freezotic als aankomend wiskundige - dag 35

Algex

Stel je hebt een array van lengte n, met indexering vanaf 0:
[ a₀, a₁, ..., a_n-1 ]
En er is een discontinue functie gegeven die aan iedere index i een volgende index toewijst als volgt:

if(i < n-1)
  i := i + 1
else
  i := 0

Deze functie doet de indices rouleren.
Het leek me aardig om de corresponderende polynoom (van minimale orde) te vinden die op dezelfde manier getallen laat rouleren.
Je krijgt dan een stel lineaire vergelijkingen die je omzet in een matrix.
Ik heb de eerste tien matrixen door MATLAB laten maken en oplossen:

Bijvoorbeeld de polynome functie in geval n=3 wordt dan: y = -3/2 x² + 5/2 x + 1
Ik zou nog eens willen kijken of er een algemene vorm te vinden is voor dit type polynomen, waarmee de hierboven afgeleide coëfficienten direkt gegeven zijn.

Grafiek van de polynomen bij n=2,3,4,5,6,7.

freezotic